בעיות משולבות: פירמידה וכדור

מבוא

בעולם האמיתי גופים נדירות מופיעים לבד: מחסן הוא תיבה עם גג פירמידה, מיכל מים הוא גליל עם כיפה חצי־כדורית, וכדור גלידה נמס לתוך גביע גלילי. בשיעור זה נחבר את כל מה שלמדנו — פירמידה, כדור, תיבה וגליל — כדי לפתור בעיות אורייניות מורכבות: חיבור נפחים, התכה ויציקה מחדש, מילוי, והכרעה בין חלופות לפי נפח, משקל או עלות בשקלים.

מטרות השיעור

לחשב נפח של גוף מורכב כסכום (או הפרש) נפחי החלקים
להשתמש בנפח חצי כדור: $\frac{2}{3} π r^{3}$
לפתור בעיות התכה ויציקה מחדש לפי עקרון שימור הנפח
לפתור בעיות מילוי (נפח גוף אחד ממלא גוף אחר)
להפעיל שיקולי כדאיות, משקל ועלות בשקלים, ולהשוות בין חלופות

הרעיון המרכזי

נפח גוף מורכב — מחברים נפחים, לא ממדים

גוף המורכב מכמה גופים פשוטים (למשל תיבה + פירמידה, או גליל + חצי כדור): מחשבים את נפח כל חלק בנפרד ואז מחברים את הנפחים: $V_{כולל} = V_{1} + V_{2} + \dots$

אם גוף אחד "חופר" חלל בתוך אחר — מחסירים את הנפחים. אסור לחבר ממדים (אורכים) במקום נפחים.

חצי כדור (כיפה / קערה)

כיפה או קערה חצי־כדורית היא בדיוק מחצית מכדור שלם: $V_{חצי כדור} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{2}{3} π r^{3}$

טעות נפוצה: שימוש בנפח כדור שלם $\frac{4}{3} π r^{3}$ במקום חצי.

התכה ויציקה מחדש — שימור הנפח

כאשר חומר (מלח, מתכת, שעווה) נמס ונוצק מחדש לצורה אחרת, כמות החומר נשמרת — ולכן הנפח נשמר. רק הצורה משתנה. משווים: $V_{גוף התחלתי} = V_{גוף סופי}$

מהשוויון הזה מחלצים את הממד החסר של הגוף הסופי (גובה, צלע, רדיוס). אותו עיקרון חל גם על מילוי: נוזל שממלא כלי שומר על נפחו.

שיקולי כדאיות, משקל ועלות

בבעיות החלטה מחשבים את הגודל הרלוונטי לכל חלופה ואז משווים:

משקל = נפח × צפיפות (משקל ליחידת נפח).
עלות = נפח × מחיר למ״ק (או שטח × מחיר למ״ר).
כדאיות = מי מכיל יותר / עולה פחות.

תמיד שומרים על אותן יחידות בכל החלופות לפני ההשוואה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נפח מחסן (תיבה + גג פירמידה)

מחסן: תיבה בסיס $4 \times 4$ מ', גובה 3 מ'; מעליה גג פירמידה על אותו בסיס, גובה 3 מ'. מהו הנפח הכולל?

V = 4 \cdot 4 \cdot 3 + \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 3 = 48 + 16 = 64 m^{3}

שלב 1 — נפח התיבה

V_{1} = a \cdot b \cdot c = 4 \cdot 4 \cdot 3 = 48

מ״ק.

תשובה מספרית

מחסן בנוי כתיבה שעליה גג בצורת פירמידה ישרה. בסיס התיבה ריבוע 4 מ $' \times 4$ מ', וגובה התיבה 3 מ'. גג הפירמידה יושב על אותו בסיס $(4$ מ $' \times 4$ מ') וגובהו 3 מ'. מהו הנפח הכולל של המחסן (במ"ק)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מילוי — כדור גלידה נמס לגביע גלילי

כדור גלידה $r=3$ ס״מ נמס לגביע גלילי $R=3$ ס״מ. לאיזה גובה תגיע הגלידה $? (\pi ≈3.14)$

\frac{4}{3} π \cdot 3^{3} = π \cdot 3^{2} \cdot h \Rightarrow 113.04 = 28.26 h \Rightarrow h = 4 cm

שלב 1 — עקרון שימור הנפח

נפח הכדור הנמס = נפח הגליל שמתמלא.

תשובה מספרית

כדור גלידה בצורת כדור שרדיוסו 3 ס"מ נמס לתוך גביע גלילי שרדיוס בסיסו 3 ס"מ. לאיזה גובה (בס"מ) תגיע הגלידה הנמסה בגביע, בהנחה שהיא ממלאת אותו ללא אוויר? השתמשו בקירוב $\pi ≈3.14$ .

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: התכה ויציקה מחדש — כדור לפירמידה

כדור מלח $r=6$ ס״מ הותך ונוצק לפירמידה ריבועית בגובה 12 ס״מ. מהו שטח בסיס הפירמידה $? (\pi ≈3.14)$

\frac{4}{3} π \cdot 6^{3} = \frac{1}{3} S \cdot 12 \Rightarrow 904.32 = 4 S \Rightarrow S = 226.08 cm^{2}

שלב 1 — הנפח נשמר

נפח הכדור = נפח הפירמידה.

תשובה מספרית

גוש מלח בצורת כדור שרדיוסו 6 ס"מ הותך ונוצק מחדש לתבנית בצורת פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע וגובהה 12 ס"מ. מהו שטח בסיס הפירמידה (בסמ"ר)? השתמשו בקירוב $\pi ≈3.14$ ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.5

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שיקול עלות — מונומנט (קובייה + פירמידה)

מונומנט: קובייה מקצוע 2 מ' + פירמידה ריבועית בסיס $2 \times 2$ מ', גובה 1.5 מ'. אבן עולה 150 ₪ למ״ק. מהי העלות?

