קשר בין המקדמים לצורת הפרבולה

מבוא

בשיעור הקודם קראנו מידע מתוך גרף נתון. עכשיו נעשה את הכיוון ההפוך וגם נחבר ביניהם: בהינתן התבנית האלגברית $y = a x^{2} + b x + c$ , מה אפשר לדעת על צורת הפרבולה בלי לצייר אותה? מסתבר שכל אחד משלושת המקדמים a,b,c "מספר" לנו משהו אחר על הגרף. כך נוכל, למשל, לקבל תבנית וכמה סרטוטים — ולהתאים את הסרטוט הנכון.

מטרות השיעור

לקשר את סימן a לכיוון הפתיחה ולסוג הקודקוד (מינימום/מקסימום)
להבין כיצד גודל |a| משפיע על רוחב הפרבולה
לזהות את המקדם החופשי c כשיעור ה-y של החיתוך עם ציר y
להשתמש בביטוי $- \frac{b}{2 a}$ כדי למצוא את שיעור ה-x של הקודקוד וציר הסימטריה
להתאים תבנית נתונה לגרף הנכון (ולהיפך) ולנמק את הבחירה

הרעיון המרכזי

מה כל מקדם קובע ב- $y=ax^{2}+bx+c$

המקדם a (של $x^{2}$ ):

אם a>0 הפרבולה פותחת כלפי מעלה והקודקוד הוא מינימום.
אם a<0 הפרבולה פותחת כלפי מטה והקודקוד הוא מקסימום.
ככל ש-|a| גדול יותר, הפרבולה צרה יותר; ככל שהוא קטן יותר — רחבה יותר.

המקדם החופשי c:

שיעור ה-y של החיתוך עם ציר y הוא c (כי בהצבת x=0 מתקבל y=c). החיתוך הוא הנקודה (0,c).

הביטוי $- \frac{b}{2 a}$ :

שיעור ה-x של הקודקוד, וגם משוואת ציר הסימטריה: $x = - \frac{b}{2 a}$ .

איך מתאימים תבנית לגרף (או גרף לתבנית)

כדי לבחור את הגרף המתאים לתבנית נתונה, בודקים בזה אחר זה:

כיוון הפתיחה — סימן a (מעלה/מטה). פוסלים גרפים שאינם מתאימים.
החיתוך עם ציר y — האם הוא ב-(0,c)?
מיקום הקודקוד — האם שיעור ה-x שלו הוא $- \frac{b}{2 a}$ ?

מספיק שמאפיין אחד לא מתאים — הגרף נפסל. כך מצמצמים עד שנשאר רק הגרף הנכון. תמיד מנמקים איזה מאפיין פסל כל אפשרות.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סימן a קובע מינימום או מקסימום

קשת גשר מתוארת ב- $y=-x^{2}+9$ . קבעו את כיוון הפתיחה וסוג הקודקוד.

a = - 1 < 0 \Rightarrow פתיחה כלפי מטה \Rightarrow קודקוד מקסימום

שלב 1 — מזהים את a

המקדם של

x^{2}

הוא

a=-1

בדיקה מהירה

קשת פנימית של גשר מתוארת על ידי הפונקציה $y=-x^{2}+9 (y$ גובה במטרים, x מרחק אופקי ממרכז הקשת). לפי סימן המקדם של האיבר הריבועי, הקודקוד של הפרבולה הוא:

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: המקדם החופשי c הוא החיתוך עם ציר y

מצאו את החיתוך עם ציר y עבור $y=-5x^{2}+10x+1.5 ($ גובה כדור) ועבור $y=-x^{2}+8x ($ זרם מזרקה).

x = 0 \Rightarrow y = c

שלב 1 — הכלל

החיתוך עם ציר y הוא הנקודה

(0,c)

, כי בהצבת

x=0

כל האיברים עם x מתאפסים ונשאר

y=c

דוגמה 3: שיעור ה-x של הקודקוד לפי −b/2a

מצאו את שיעור ה-x של הקודקוד (וציר הסימטריה) עבור $y=x^{2}-6x+5$ ועבור $y=-5x^{2}+10x+1.5$ .

x_{קודקוד} = - \frac{b}{2 a}

שלב 1 — הנוסחה

שיעור ה-x של הקודקוד הוא

x=-\frac{b}{2a}

. זהו גם ציר הסימטריה.

