קריאת מידע מגרף פרבולה נתון

מבוא

הרבה תהליכים מהחיים — מסלול של כדור שנזרק כלפי מעלה, צורת קשת של גשר, זרם מים במזרקה, או הרווח של עסק כתלות במחיר — מתוארים על ידי פונקציה ריבועית, והגרף שלה הוא פרבולה. בשיעור זה נקבל פרבולה מצוירת במערכת צירים (לרוב עם שנתות) ונלמד "לקרוא" אותה: להוציא ממנה את כל המידע החשוב מבלי בהכרח לדעת את התבנית האלגברית.

מטרות השיעור

לזהות בגרף את נקודות החיתוך עם ציר x ועם ציר y ולהבין את משמעותן
לזהות את הקודקוד, לקבוע אם הוא נקודת מינימום או מקסימום ולקרוא את שיעוריו
למצוא את ציר הסימטריה ולהשתמש בו כדי לקשר נקודות בעלות אותו גובה
לתאר תחומי עלייה וירידה ותחומי חיוביות ושליליות בעזרת ערכי x
לפרש כל גודל בהקשר האורייני ולפסול ערכים שאין להם משמעות במצב המתואר

הרעיון המרכזי

מה אפשר לקרוא מגרף של פרבולה?

נתונה פרבולה במערכת צירים. אלו הם הגדלים שנחפש:

חיתוך עם ציר y: הנקודה שבה x=0. יש בדיוק אחת כזו.
חיתוך עם ציר x (שורשים): הנקודות שבהן y=0. יכולות להיות שתיים, אחת או אף לא אחת.
קודקוד: הנקודה ה"קיצונית" של הפרבולה. אם הפרבולה פותחת כלפי מעלה — הקודקוד הוא נקודת מינימום; אם כלפי מטה — נקודת מקסימום.
ציר סימטריה: ישר אנכי x=p העובר דרך הקודקוד. הפרבולה משתקפת בו כמו במראה.
תחום עלייה / ירידה: הקטעים (בערכי x) שבהם הגרף עולה או יורד.
תחומי חיוביות / שליליות: הקטעים (בערכי x) שבהם y>0 (מעל הציר) או y<0 (מתחת לציר).

הסימטריה היא הכלי החזק ביותר

כל פרבולה סימטרית ביחס לציר הסימטריה שלה. מכאן שתי מסקנות שימושיות מאוד:

שיעור ה-x של הקודקוד נמצא באמצע שבין שני השורשים: $x_{קודקוד} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ .
לשתי נקודות על הפרבולה בעלות אותו גובה y יש שיעורי x הסימטריים סביב ציר הסימטריה — האמצע ביניהם הוא בדיוק x=p.

ההקשר האורייני קובע מה הגיוני

כשהפרבולה מתארת מצב מהמציאות, ל-x ול-y יש משמעות: זמן, גובה, מחיר, מרחק וכדומה. לכן:

תחום ההגדרה הרלוונטי עשוי להיות מצומצם (למשל $x \geq 0$ כי זמן או מחיר אינם שליליים).
ערכים שמתקבלים מהמשוואה אך חסרי משמעות במצב (גובה שלילי, מרחק שלילי, זמן שלילי) — פוסלים.

תמיד שואלים: "האם התשובה הגיונית בסיפור?"

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חיתוכים, קודקוד וסימטריה במזרקה

זרם מזרקה יוצא מהראשית $(0,0)$ , חוצה את ציר x ב- $(8,0)$ , והקודקוד ב- $(4,16)$ . מצאו את החיתוך עם ציר y, את סוג הקודקוד ואת ציר הסימטריה.

x_{קודקוד} = \frac{0 + 8}{2} = 4, y_{m a x} = 16

שלב 1 — חיתוך עם ציר y

חיתוך עם ציר y הוא ב-

x=0

. נאמר שהזרם יוצא מהראשית, ולכן החיתוך עם ציר y הוא

(0,0)

בדיקה מהירה

זרם המים במזרקה מתואר על ידי פרבולה במערכת צירים, כאשר x הוא המרחק האופקי (במטרים) ו-y הוא גובה הזרם (במטרים). הפרבולה יוצאת מהפיה שבראשית הצירים, חוצה את ציר x בנקודה $(8,0)$ וקודקודה בנקודה $(4,16)$ . מהן שיעורי נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר y?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: תחומי עלייה וירידה לפי ערכי x

הרווח (בש״ח) של דוכן מתואר בפרבולה הפותחת כלפי מטה, החוצה את ציר x ב- $(10,0)$ וב- $(70,0)$ . באיזה תחום מחירים הרווח עולה ובאיזה יורד $? (x \ge 0$ כי המחיר אי-שלילי.)

x_{קודקוד} = \frac{10 + 70}{2} = 40

שימו לב שתיארנו את התחומים בערכי x (מחיר), לא בערכי y (רווח).

