גליל ישר: נפח, שטח מעטפת ושטח פנים

מבוא

הגליל הישר נמצא בכל מקום: קופסת שימורים, פחית משקה, מיכל מים, צינור, נר. הוא נוצר מבסיס עגול שעולה לגובה קבוע. בשיעור זה נחשב את הנפח של הגליל (כמה הוא מכיל), את שטח המעטפת (התווית העוטפת את הצד המעוגל) ואת שטח הפנים הכולל (כולל שני הבסיסים). לאורך השיעור נשתמש בקירוב $π \approx 3.14$ , כפי שמקובל בשאלון 35372.

מטרות השיעור

לחשב את נפח הגליל: $V = π r^{2} h$
לחשב את שטח המעטפת: $M = 2 π r h$
לחשב את שטח הפנים הכולל: $S = 2 π r^{2} + 2 π r h$
להבחין בין רדיוס לקוטר ולהציב נכון
לפתור שאלה הפוכה ולהמיר יחידות (מ"ק↔ליטר)

הרעיון המרכזי

נוסחאות הגליל הישר

נסמן ב-r את רדיוס הבסיס וב-h את גובה הגליל.

נפח — שטח הבסיס העגול ( $π r^{2}$ ) כפול הגובה: $V = π r^{2} h$

שטח מעטפת — הצד המעוגל, שנפרש כמלבן שאורכו היקף הבסיס ( $2 π r$ ) וגובהו h: $M = 2 π r h$

שטח פנים — המעטפת ועוד שני הבסיסים העגולים: $S = 2 π r^{2} + 2 π r h$

מדוע המעטפת היא $2\pi r \cdot h? ($ רעיון ההצדקה)

דמיינו שגוזרים את תווית הצד של הפחית לאורך וגוללים אותה. מתקבל מלבן: גובהו הוא גובה הגליל h, ואורכו הוא היקף המעגל שעוטף את הבסיס, $2 π r$ . שטח המלבן הוא אורך כפול רוחב: $M = (2 π r) \cdot h = 2 π r h$

רדיוס מול קוטר — הטעות מספר 1

בשאלות רבות נתון הקוטר d, אך בנוסחאות מופיע הרדיוס r = d/2. אם נתון קוטר 2 מ', הרדיוס הוא 1 מ' — והצבת 2 במקום 1 תכפיל את הנפח פי 4 (כי הרדיוס מופיע בריבוע). תמיד בדקו אם נתון רדיוס או קוטר.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נפח גליל

קופסת שימורים — גליל שרדיוסו 3 ס״מ וגובהו 10 ס״מ. מהו הנפח $? (\pi ≈3.14)$

V = π r^{2} h = 3.14 \cdot 9 \cdot 10 \approx 282.6 cm^{3}

שלב 1 — נוסחה

V = \pi \cdot r^{2} \cdot h

תשובה מספרית

קופסת שימורים בצורת גליל ישר. רדיוס הבסיס 3 ס"מ וגובהה 10 ס"מ. מהו הנפח שניתן לאחסן בתוכה (בסמ"ק)? השתמשו בקירוב $\pi ≈3.14$ .

סטייה מותרת: ±0.5

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: שטח מעטפת ושטח פנים

קופסה לעטים — גליל שרדיוסו 5 ס״מ וגובהו 10 ס״מ. מהם שטח המעטפת ושטח הפנים $? (\pi ≈3.14)$

M = 2 π r h = 314 cm^{2}, S = 2 π r^{2} + 2 π r h = 157 + 314 = 471 cm^{2}

שלב 1 — מעטפת

M = 2\pi rh = 2 \cdot 3.14 \cdot 5 \cdot 10 = 314

סמ״ר.

