גופים מורכבים ומחוסרים

מבוא

מטרות השיעור

להבין שגוף מורכב נפחו הוא סכום נפחי חלקיו, וגוף מחוסר נפחו הוא הפרש נפחים
לפרק גוף נתון (ממגורה, אנדרטה, צינור, גוש מנוקב) לגופים פשוטים שאנו יודעים לחשב
להקפיד להשתמש בכל נוסחה עם הממדים של אותו חלק בלבד (במיוחד הגובה)
ליישם זאת בהקשרים אורייניים, כולל חישובי עלות בשקלים ושאלות הפוכות
לזכור את המקדם $\frac{1}{3}$ של החרוט גם כשהוא חלק מגוף מורכב

הרעיון המרכזי

גוף מורכב — סכום נפחים

גוף מורכב נוצר מצירוף של שני גופים פשוטים או יותר. הנפח שלו הוא סכום נפחי החלקים: $V_{מורכב} = V_{1} + V_{2} + \dots$

דוגמה אופיינית: ממגורה (סילו) = גליל ישר שמעליו גג בצורת חרוט בעל אותו רדיוס: $V = הגליל π r^{2} h_{גליל} + הגג \frac{1}{3} π r^{2} h_{חרוט}$

גוף מחוסר — הפרש נפחים

גוף מחוסר הוא גוף שמתוכו הוסר חלל. הנפח שנשאר הוא הפרש הנפחים: $V_{שנשאר} = V_{גוף שלם} - V_{חלל}$

דוגמאות: צינור חלול (גליל בתוך גליל) שנפח המתכת בו $π R^{2} h - π r^{2} h = π (R^{2} - r^{2}) h$ ; גוש מנוקב (תיבה פחות גלילים שנקדחו).

הכלל החשוב ביותר: כל חלק עם הממדים שלו

הטעות הנפוצה ביותר היא "לחבר גבהים" ולהשתמש בנוסחה אחת. אסור. לגליל ולחרוט יש נוסחאות שונות, ולכל חלק גובה משלו.

הדרך הנכונה תמיד:

מפרקים את הגוף לחלקים פשוטים.
מחשבים את נפח כל חלק בנפרד, עם הממדים של אותו חלק.
מחברים (גוף מורכב) או מחסירים (גוף מחוסר).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נפח ממגורה (גליל + גג חרוטי)

ממגורה: גליל $r=3$ מ', גובה 10 מ', וגג חרוטי באותו רדיוס בגובה 4 מ'. מהו הנפח הכולל?

V = π r^{2} h_{1} + \frac{1}{3} π r^{2} h_{2} = 282.6 + 37.68 = 320.28 m^{3}

שלב 1 — מפרקים

הגוף = גליל + חרוט. נחשב כל נפח בנפרד עם הגובה שלו.

תשובה מספרית

ממגורה (סילו) לאחסון תבואה בנויה מגליל ישר שמעליו גג בצורת חרוט בעל אותו רדיוס. רדיוס הבסיס 3 מ', גובה החלק הגלילי 10 מ' וגובה הגג החרוטי 4 מ'. מהו הנפח הכולל של הממגורה (במ"ק)? השתמשו בקירוב $\pi ≈3.14$ .

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: גוף מחוסר — כוס עם חלל חרוטי

גליל $r=5$ , גובה 12 ס״מ, ומתוכו הוסר חלל חרוטי באותו רדיוס בגובה 6 ס״מ. מהו נפח החומר שנשאר?

V = π r^{2} h - \frac{1}{3} π r^{2} h_{חלל} = 942 - 157 = 785 cm^{3}

שלב 1 — מזהים גוף מחוסר

נפח שנשאר = נפח הגליל − נפח החרוט שהוסר.

תשובה מספרית

כוס גביע בצורת גליל ישר שרדיוסו 5 ס"מ וגובהו 12 ס"מ. מתוך הגליל נחפר (הוסר) חלל בצורת חרוט בעל אותו רדיוס בסיס ובגובה 6 ס"מ, היורד מהפתח העליון כלפי מטה. מהו נפח החומר המוצק שנשאר בגביע (בסמ"ק)? השתמשו בקירוב $\pi ≈3.14$ .

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: צינור מתכת חלול

צינור באורך 20 ס״מ, רדיוס חיצוני 4 ס״מ ופנימי 3 ס״מ. מהו נפח המתכת?

V = π (R^{2} - r^{2}) h = 3.14 (16 - 9) \cdot 20 = 3.14 \cdot 7 \cdot 20 = 439.6 cm^{3}

שלב 1 — גליל בתוך גליל

נפח המתכת = נפח גליל חיצוני − נפח גליל פנימי (החלל).

תשובה מספרית

צינור מתכת חלול (גליל בתוך גליל) באורך 20 ס"מ. הרדיוס החיצוני 4 ס"מ והרדיוס הפנימי 3 ס"מ. מהו נפח המתכת בצינור (בסמ"ק)? השתמשו בקירוב $\pi ≈3.14$ .

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

גוש מתכת בצורת תיבה שממדיה 8 ס"מ $\times 6$ ס"מ $\times 10$ ס"מ. קודחים בו שני חורים גליליים זהים העוברים לכל אורך המקצוע בן 10 ס"מ, כל חור ברדיוס 1 ס"מ. מהו נפח המתכת שנותר בגוש (בסמ"ק)? השתמשו בקירוב $\pi ≈3.14$ .

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שאלת עלות — שווי תבואה בממגורה

ממגורה: גליל $r=2$ מ' בגובה 6 מ' וגג חרוטי בגובה 1.5 מ'. שווי מ״ק תבואה 50 ₪. מהו שווי התבואה?

