שילוב עם פולינום ופונקציה רציונלית

מבוא

מטרות השיעור

לגזור מכפלות של פונקציה מעריכית/לוגריתמית עם פולינום: $(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
לגזור מנות הכוללות מעריכית/לוגריתמית: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
לשלב את כללי הגזירה עם הרכבה בת שני שלבים ולמצוא נקודות קיצון של הצירופים
לזהות שגורם מעריכי לעולם אינו אפס, ולכן רק החלק הפולינומי/הרציונלי מאפס את הנגזרת

הרעיון המרכזי

כלל המכפלה

לגזירת מכפלה של שתי פונקציות: $(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$

לדוגמה, עבור $f (x) = x^{2} e^{x}$ נבחר $u = x^{2}, v = e^{x}$ : $f^{'} (x) = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = e^{x} (x^{2} + 2 x)$

שגיאה נפוצה: גזירת מכפלה אינה מכפלת הנגזרות — $(uv)^{'} \neq = u^{'} v^{'}$ .

כלל המנה

לגזירת מנה של שתי פונקציות: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

הסדר במונה חשוב: ראשית u'v, ואז פחות uv'. החלפת הסדר הופכת את הסימן ונותנת תשובה שגויה.

הגורם המעריכי אינו מתאפס

בצירופים הכוללים גורם מעריכי $e^{g (x)}$ , מתקיים $e^{g (x)} > 0$ תמיד. לכן בנגזרת מהצורה $e^{g (x)} \cdot P (x)$ או $\frac{e ^{g (x)} P ( x )}{Q ( x )}$ , מאפסים רק את הגורם הפולינומי/הרציונלי. עבור פונקציות לוגריתמיות וצירופי מנה, חובה לקבוע גם את תחום ההגדרה (ארגומנט חיובי ל- $ln$ , מכנה שונה מאפס).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מכפלה של פולינום ומעריכית

גזרו את $f(x) = x^{2} \cdot e^{x}$ .

f^{'} (x) = e^{x} (x^{2} + 2 x)

שלב 1 — בוחרים גורמים

u=x^{2} (u'=2x), v=e^{x} (v'=e^{x})

בדיקה מהירה

מהי הנגזרת של הפונקציה $f(x) = x^{2} \cdot e^{x} ($ מכפלה)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מנה — פונקציה רציונלית עם מעריכית

גזרו את $f(x) = \frac{e^{x}}{x} ($ בתחום $x \ne 0)$ .

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x - 1 )}{x ^{2}}

שלב 1 — בוחרים גורמים

u=e^{x} (u'=e^{x}), v=x (v'=1)

בדיקה מהירה

מהי הנגזרת של הפונקציה $f(x) = \frac{x}{e^{x}} ($ מנה)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מכפלה של פולינום ולוגריתם

גזרו את $f(x) = x \cdot \ln x ($ בתחום $x > 0)$ .

f^{'} (x) = ln x + 1

שלב 1 — תחום ובחירת גורמים

תחום:

x>0. u=x (u'=1), v=\ln x (v'=\frac{1}{x})

דוגמה 4: חקירת קיצון של מנה לוגריתמית

מצאו את נקודת הקיצון של $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ והערך המקסימלי (בתחום $x > 0)$ .

f^{'} (x) = \frac{1 - l n x}{x ^{2}}, x_{m a x} = e, f (e) = \frac{1}{e}

שלב 1 — גזירה (כלל המנה)

u=\ln x (u'=\frac{1}{x}), v=x (v'=1)

. המונה:

(\frac{1}{x}) \cdot x - \ln x \cdot 1 = 1 - \ln x

. אז

f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}

בדיקה מהירה

נתון $f(x) = \frac{\ln x}{x} ($ בתחום $x > 0)$ . מהו שיעור ה-x של נקודת הקיצון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: חקירת קיצון של מכפלה x²·eˣ

מצאו את הנקודות החשודות לקיצון של $f(x) = x^{2} \cdot e^{x}$ וסווגו אותן.

f^{'} (x) = e^{x} x (x + 2), x = - 2 (max), x = 0 (min)

שלב 1 — הנגזרת

מדוגמה

1: f'(x) = e^{x}(x^{2} + 2x) = e^{x} \cdot x(x+2)

תשובה קצרה

גזרו את הפונקציה $f(x) = x \cdot \ln x ($ בתחום $x > 0)$ . כתבו את f'(x).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: גוזרים מכפלה כמכפלת הנגזרות

טעות: $(x^{2} e^{x})^{'} = 2 x \cdot e^{x}$ (רק מכפלת הנגזרות).

נכון: $(x^{2} e^{x})^{'} = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = e^{x} (x^{2} + 2 x)$ .

למה זה קורה?