בדיקה מהירה

מדבקה עוטפת את כל המעטפת (הצד המעוגל) של פחית משקה בצורת גליל ישר שרדיוסו 5 ס"מ וגובהו 10 ס"מ. מהו שטח המדבקה? השתמשו בקירוב $\pi ≈3.14$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

קופסה לעטים בצורת גליל ישר, שרדיוס בסיסה 5 ס"מ וגובהה 10 ס"מ. מהו שטח הפנים הכולל שלה (כולל שני הבסיסים), בסמ"ר? השתמשו בקירוב $\pi ≈3.14$ .

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: שאלה הפוכה — מציאת גובה משטח הפנים

שטח הפנים של גליל הוא 471 סמ״ר ורדיוסו 5 ס״מ. מהו הגובה $? (\pi ≈3.14)$

2 π r h = 471 - 157 = 314 \Rightarrow 31.4 h = 314 \Rightarrow h = 10 cm

שלב 1 — מפרידים את הבסיסים

2\pi r^{2} = 2 \cdot 3.14 \cdot 25 = 157

סמ״ר.

דוגמה 4: שאלה הפוכה — מציאת רדיוס (שורש ריבועי)

גליל שגובהו 2 ס״מ ונפחו 628 סמ״ק. מהו הרדיוס $? (\pi ≈3.14)$

r^{2} = \frac{628}{3.14 \cdot 2} = 100 \Rightarrow r = 10 cm

שלב 1 — מבודדים את $r^{2}$

מ-

V = \pi r^{2}h: r^{2} = V \div (\pi \cdot h) = 628 \div (3.14 \cdot 2) = 628 \div 6.28 = 100

דוגמה 5: השוואה בין גליל לקובייה (המרת יחידות וקבלת החלטה)

קובייה שמקצועה 2 מ' מול גליל שקוטרו 2 מ' וגובהו 2 מ'. לאיזה נפח גדול יותר $? (\pi ≈3.14)$

8 > 6.28 \Rightarrow הקובייה גדולה יותר

שלב 1 — נפח הקובייה

V = a^{3} = 2^{3} = 8

מ״ק.

בדיקה מהירה

מיכל מים ביתי בצורת גליל ישר שרדיוסו 1 מ' וגובהו 2 מ'. כמה ליטרים של מים מכיל המיכל כשהוא מלא? (תזכורת: 1 מ"ק $= 1{,}000$ ליטר; $\pi ≈3.14)$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הצבת הקוטר במקום הרדיוס

קוטר 2 מ' ⟸ r = 1 מ'. הצבת r=2 נותנת $r^{2} = 4$ במקום 1 — פי 4.

למה זה קורה?

השאלה נותנת קוטר, והנוסחה דורשת רדיוס.

איך מתקנים?

המירו תחילה:

r = \frac{d}{2}

. הצבת קוטר במקום רדיוס מכפילה את הנפח פי 4 (כי r בריבוע).

טעות נפוצה: שכחת הריבוע ברדיוס בנפח

טעות: $V = π r h$ (חסר הריבוע).

נכון: $V = π r^{2} h$ .

למה זה קורה?

כותבים

\pi rh

במקום

\pi r^{2}h

, או מעלים בריבוע את כל המכפלה

\pi r

איך מתקנים?

בנפח רק הרדיוס מועלה בריבוע:

V = \pi \cdot r^{2} \cdot h

. ההיקף

2\pi r

שייך לשטח המעטפת, לא לנפח.

טעות נפוצה: בלבול בין שטח מעטפת לשטח פנים

לגליל r=5, h=10: מעטפת = 314, אך שטח פנים $= 157 + 314 = 471 cm^{2}$ .

למה זה קורה?

מדווחים את המעטפת כשטח הפנים, או להפך.

איך מתקנים?

מעטפת

= 2\pi rh (

הצד המעוגל בלבד). שטח פנים

= 2\pi r^{2} + 2\pi rh (

מוסיף את שני הבסיסים).

טעות נפוצה: המרת נפח מ-מ״ק לליטר בכפל שגוי

$6.28 m^{3} = 6.28 \cdot 1000 = 6, 280 liter$ .

למה זה קורה?