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה הריבועית $y=x^{2}-6x+5$ . השתמשו בנוסחה $x=-\frac{b}{2a}$ כדי למצוא את שיעור ה-x של קודקוד הפרבולה (וציר הסימטריה).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מזל זורקת כדור, וגובהו (במטרים) מתואר בפונקציה $y=-5x^{2}+10x+1.5 (x$ בשניות). באמצעות $x=-\frac{b}{2a}$ מצאו כעבור כמה שניות הכדור מגיע לגובה המקסימלי.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: התאמת תבנית לגרף הנכון

לתבנית $y=-x^{2}+8x$ נתונים שלושה סרטוטים. בחרו את הנכון ונמקו מה פוסל את האחרים.

a = - 1 < 0, c = 0, x_{קודקוד} = - \frac{8}{2 ( - 1 )} = 4

שלב 1 — כיוון פתיחה

a=-1<0 →

הפרבולה פותחת כלפי מטה. כל סרטוט שפותח כלפי מעלה — נפסל.

בדיקה מהירה

בחירה מרובה

נתונה הפונקציה $y=-x^{2}+8x ($ מסלול זרם מזרקה). סמנו את כל הטענות הנכונות הנובעות ישירות מהמקדמים.

בחרו את כל התשובות הנכונות

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שהמקדם החופשי c קובע את הקודקוד או את החיתוך עם ציר x

טעות: "ב- $y = - x^{2} + 8 x$ הקודקוד הוא ב-x=0 כי c=0".

נכון: c=0 נותן רק את החיתוך (0,0); הקודקוד הוא ב- $x = - \frac{8}{2 ( - 1 )} = 4$ .

למה זה קורה?

מערבבים בין שלושת המקדמים ובין מה שכל אחד מהם מתאר.

איך מתקנים?

c קובע את החיתוך עם ציר y בלבד: הנקודה

(0,c)

. שיעור ה-x של הקודקוד נקבע על ידי

-\frac{b}{2a}

, לא על ידי c.

טעות נפוצה: שוכחים את הסימן השלילי בנוסחה $x=-\frac{b}{2a}$

טעות: עבור $y = x^{2} - 6 x + 5$ לחשב $x = \frac{- 6}{2} = - 3$ .

נכון: $x = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$ .

למה זה קורה?

זוכרים 'b חלקי 2a' אבל משמיטים את המינוס, או מתבלבלים כש-b עצמו שלילי.

איך מתקנים?

הנוסחה היא

x=-\frac{b}{2a}

עם מינוס. כש-b שלילי, −b הופך לחיובי. הציבו בזהירות עם הסוגריים.

טעות נפוצה: חושבים ש-a גדול יותר 'מרחיב' את הפרבולה

|a| גדול ⟸ פרבולה צרה; |a| קטן ⟸ פרבולה רחבה.

למה זה קורה?

אינטואיציה מוטעית ש'מספר גדול = גרף גדול ורחב'.

איך מתקנים?

ההפך: ככל ש-|a| גדול יותר הפרבולה צרה ותלולה יותר; ככל שהוא קטן יותר היא רחבה ושטוחה יותר.

טעות נפוצה: קובעים מינימום/מקסימום לפי b או c במקום לפי סימן a

ב- $y = a x^{2} - 3 x + 6.5$ : סוג הקודקוד נקבע מסימן a בלבד — לא מ--3 ולא מ-6.5.

למה זה קורה?

