חרוט ישר: נפח ושטח מעטפת

מבוא

מטרות השיעור

להכיר את החרוט הישר ואת ממדיו: הרדיוס r, הגובה h והקו היוצר (השיפוע) $ℓ$
לחשב נפח חרוט: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ , ולהבין מדוע הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו בסיס וגובה
למצוא את הקו היוצר באמצעות משפט פיתגורס: $ℓ = r^{2} + h^{2}$
לחשב שטח מעטפת: $M = π r ℓ$ , ושטח פנים כולל: $π r^{2} + π r ℓ$
ליישם את הנוסחאות בהקשרים אורייניים (גביע גלידה, משפך, כובע) ולפתור שאלות הפוכות

הרעיון המרכזי

החרוט הישר וממדיו

חרוט ישר מתקבל מסיבוב משולש ישר־זווית סביב אחד מניצביו. יש לו:

בסיס עגול ברדיוס r,
גובה h — המרחק האנכי מהקדקוד אל מרכז הבסיס,
קו יוצר (שיפוע) $ℓ$ — המרחק מהקדקוד אל שפת הבסיס.

שלושת הגדלים מקיימים משפט פיתגורס במשולש ישר־הזווית שניצביו r ו-h והיתר שלו $ℓ$ : $ℓ = r^{2} + h^{2}$

הנוסחאות של החרוט

נפח: החרוט "ממלא" בדיוק שליש מהגליל בעל אותו בסיס ואותו גובה: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

שטח מעטפת (הצד המשופע, ללא הבסיס): $M = π r ℓ$

שטח פנים כולל (מעטפת + בסיס עגול אחד): $S = π r^{2} + π r ℓ$

בכל החישובים נשתמש בקירוב $π \approx 3.14$ .

מתי משתמשים בגובה ומתי בקו היוצר?

זו נקודת ההבחנה החשובה ביותר בחרוט:

לנפח משתמשים בגובה h (המרחק האנכי): $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ .
לשטח המעטפת משתמשים בקו היוצר $ℓ$ (השיפוע): $M = π r ℓ$ .

אם בשאלה נתון הגובה ומבקשים שטח מעטפת — חובה למצוא קודם את $ℓ = r^{2} + h^{2}$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נפח גביע גלידה

גביע גלידה חרוטי, רדיוס הפתח 3 ס״מ וגובה 12 ס״מ. מהו הנפח?

V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} \cdot 3.14 \cdot 9 \cdot 12 = 3.14 \cdot 36 = 113.04 cm^{3}

שלב 1 — בוחרים את הנוסחה

מבקשים נפח של חרוט, לכן

V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^{2} \cdot h

. נשים לב: בנפח משתמשים בגובה, לא בשיפוע.

תשובה מספרית

גביע גלידה בצורת חרוט ישר. רדיוס הפתח העליון 3 ס"מ והגובה (העומק) 12 ס"מ. מהו הנפח שניתן למלא בגביע (בסמ"ק)? השתמשו בקירוב $\pi ≈3.14$ .

סטייה מותרת: ±0.5

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: חרוט ישר וגליל ישר בעלי אותו רדיוס בסיס ואותו גובה — נפח החרוט שווה לשליש מנפח הגליל.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: הקו היוצר ושטח המעטפת של אהיל

אהיל בצורת מעטפת חרוט, רדיוס 6 ס״מ וגובה 8 ס״מ. מהו שטח המעטפת?

ℓ = 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10, M = π r ℓ = 3.14 \cdot 6 \cdot 10 = 188.4 cm^{2}

שלב 1 — מוצאים את הקו היוצר

לשטח מעטפת דרוש השיפוע ℓ. לפי פיתגורס

ℓ = \sqrt{r^{2}+h^{2}} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10

ס״מ (שילוש

6-8-10)

תשובה מספרית

אהיל תאורה בצורת מעטפת חרוט. רדיוס הבסיס 6 ס"מ והגובה 8 ס"מ. מהו שטח המעטפת של האהיל (בסמ"ר)? (תחילה מצאו את הקו היוצר ℓ.) השתמשו בקירוב $\pi ≈3.14$ .

סטייה מותרת: ±0.5

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: שטח פנים כולל (מעטפת + בסיס)

סביבון עץ אטום בצורת חרוט $(r=6, h=8)$ נצבע כולו. מהו שטח הפנים הנצבע?

S = π r ℓ + π r^{2} = 188.4 + 113.04 = 301.44 cm^{2}

שלב 1 — מהו שטח הפנים הכולל

גוף אטום שצובעים כולו: שטח הפנים

=

שטח המעטפת + שטח הבסיס העגול

= \pi \cdot r \cdot ℓ + \pi \cdot r^{2}

תשובה מספרית

סביבון עץ אטום בצורת חרוט ישר נצבע כולו בצבע — גם המעטפת וגם בסיס העיגול. רדיוס הבסיס 6 ס"מ והגובה 8 ס"מ. מהו שטח הפנים הכולל הנצבע (בסמ"ר)? השתמשו בקירוב $\pi ≈3.14$ .

סטייה מותרת: ±0.5

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שאלה הפוכה — מציאת גובה מתוך נפח

כוסית חרוטית מכילה 100.48 סמ״ק, ורדיוס הפתח 4 ס״מ. מהו הגובה?