שלב 1 — מציאת ציר הסימטריה

ציר הסימטריה באמצע השורשים:

x=\frac{10+70}{2}=40

. שם נמצא הקודקוד (מקסימום, כי פותחת כלפי מטה).

תשובה מספרית

מזל זורקת כדור כלפי מעלה. גובה הכדור (במטרים) כפונקציה של הזמן x (בשניות) מתואר בפרבולה שחוצה את ציר x בנקודות $(0,0)$ ו- $(2,0)$ , וקודקודה מסומן בסרטוט בנקודה $(1,5)$ . מהו הגובה המקסימלי שאליו הגיע הכדור, במטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: שימוש בסימטריה למציאת נקודה בעלת אותו גובה

פרבולה סימטרית סביב $x=4$ , והנקודה $(1,7)$ עליה. מצאו את הנקודה הנוספת שגובהה (שיעור ה-y) גם הוא 7.

x_{2} = 2 p - x_{1} = 2 \cdot 4 - 1 = 7

שלב 1 — המרחק מהציר

הנקודה

x=1

נמצאת במרחק

4-1=3

משמאל לציר הסימטריה

x=4

תשובה מספרית

פרבולה סימטרית סביב הישר $x=4$ . ידוע שהנקודה $(1,7)$ נמצאת על הפרבולה. מהו שיעור ה-x של הנקודה הנוספת על הפרבולה ששיעור ה-y שלה שווה גם הוא ל-7?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: חיוביות ושליליות ופסילת ערך חסר משמעות

מרחק אופנוען מהעיר (בק״מ) מתואר בפרבולה הפותחת כלפי מעלה, החוצה את ציר x ב- $(2,0)$ וב- $(6,0)$ , עם מינימום ב- $(4,-4)$ . מה משמעות התחום $2<x<6$ , והאם המרחק יכול להיות $-4$ ?

2 < x < 6 \Rightarrow y < 0 (חסר משמעות עבור מרחק)

שלב 1 — חיוביות/שליליות

בין שני השורשים פרבולה הפותחת כלפי מעלה נמצאת מתחת לציר x, ולכן בתחום

2<x<6

מתקיים

y<0

בדיקה מהירה

קשת פנימית של גשר היא פרבולה. סימנו מערכת צירים כך שציר x מונח בגובה פני המים. הפרבולה חוצה את ציר x בנקודות $(-3,0)$ ו- $(3,0)$ , וקודקודה בנקודה $(0,9)$ . מהי משוואת ציר הסימטריה של הפרבולה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין החיתוך עם ציר y לבין הקודקוד

טעות: לקרוא את הגובה המקסימלי כשיעור ה-y של החיתוך עם ציר y.

נכון: הגובה המקסימלי הוא שיעור ה-y של הקודקוד.

למה זה קורה?

גם החיתוך עם ציר y וגם הקודקוד הם נקודות 'בולטות' בגרף, אז קל להחליף ביניהן.

איך מתקנים?

החיתוך עם ציר y הוא תמיד הנקודה שבה

x=0

. הקודקוד הוא הנקודה הקיצונית (מינימום/מקסימום) ושיעור ה-x שלו הוא ציר הסימטריה — לרוב אינו 0.

טעות נפוצה: מתארים תחום עלייה/ירידה בעזרת ערכי y במקום ערכי x

טעות: "הפונקציה עולה בתחום 0<y<16".

נכון: "הפונקציה עולה בתחום x<4 (עד הקודקוד) ויורדת בתחום x>4".

למה זה קורה?

אומרים 'הגרף עולה עד 16' (גובה), במקום לציין את ערכי ה-x שבהם הוא עולה.

איך מתקנים?

תחום עלייה/ירידה תמיד נמדד בערכי x: באיזה קטע של x הגרף עולה או יורד. הקודקוד הוא נקודת המעבר.

טעות נפוצה: קובעים מינימום/מקסימום לפי 'נמוך/גבוה בסרטוט' בלי לבדוק את כיוון הפתיחה

פרבולה הפותחת כלפי מעלה ⟸ קודקוד מינימום. פרבולה הפותחת כלפי מטה ⟸ קודקוד מקסימום.