מניחים בטעות ש-

(uv)' = u'v'

, בהיקש שגוי מכללי הסכום.

איך מתקנים?

כלל המכפלה הוא

(uv)' = u'v + uv'

— סכום של שני מכפלים.

טעות נפוצה: מהפכים את סדר האיברים בכלל המנה

טעות: $(\frac{e ^{x}}{x})^{'} = \frac{e ^{x} \cdot 1 - e ^{x} \cdot x}{x ^{2}}$ .

נכון: $(\frac{e ^{x}}{x})^{'} = \frac{e ^{x} \cdot x - e ^{x} \cdot 1}{x ^{2}} = \frac{e ^{x} ( x - 1 )}{x ^{2}}$ .

למה זה קורה?

לא זוכרים שראשית u'v ואז פחות uv'.

איך מתקנים?

(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}

. החלפת הסדר הופכת את הסימן ושגויה.

טעות נפוצה: מנסים לאפס את הגורם המעריכי

ב- $f^{'} (x) = e^{x} x (x + 2)$ פותרים רק x(x+2)=0 ⟸ x=0 או x=-2.

למה זה קורה?

פותרים

e^{g(x)}=0

בחיפוש נקודות קיצון.

איך מתקנים?

e^{g(x)}>0

תמיד. בנגזרת

e^{x} \cdot P(x)

מאפסים רק את P(x).

טעות נפוצה: שוכחים את תחום ההגדרה בצירופי מנה ולוגריתם

עבור $\frac{ln x}{x}$ התחום הוא x>0 (גם בגלל $ln$ וגם בגלל המכנה).

למה זה קורה?

מתחילים לגזור בלי לבדוק היכן הפונקציה מוגדרת.

איך מתקנים?

במנה דורשים מכנה שונה מאפס; ב-

\ln

דורשים ארגומנט חיובי. קובעים זאת תחילה.

סיכום

מה למדנו?

שילוב מעריכיות ולוגריתמיות עם פולינומים ופונקציות רציונליות:

כלל המכפלה: (uv)' = u'v + uv'.
כלל המנה: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ — הסדר במונה חשוב.
גורם מעריכי $e^{g (x)} > 0$ תמיד; רק החלק הפולינומי/הרציונלי מאפס את הנגזרת.
קובעים תחום הגדרה בצירופי מנה ולוגריתם לפני הכול.

זכרו:

$(uv)^{'} \neq = u^{'} v^{'}$ .
בכלל המנה: u'v ראשון, ואז פחות uv'.

זהו השיעור המסכם של היחידה — שילבנו את כל כללי הגזירה והחקירה של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות בבסיס e.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על גזירה וחקירה של צירופים עם פולינומים ופונקציות רציונליות!

שילוב עם פולינום ופונקציה רציונלית

שילוב עם פולינום ופונקציה רציונלית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מכפלה של פולינום ומעריכית

גזרו את f(x)=x2⋅exf(x) = x^{2} \cdot e^{x}f(x)=x2⋅ex.

דוגמה 2: מנה — פונקציה רציונלית עם מעריכית

גזרו את f(x)=exx(f(x) = \frac{e^{x}}{x} (f(x)=xex​(בתחום x≠0)x \ne 0)x=0).

דוגמה 3: מכפלה של פולינום ולוגריתם

גזרו את f(x)=x⋅ln⁡x(f(x) = x \cdot \ln x (f(x)=x⋅lnx(בתחום x>0)x > 0)x>0).

דוגמה 4: חקירת קיצון של מנה לוגריתמית

מצאו את נקודת הקיצון של f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}f(x)=xlnx​ והערך המקסימלי (בתחום x>0)x > 0)x>0).

דוגמה 5: חקירת קיצון של מכפלה x²·eˣ

מצאו את הנקודות החשודות לקיצון של f(x)=x2⋅exf(x) = x^{2} \cdot e^{x}f(x)=x2⋅ex וסווגו אותן.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: גוזרים מכפלה כמכפלת הנגזרות

טעות נפוצה: מהפכים את סדר האיברים בכלל המנה

טעות נפוצה: מנסים לאפס את הגורם המעריכי

טעות נפוצה: שוכחים את תחום ההגדרה בצירופי מנה ולוגריתם

סיכום

תרגול נוסף

גזרו את $f(x) = x^{2} \cdot e^{x}$ .

גזרו את $f(x) = \frac{e^{x}}{x} ($ בתחום $x \ne 0)$ .

גזרו את $f(x) = x \cdot \ln x ($ בתחום $x > 0)$ .

מצאו את נקודת הקיצון של $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ והערך המקסימלי (בתחום $x > 0)$ .

מצאו את הנקודות החשודות לקיצון של $f(x) = x^{2} \cdot e^{x}$ וסווגו אותן.