V = 2^{3} + \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 1.5 = 10 m^{3}, עלות = 10 \cdot 150 = 1500 ₪

שלב 1 — נפח הקובייה

V_{1} = 2^{3} = 8

מ״ק.

בדיקה מהירה

תשובה קצרה

חברה מעצבת שני דגמי מנורות מלח ורוצה לבחור את הדגם המכיל יותר מלח. דגם א': כדור שרדיוסו 6 ס"מ. דגם ב': פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע 12 ס"מ $\times 12$ ס"מ וגובהה 18 ס"מ. איזה דגם מכיל יותר מלח — א' או ב'? ענו באות. השתמשו בקירוב $\pi ≈3.14$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שהנפח משתנה בהתכה ויציקה מחדש

כדור שמותך לפירמידה: $V_{כדור} = V_{פירמידה}$ . הנפח לא 'נעלם'.

למה זה קורה?

מבלבלים בין שינוי צורה לשינוי כמות.

איך מתקנים?

בהתכה הנפח נשמר — רק הצורה משתנה. משווים נפח התחלתי = נפח סופי.

טעות נפוצה: מחברים ממדים במקום נפחים בגוף מורכב

טעות: לחבר גבהים. נכון: $V_{כולל} = V_{1} + V_{2}$ .

למה זה קורה?

ניסיון 'לקצר' בלי לחשב כל חלק.

איך מתקנים?

מחשבים את נפח כל חלק בנפרד (תיבה, פירמידה, גליל, חצי כדור) ומחברים את הנפחים.

טעות נפוצה: משתמשים בכדור שלם במקום חצי כדור

$V_{כיפה} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{2}{3} π r^{3}$ , לא $\frac{4}{3} π r^{3}$ .

למה זה קורה?

לא שמים לב שהכיפה היא רק חצי.

איך מתקנים?

כיפה / קערה חצי־כדורית:

\frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r^{3}

— חצי מנפח הכדור השלם.

טעות נפוצה: משווים חלופות ביחידות שונות

בהשוואת שתי מנורות חשבו את שתיהן באותן יחידות נפח לפני ההכרעה.

למה זה קורה?

חלופה אחת בסמ״ק והשנייה במ״ק, או נפח מול שטח.

איך מתקנים?

לפני השוואת כדאיות — אחדו יחידות, והשוו את אותו גודל (נפח לנפח, עלות לעלות).

סיכום

מה למדנו?

בעיות משולבות — פירמידה, כדור וגופים נוספים:

נפח גוף מורכב = סכום (או הפרש) נפחי החלקים — מחברים נפחים, לא ממדים.
חצי כדור: $\frac{2}{3} π r^{3}$ .
התכה / יציקה / מילוי: הנפח נשמר ⟸ משווים נפח התחלתי = נפח סופי.
כדאיות, משקל ועלות: מחשבים לכל חלופה ומשווים באותן יחידות.

זכרו: קראו היטב מאיזה גוף בנוי המבנה, וזהו אם מחברים, מחסירים או משווים נפחים.

בכך השלמנו את היחידה על פירמידה וכדור — כל הכלים לפתרון שאלות אורייניות במרחב!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על בעיות משולבות של פירמידה, כדור וגופים נוספים!

בעיות משולבות: פירמידה וכדור

בעיות משולבות: פירמידה וכדור

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נפח מחסן (תיבה + גג פירמידה)

מחסן: תיבה בסיס 4×44 \times 44×4 מ', גובה 3 מ'; מעליה גג פירמידה על אותו בסיס, גובה 3 מ'. מהו הנפח הכולל?

דוגמה 2: מילוי — כדור גלידה נמס לגביע גלילי

כדור גלידה r=3r=3r=3 ס״מ נמס לגביע גלילי R=3R=3R=3 ס״מ. לאיזה גובה תגיע הגלידה?(π≈3.14)? (\pi ≈3.14)?(π≈3.14)

דוגמה 3: התכה ויציקה מחדש — כדור לפירמידה

כדור מלח r=6r=6r=6 ס״מ הותך ונוצק לפירמידה ריבועית בגובה 12 ס״מ. מהו שטח בסיס הפירמידה?(π≈3.14)? (\pi ≈3.14)?(π≈3.14)

דוגמה 4: שיקול עלות — מונומנט (קובייה + פירמידה)

מונומנט: קובייה מקצוע 2 מ' + פירמידה ריבועית בסיס 2×22 \times 22×2 מ', גובה 1.5 מ'. אבן עולה 150 ₪ למ״ק. מהי העלות?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שהנפח משתנה בהתכה ויציקה מחדש

טעות נפוצה: מחברים ממדים במקום נפחים בגוף מורכב

טעות נפוצה: משתמשים בכדור שלם במקום חצי כדור

טעות נפוצה: משווים חלופות ביחידות שונות

סיכום

תרגול נוסף

מחסן: תיבה בסיס $4 \times 4$ מ', גובה 3 מ'; מעליה גג פירמידה על אותו בסיס, גובה 3 מ'. מהו הנפח הכולל?

כדור גלידה $r=3$ ס״מ נמס לגביע גלילי $R=3$ ס״מ. לאיזה גובה תגיע הגלידה $? (\pi ≈3.14)$

כדור מלח $r=6$ ס״מ הותך ונוצק לפירמידה ריבועית בגובה 12 ס״מ. מהו שטח בסיס הפירמידה $? (\pi ≈3.14)$

מונומנט: קובייה מקצוע 2 מ' + פירמידה ריבועית בסיס $2 \times 2$ מ', גובה 1.5 מ'. אבן עולה 150 ₪ למ״ק. מהי העלות?