מנסרה ישרה: נפח ושטח

מבוא

מנסרה ישרה היא גוף שיש לו שני בסיסים זהים ומקבילים — מצולעים — והפאות הצדדיות שלו הן מלבנים המאונכים לבסיסים. בשיעור זה נתמקד במנסרה שבסיסה משולש: חפיסת שוקולד "טובלרון", שוקת השקיה, קורת תמיכה או אריזת ממתקים משולשת. למדנו כבר על התיבה — שהיא בעצמה מנסרה שבסיסה מלבן — וכעת נכליל את אותם רעיונות לכל מנסרה ישרה.

מטרות השיעור

לחשב את נפח המנסרה: שטח הבסיס כפול גובה המנסרה
לחשב את שטח המעטפת: היקף הבסיס כפול גובה המנסרה
לחשב את שטח הפנים: שטח המעטפת ועוד שני הבסיסים
להבחין בין גובה המנסרה לגובה המשולש שבבסיס
לפתור שאלה הפוכה: בהינתן נפח, למצוא ממד חסר באמצעות משוואה

הרעיון המרכזי

נוסחאות המנסרה הישרה

נסמן ב- $S_{בסיס}$ את שטח המצולע שבבסיס, ב- $P_{בסיס}$ את היקפו, וב-h את גובה המנסרה (המרחק בין שני הבסיסים).

נפח: $V = S_{בסיס} \cdot h$

שטח מעטפת (סכום שטחי הפאות הצדדיות): $M = P_{בסיס} \cdot h$

שטח פנים (מעטפת + שני הבסיסים): $S = 2 S_{בסיס} + P_{בסיס} \cdot h$

נוסחאות אלה נכונות לכל מנסרה ישרה, ולא משנה אם הבסיס משולש, מלבן או מצולע אחר.

הבסיס המשולש — חישוב שטח והיקף

כאשר הבסיס משולש ישר־זווית עם ניצבים a ו-b ויתר c:

שטח הבסיס: $S_{בסיס} = \frac{1}{2} ab$ (חצי מכפלת הניצבים)
היקף הבסיס: $P_{בסיס} = a + b + c$

מכיוון שהמשולש ישר־זווית, הניצבים עצמם משמשים כבסיס וכגובה לחישוב השטח — אין צורך בגובה נפרד.

שתי 'גבהים' שונים — אל תתבלבלו

בh שבנוסחאות הכוונה לגובה המנסרה — האורך שבין שני הבסיסים (אורך חפיסת השוקולד). זהו גודל שונה לגמרי מגובה המשולש שבבסיס. במשולש ישר־זווית גובה המנסרה אינו אחד מהניצבים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נפח מנסרה משולשת

חפיסת שוקולד — מנסרה שבסיסה משולש ישר־זווית בניצבים 6 ו-8 ס״מ, אורך 20 ס״מ. מהו הנפח?

V = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot 20 = 24 \cdot 20 = 480 cm^{3}

שלב 1 — שטח הבסיס

המשולש ישר־זווית, ולכן

S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24

סמ״ר.

תשובה מספרית

חפיסת שוקולד בצורת מנסרה ישרה שבסיסה משולש ישר־זווית שניצביו 6 ס"מ ו-8 ס"מ. אורך החפיסה (גובה המנסרה) הוא 20 ס"מ. מהו נפח החפיסה (בסמ"ק)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: שטח מעטפת

מנסרה שבסיסה משולש $3-4-5$ ס״מ וגובהה 10 ס״מ. מהו שטח המעטפת?

M = (3 + 4 + 5) \cdot 10 = 120 cm^{2}

שלב 1 — היקף הבסיס

P = 3+4+5 = 12

ס״מ.

בדיקה מהירה

מנסרה ישרה שבסיסה משולש ישר־זווית שצלעותיו 3 ס"מ, 4 ס"מ ו-5 ס"מ. גובה המנסרה 10 ס"מ. מהו שטח המעטפת של המנסרה (סכום שלוש הפאות הצדדיות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: שטח פנים כולל

אותה מנסרה (בסיס $3-4-5$ , גובה 10): מהו שטח הפנים הכולל?

S = 2 \cdot 6 + 120 = 132 cm^{2}

שלב 1 — שני הבסיסים

שטח בסיס אחד

\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6

סמ״ר, ולכן שני בסיסים נותנים

2 \cdot 6 = 12

סמ״ר.

תשובה מספרית

מנסרה ישרה שבסיסה משולש ישר־זווית שצלעותיו 3 ס"מ, 4 ס"מ ו-5 ס"מ, וגובה המנסרה 10 ס"מ. מהו שטח הפנים הכולל של המנסרה (בסמ"ר)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שאלה הפוכה — מציאת גובה המנסרה

אריזה — מנסרה שבסיסה משולש ישר־זווית בניצבים 5 ו-12 ס״מ, ונפחה 450 סמ״ק. מהו גובה המנסרה?

30 h = 450 \Rightarrow h = 15 cm

שלב 1 — שטח הבסיס

S\_

בסיס

= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30

סמ״ר.

דוגמה 5: שאלה הפוכה עם משוואה ריבועית

מנסרה שבסיסה משולש ישר־זווית; ניצב אחד ארוך ב-2 ס״מ מהשני; גובה המנסרה 10 ס״מ; נפח 240 סמ״ק. מהם הניצבים?