למה זה קורה?

מסתכלים רק על המיקום בסרטוט ולא על האם הפרבולה פותחת כלפי מעלה או מטה.

איך מתקנים?

הקובע הוא כיוון הפתיחה: פתיחה כלפי מעלה ⟸ הקודקוד מינימום; פתיחה כלפי מטה ⟸ הקודקוד מקסימום.

טעות נפוצה: לא פוסלים ערכים חסרי משמעות בהקשר האורייני

מרחק =-4 ק״מ או זמן =-2 שניות — אין להם משמעות; אלו תשובות שנפסלות.

למה זה קורה?

מקבלים ערך מהמשוואה או מהגרף בלי לשאול אם הוא הגיוני בסיפור.

איך מתקנים?

בכל מצב אורייני בדקו את תחום ההגדרה הרלוונטי: זמן, מרחק, מחיר וגובה לרוב אי-שליליים. ערך שלילי כזה — פוסלים.

סיכום

מה למדנו?

לקרוא פרבולה נתונה פירושו להוציא ממנה מידע:

חיתוך עם ציר y — הנקודה שבה x=0.
חיתוך עם ציר x — הנקודות שבהן y=0 (השורשים).
קודקוד — מינימום אם פותחת כלפי מעלה, מקסימום אם כלפי מטה; שיעור ה-y שלו הוא הערך הקיצוני.
ציר סימטריה — x=p דרך הקודקוד; $p = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ .
עלייה/ירידה וחיוביות/שליליות — תמיד מתוארים בערכי x.

זכרו:

ציר הסימטריה מקשר בין נקודות בעלות אותו גובה.
בהקשר אורייני — מצמצמים לתחום ההגיוני ופוסלים ערכים חסרי משמעות.

בשיעור הבא נלמד כיצד המקדמים של $y = a x^{2} + b x + c$ קובעים את צורת הפרבולה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על קריאת מידע מגרפים של פרבולות בהקשרים אורייניים!

קריאת מידע מגרף פרבולה נתון

קריאת מידע מגרף פרבולה נתון

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חיתוכים, קודקוד וסימטריה במזרקה

זרם מזרקה יוצא מהראשית (0,0)(0,0)(0,0), חוצה את ציר x ב-(8,0)(8,0)(8,0), והקודקוד ב-(4,16)(4,16)(4,16). מצאו את החיתוך עם ציר y, את סוג הקודקוד ואת ציר הסימטריה.

דוגמה 2: תחומי עלייה וירידה לפי ערכי x

הרווח (בש״ח) של דוכן מתואר בפרבולה הפותחת כלפי מטה, החוצה את ציר x ב-(10,0)(10,0)(10,0) וב-(70,0)(70,0)(70,0). באיזה תחום מחירים הרווח עולה ובאיזה יורד?(x≥0? (x \ge 0?(x≥0 כי המחיר אי-שלילי.)

דוגמה 3: שימוש בסימטריה למציאת נקודה בעלת אותו גובה

פרבולה סימטרית סביב x=4x=4x=4, והנקודה (1,7)(1,7)(1,7) עליה. מצאו את הנקודה הנוספת שגובהה (שיעור ה-y) גם הוא 7.

דוגמה 4: חיוביות ושליליות ופסילת ערך חסר משמעות

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין החיתוך עם ציר y לבין הקודקוד

טעות נפוצה: מתארים תחום עלייה/ירידה בעזרת ערכי y במקום ערכי x

טעות נפוצה: קובעים מינימום/מקסימום לפי 'נמוך/גבוה בסרטוט' בלי לבדוק את כיוון הפתיחה

טעות נפוצה: לא פוסלים ערכים חסרי משמעות בהקשר האורייני

סיכום

תרגול נוסף

זרם מזרקה יוצא מהראשית $(0,0)$ , חוצה את ציר x ב- $(8,0)$ , והקודקוד ב- $(4,16)$ . מצאו את החיתוך עם ציר y, את סוג הקודקוד ואת ציר הסימטריה.

הרווח (בש״ח) של דוכן מתואר בפרבולה הפותחת כלפי מטה, החוצה את ציר x ב- $(10,0)$ וב- $(70,0)$ . באיזה תחום מחירים הרווח עולה ובאיזה יורד $? (x \ge 0$ כי המחיר אי-שלילי.)

פרבולה סימטרית סביב $x=4$ , והנקודה $(1,7)$ עליה. מצאו את הנקודה הנוספת שגובהה (שיעור ה-y) גם הוא 7.