מנסים להסיק את סוג הקודקוד מהמקדם הלא נכון.

איך מתקנים?

רק סימן a קובע מינימום או מקסימום:

a>0 ⟸

מינימום

, a<0 ⟸

מקסימום. b ו-c אינם משפיעים על כך.

סיכום

מה למדנו?

שלושת המקדמים של $y = a x^{2} + b x + c$ מספרים על הפרבולה:

a — סימנו קובע כיוון פתיחה וסוג קודקוד (a>0 מינימום, a<0 מקסימום); |a| קובע את הרוחב (גדול ⟸ צר).
c — שיעור ה-y של החיתוך עם ציר y: הנקודה (0,c).
$- \frac{b}{2 a}$ — שיעור ה-x של הקודקוד וציר הסימטריה.

זכרו:

כדי להתאים תבנית לגרף — בודקים כיוון פתיחה, חיתוך עם ציר y, ומיקום הקודקוד, ופוסלים מה שלא מתאים.
הסימן ב- $- \frac{b}{2 a}$ קריטי, במיוחד כש-b שלילי.

בשיעור הבא נחשב במדויק את הקודקוד, את נקודות החיתוך וציר הסימטריה — ונפרש אותם בהקשר האורייני.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הקשר בין המקדמים לצורת הפרבולה ועל התאמת תבניות לגרפים!

קשר בין המקדמים לצורת הפרבולה

קשר בין המקדמים לצורת הפרבולה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סימן a קובע מינימום או מקסימום

קשת גשר מתוארת ב-y=−x2+9y=-x^{2}+9y=−x2+9. קבעו את כיוון הפתיחה וסוג הקודקוד.

דוגמה 2: המקדם החופשי c הוא החיתוך עם ציר y

מצאו את החיתוך עם ציר y עבור y=−5x2+10x+1.5(y=-5x^{2}+10x+1.5 (y=−5x2+10x+1.5(גובה כדור) ועבור y=−x2+8x(y=-x^{2}+8x (y=−x2+8x(זרם מזרקה).

דוגמה 3: שיעור ה-x של הקודקוד לפי −b/2a

מצאו את שיעור ה-x של הקודקוד (וציר הסימטריה) עבור y=x2−6x+5y=x^{2}-6x+5y=x2−6x+5 ועבור y=−5x2+10x+1.5y=-5x^{2}+10x+1.5y=−5x2+10x+1.5.

דוגמה 4: התאמת תבנית לגרף הנכון

לתבנית y=−x2+8xy=-x^{2}+8xy=−x2+8x נתונים שלושה סרטוטים. בחרו את הנכון ונמקו מה פוסל את האחרים.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שהמקדם החופשי c קובע את הקודקוד או את החיתוך עם ציר x

טעות נפוצה: שוכחים את הסימן השלילי בנוסחה x=−b2ax=-\frac{b}{2a}x=−2ab​

טעות נפוצה: חושבים ש-a גדול יותר 'מרחיב' את הפרבולה

טעות נפוצה: קובעים מינימום/מקסימום לפי b או c במקום לפי סימן a

סיכום

תרגול נוסף

קשת גשר מתוארת ב- $y=-x^{2}+9$ . קבעו את כיוון הפתיחה וסוג הקודקוד.

מצאו את החיתוך עם ציר y עבור $y=-5x^{2}+10x+1.5 ($ גובה כדור) ועבור $y=-x^{2}+8x ($ זרם מזרקה).

מצאו את שיעור ה-x של הקודקוד (וציר הסימטריה) עבור $y=x^{2}-6x+5$ ועבור $y=-5x^{2}+10x+1.5$ .

לתבנית $y=-x^{2}+8x$ נתונים שלושה סרטוטים. בחרו את הנכון ונמקו מה פוסל את האחרים.

טעות נפוצה: שוכחים את הסימן השלילי בנוסחה $x=-\frac{b}{2a}$