5 x (x + 2) = 240 \Rightarrow x^{2} + 2 x - 48 = 0 \Rightarrow x = 6

שלב 1 — נעלם

ניצב קצר x, ניצב ארוך

x+2

. שטח הבסיס

\frac{1}{2} \cdot x \cdot (x+2)

בדיקה מהירה

שוקת השקיה בצורת מנסרה ישרה (מונחת על צידה) שבסיסה משולש ישר־זווית שניצביו 0.4 מ' ו-0.3 מ', ואורך השוקת 2 מ'. כמה ליטר מים מכילה השוקת כשהיא מלאה? (תזכורת: 1 מ"ק $= 1{,}000$ ליטר)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שכחת הבסיסים בשטח הפנים

טעות: שטח פנים = 120 (רק המעטפת).

נכון: $S = 120 + 2 \cdot 6 = 132 cm^{2}$ .

למה זה קורה?

מחשבים את המעטפת בלבד ומדווחים אותה כשטח הפנים.

איך מתקנים?

שטח פנים = מעטפת

+ 2 \cdot

שטח הבסיס. שטח מעטפת = מלבנים צדדיים בלבד, בלי הבסיסים.

טעות נפוצה: מעטפת = צלע אחת כפול גובה

$M = (3 + 4 + 5) \cdot 10 = 120$ , ולא $5 \cdot 10 = 50$ .

למה זה קורה?

כופלים רק צלע אחת של המשולש בגובה, במקום את ההיקף כולו.

איך מתקנים?

המעטפת היא סכום שלושת המלבנים הצדדיים, כלומר היקף הבסיס כפול הגובה:

M = P \cdot h

טעות נפוצה: בלבול בין גובה המנסרה לגובה המשולש

בנפח $V = S_{בסיס} \cdot h$ מציבים את גובה המנסרה, לא ניצב של המשולש.

למה זה קורה?

שני גדלים נקראים 'גובה', וקל להציב את הלא־נכון.

איך מתקנים?

גובה המנסרה h הוא המרחק בין הבסיסים (אורך החפיסה). בחישוב שטח הבסיס משתמשים בנתוני המשולש עצמו.

טעות נפוצה: שכחת חצי בשטח המשולש

שטח בסיס בניצבים 0.4 ו-0.3: $\frac{1}{2} \cdot 0.4 \cdot 0.3 = 0.06$ , לא 0.12.

למה זה קורה?

מחשבים שטח משולש ישר־זווית כמכפלת הניצבים, בלי לחלק ב-2.

איך מתקנים?

שטח משולש ישר־זווית הוא

\frac{1}{2} \cdot

ניצב·ניצב. בלי החצי מקבלים שטח מלבן, כפול מהאמיתי.

סיכום

מה למדנו?

מנסרה ישרה (בסיס בשטח $S_{בסיס}$ ובהיקף $P_{בסיס}$ , גובה מנסרה h):

נפח: $V = S_{בסיס} \cdot h$
שטח מעטפת: $M = P_{בסיס} \cdot h$
שטח פנים: $S = 2 S_{בסיס} + P_{בסיס} \cdot h$

זכרו:

בסיס משולש ישר־זווית: שטח $= \frac{1}{2} ab$ , היקף = a+b+c.
מעטפת = רק הפאות הצדדיות; שטח פנים מוסיף את שני הבסיסים.
אל תבלבלו בין גובה המנסרה לגובה המשולש.

בשיעור הבא נעבור לגליל הישר ונראה כיצד אותם רעיונות עובדים כשהבסיס הוא מעגל.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על נפח, שטח מעטפת ושטח פנים של מנסרה ישרה ועל שאלות הפוכות!

מנסרה ישרה: נפח ושטח

מנסרה ישרה: נפח ושטח

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נפח מנסרה משולשת

חפיסת שוקולד — מנסרה שבסיסה משולש ישר־זווית בניצבים 6 ו-8 ס״מ, אורך 20 ס״מ. מהו הנפח?

דוגמה 2: שטח מעטפת

מנסרה שבסיסה משולש 3−4−53-4-53−4−5 ס״מ וגובהה 10 ס״מ. מהו שטח המעטפת?

דוגמה 3: שטח פנים כולל

אותה מנסרה (בסיס 3−4−53-4-53−4−5, גובה 10): מהו שטח הפנים הכולל?

דוגמה 4: שאלה הפוכה — מציאת גובה המנסרה

אריזה — מנסרה שבסיסה משולש ישר־זווית בניצבים 5 ו-12 ס״מ, ונפחה 450 סמ״ק. מהו גובה המנסרה?

דוגמה 5: שאלה הפוכה עם משוואה ריבועית

מנסרה שבסיסה משולש ישר־זווית; ניצב אחד ארוך ב-2 ס״מ מהשני; גובה המנסרה 10 ס״מ; נפח 240 סמ״ק. מהם הניצבים?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שכחת הבסיסים בשטח הפנים

טעות נפוצה: מעטפת = צלע אחת כפול גובה

טעות נפוצה: בלבול בין גובה המנסרה לגובה המשולש

טעות נפוצה: שכחת חצי בשטח המשולש

סיכום

תרגול נוסף

מנסרה שבסיסה משולש $3-4-5$ ס״מ וגובהה 10 ס״מ. מהו שטח המעטפת?

אותה מנסרה (בסיס $3-4-5$ , גובה 10): מהו שטח הפנים הכולל?