100.48 = \frac{1}{3} π r^{2} h \Rightarrow h = \frac{100.48}{\frac{1}{3} \cdot 3.14 \cdot 16} = 6 cm

שלב 1 — כותבים את המשוואה

מציבים את הנתון בנוסחת הנפח:

100.48 = \frac{1}{3} \cdot 3.14 \cdot 4^{2} \cdot h

, כלומר

100.48 = \frac{1}{3} \cdot 3.14 \cdot 16 \cdot h

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את המקדם $\frac{1}{3}$ בנפח החרוט

טעות: מחשבים $V = π r^{2} h = 3.14 \cdot 9 \cdot 12 = 339.12$ .

נכון: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = 113.04$ — בדיוק שליש מהתוצאה השגויה.

למה זה קורה?

מתבלבלים בין נוסחת הגליל לנוסחת החרוט.

איך מתקנים?

נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו בסיס וגובה:

V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^{2} \cdot h

טעות נפוצה: מבלבלים בין הגובה h לקו היוצר ℓ

טעות: בשטח מעטפת מציבים את הגובה: $M = π r h = 3.14 \cdot 6 \cdot 8 = 150.72$ .

נכון: קודם $ℓ = 36 + 64 = 10$ , ואז $M = π r ℓ = 188.4$ .

למה זה קורה?

גם h וגם ℓ נראים כמו 'הצלע הנטויה' בסרטוט, ולא תמיד שמים לב מי מהם נתון.

איך מתקנים?

הגובה h אנכי לבסיס; הקו היוצר ℓ הוא היתר:

ℓ=\sqrt{r^{2}+h^{2}}

. לנפח — h; לשטח מעטפת — ℓ.

טעות נפוצה: מחברים r ו-h במקום להשתמש בפיתגורס

טעות: $ℓ = r + h = 6 + 8 = 14$ .

נכון: $ℓ = 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10$ .

למה זה קורה?

חושבים שהקו היוצר הוא פשוט סכום הרדיוס והגובה.

איך מתקנים?

ℓ הוא היתר במשולש ישר־זווית:

ℓ=\sqrt{r^{2}+h^{2}}

, ולא

ℓ=r+h

טעות נפוצה: מערבבים שטח מעטפת עם שטח פנים כולל

לכובע מסיבה (פתוח) דרוש רק $π r ℓ$ ; לסביבון אטום שצובעים כולו דרוש גם הבסיס: $π r ℓ + π r^{2}$ .

למה זה קורה?

לא בודקים אם הגוף 'פתוח' (כובע, אהיל) או 'סגור' (סביבון אטום).

איך מתקנים?

שטח מעטפת

= \pi \cdot r \cdot ℓ

בלבד. שטח פנים כולל

= \pi \cdot r \cdot ℓ + \pi \cdot r^{2} (

מוסיפים את הבסיס העגול).

סיכום

מה למדנו?

החרוט הישר:

נפח: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ — שליש מנפח הגליל בעל אותו בסיס וגובה. משתמשים בגובה.
קו יוצר: $ℓ = r^{2} + h^{2}$ — היתר במשולש שניצביו r ו-h.
שטח מעטפת: $M = π r ℓ$ — משתמשים בקו היוצר.
שטח פנים כולל: $S = π r ℓ + π r^{2}$ — מוסיפים את הבסיס העגול.

זכרו:

אל תשכחו את ה- $\frac{1}{3}$ בנפח.
לנפח — גובה; לשטח מעטפת — קו יוצר.
בקירוב $π \approx 3.14$ .

בשיעור הבא נחבר חרוטים, גלילים וגופים נוספים לכדי גופים מורכבים ומחוסרים!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישובי נפח ושטח מעטפת של חרוט ישר בהקשרים אורייניים!

חרוט ישר: נפח ושטח מעטפת

חרוט ישר: נפח ושטח מעטפת

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נפח גביע גלידה

גביע גלידה חרוטי, רדיוס הפתח 3 ס״מ וגובה 12 ס״מ. מהו הנפח?

דוגמה 2: הקו היוצר ושטח המעטפת של אהיל

אהיל בצורת מעטפת חרוט, רדיוס 6 ס״מ וגובה 8 ס״מ. מהו שטח המעטפת?

דוגמה 3: שטח פנים כולל (מעטפת + בסיס)

סביבון עץ אטום בצורת חרוט (r=6,h=8)(r=6, h=8)(r=6,h=8) נצבע כולו. מהו שטח הפנים הנצבע?

דוגמה 4: שאלה הפוכה — מציאת גובה מתוך נפח

כוסית חרוטית מכילה 100.48 סמ״ק, ורדיוס הפתח 4 ס״מ. מהו הגובה?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את המקדם 13\frac{1}{3}31​ בנפח החרוט

טעות נפוצה: מבלבלים בין הגובה h לקו היוצר ℓ

טעות נפוצה: מחברים r ו-h במקום להשתמש בפיתגורס

טעות נפוצה: מערבבים שטח מעטפת עם שטח פנים כולל

סיכום

תרגול נוסף

סביבון עץ אטום בצורת חרוט $(r=6, h=8)$ נצבע כולו. מהו שטח הפנים הנצבע?

טעות נפוצה: שוכחים את המקדם $\frac{1}{3}$ בנפח החרוט