לא זוכרים את יחס ההמרה בין מטר מעוקב לליטר.

איך מתקנים?

1 מ״ק

= 1{,}000

ליטר. לכן 6.28 מ״ק

= 6{,}280

ליטר. (וגם: 1 ליטר

= 1{,}000

סמ״ק.)

סיכום

מה למדנו?

גליל ישר (רדיוס בסיס r, גובה h, $π \approx 3.14$ ):

נפח: $V = π r^{2} h$
שטח מעטפת: $M = 2 π r h$
שטח פנים: $S = 2 π r^{2} + 2 π r h$

זכרו:

בדקו תמיד אם נתון רדיוס או קוטר (r=d/2).
בנפח הרדיוס בריבוע; שטח פנים מוסיף את שני הבסיסים למעטפת.
המרות: 1 מ"ק = 1,000 ליטר; 1 מ"ק = 1,000,000 סמ"ק.

בכך השלמנו את היחידה: תיבה, קובייה, מנסרה ישרה וגליל ישר — חישובי נפח ושטח בהקשר אורייני. כל הכלים בידיכם לפתרון שאלות 35372!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על נפח, שטח מעטפת ושטח פנים של גליל ישר, על שאלות הפוכות ועל המרת יחידות!

גליל ישר: נפח, שטח מעטפת ושטח פנים

גליל ישר: נפח, שטח מעטפת ושטח פנים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נפח גליל

קופסת שימורים — גליל שרדיוסו 3 ס״מ וגובהו 10 ס״מ. מהו הנפח?(π≈3.14)? (\pi ≈3.14)?(π≈3.14)

דוגמה 2: שטח מעטפת ושטח פנים

קופסה לעטים — גליל שרדיוסו 5 ס״מ וגובהו 10 ס״מ. מהם שטח המעטפת ושטח הפנים?(π≈3.14)? (\pi ≈3.14)?(π≈3.14)

דוגמה 3: שאלה הפוכה — מציאת גובה משטח הפנים

שטח הפנים של גליל הוא 471 סמ״ר ורדיוסו 5 ס״מ. מהו הגובה?(π≈3.14)? (\pi ≈3.14)?(π≈3.14)

דוגמה 4: שאלה הפוכה — מציאת רדיוס (שורש ריבועי)

גליל שגובהו 2 ס״מ ונפחו 628 סמ״ק. מהו הרדיוס?(π≈3.14)? (\pi ≈3.14)?(π≈3.14)

דוגמה 5: השוואה בין גליל לקובייה (המרת יחידות וקבלת החלטה)

קובייה שמקצועה 2 מ' מול גליל שקוטרו 2 מ' וגובהו 2 מ'. לאיזה נפח גדול יותר?(π≈3.14)? (\pi ≈3.14)?(π≈3.14)

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הצבת הקוטר במקום הרדיוס

טעות נפוצה: שכחת הריבוע ברדיוס בנפח

טעות נפוצה: בלבול בין שטח מעטפת לשטח פנים

טעות נפוצה: המרת נפח מ-מ״ק לליטר בכפל שגוי

סיכום

תרגול נוסף

קופסת שימורים — גליל שרדיוסו 3 ס״מ וגובהו 10 ס״מ. מהו הנפח $? (\pi ≈3.14)$

קופסה לעטים — גליל שרדיוסו 5 ס״מ וגובהו 10 ס״מ. מהם שטח המעטפת ושטח הפנים $? (\pi ≈3.14)$

שטח הפנים של גליל הוא 471 סמ״ר ורדיוסו 5 ס״מ. מהו הגובה $? (\pi ≈3.14)$

גליל שגובהו 2 ס״מ ונפחו 628 סמ״ק. מהו הרדיוס $? (\pi ≈3.14)$

קובייה שמקצועה 2 מ' מול גליל שקוטרו 2 מ' וגובהו 2 מ'. לאיזה נפח גדול יותר $? (\pi ≈3.14)$