V = 75.36 + 6.28 = 81.64 m^{3}, 81.64 \times 50 = 4082 ₪

שלב 1 — נפח הגליל

\pi \cdot r^{2} \cdot h = 3.14 \cdot 4 \cdot 6 = 75.36

מ״ק.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחברים גבהים במקום נפחים

טעות: בממגורה מחשבים גובה כולל 10+4=14 ומכניסים לנוסחה אחת.

נכון: $π r^{2} \cdot 10 + \frac{1}{3} π r^{2} \cdot 4 = 282.6 + 37.68 = 320.28$ .

למה זה קורה?

חושבים שאפשר 'לאחד' גליל וחרוט לגוף אחד ולהשתמש בנוסחה יחידה.

איך מתקנים?

לגליל ולחרוט נוסחאות שונות. מחשבים כל נפח בנפרד, כל אחד עם הגובה שלו, ורק אז מחברים.

טעות נפוצה: שוכחים להחסיר את החלל בגוף מחוסר

טעות: בצינור מחשבים רק $π R^{2} h = 1004.8$ .

נכון: מחסירים את החלל הפנימי: 1004.8 - 565.2 = 439.6.

למה זה קורה?

מחשבים רק את הגוף השלם ומתעלמים מהחור שהוצא.

איך מתקנים?

גוף מחוסר → הפרש: נפח הגוף השלם פחות נפח החלל (הגליל/החרוט שהוסר).

טעות נפוצה: שוכחים את המקדם $\frac{1}{3}$ של גג חרוטי

טעות: גג חרוטי $π r^{2} h = 3.14 \cdot 9 \cdot 4 = 113.04$ .

נכון: $\frac{1}{3} π r^{2} h = 37.68$ — שליש מהערך השגוי.

למה זה קורה?

כשהחרוט הוא 'רק חלק' מגוף מורכב נוטים לחשב אותו כגליל.

איך מתקנים?

לחרוט תמיד נוסחה משלו:

\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^{2} \cdot h

, גם כשהוא גג של ממגורה או חוד של אנדרטה.

טעות נפוצה: מחסירים שטח במקום נפח בגוף מנוקב

בגוש מנוקב מחסירים את נפח הגליל הקדוח: $π r^{2} h$ , לכל חור בנפרד.

למה זה קורה?

מבלבלים בין החור כצורה דו־ממדית (עיגול) לבין החלל התלת־ממדי (גליל).

איך מתקנים?

החור הקדוח הוא גליל בעל נפח

\pi \cdot r^{2} \cdot h

. מחסירים נפח (סמ״ק), לא שטח עיגול (סמ״ר).

סיכום

מה למדנו?

גופים מורכבים ומחוסרים:

מורכב → סכום נפחים: $V = V_{1} + V_{2} + \dots$ (ממגורה, אנדרטה).
מחוסר → הפרש נפחים: $V = V_{שלם} - V_{חלל}$ (צינור, גוש מנוקב).
כל חלק מחושב עם הממדים שלו — אסור לחבר גבהים.
החרוט שומר על המקדם $\frac{1}{3}$ גם כחלק מגוף מורכב.
בשאלות עלות: מוצאים נפח, ואז מכפילים במחיר ליחידת נפח (₪).

בשיעור הבא נעמיק בהמרת יחידות נפח ושטח בבעיות יישום — סמ״ק↔מ״ק, סמ״ר↔מ״ר וליטרים!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישובי נפח של גופים מורכבים ומחוסרים בהקשרים אורייניים!

גופים מורכבים ומחוסרים

גופים מורכבים ומחוסרים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נפח ממגורה (גליל + גג חרוטי)

ממגורה: גליל r=3r=3r=3 מ', גובה 10 מ', וגג חרוטי באותו רדיוס בגובה 4 מ'. מהו הנפח הכולל?

דוגמה 2: גוף מחוסר — כוס עם חלל חרוטי

גליל r=5r=5r=5, גובה 12 ס״מ, ומתוכו הוסר חלל חרוטי באותו רדיוס בגובה 6 ס״מ. מהו נפח החומר שנשאר?

דוגמה 3: צינור מתכת חלול

צינור באורך 20 ס״מ, רדיוס חיצוני 4 ס״מ ופנימי 3 ס״מ. מהו נפח המתכת?

דוגמה 4: שאלת עלות — שווי תבואה בממגורה

ממגורה: גליל r=2r=2r=2 מ' בגובה 6 מ' וגג חרוטי בגובה 1.5 מ'. שווי מ״ק תבואה 50 ₪. מהו שווי התבואה?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחברים גבהים במקום נפחים

טעות נפוצה: שוכחים להחסיר את החלל בגוף מחוסר

טעות נפוצה: שוכחים את המקדם 13\frac{1}{3}31​ של גג חרוטי

טעות נפוצה: מחסירים שטח במקום נפח בגוף מנוקב

סיכום

תרגול נוסף

ממגורה: גליל $r=3$ מ', גובה 10 מ', וגג חרוטי באותו רדיוס בגובה 4 מ'. מהו הנפח הכולל?

גליל $r=5$ , גובה 12 ס״מ, ומתוכו הוסר חלל חרוטי באותו רדיוס בגובה 6 ס״מ. מהו נפח החומר שנשאר?

ממגורה: גליל $r=2$ מ' בגובה 6 מ' וגג חרוטי בגובה 1.5 מ'. שווי מ״ק תבואה 50 ₪. מהו שווי התבואה?

טעות נפוצה: שוכחים את המקדם $\frac{1}{3}$ של גג חרוטי