נגזרת של פונקציה מעריכית (בסיס e)

מבוא

מטרות השיעור

להכיר את המספר $e \approx 2.718$ ואת הפונקציה המעריכית הטבעית $f (x) = e^{x}$
להבין ולזכור את הנגזרת היסודית $(e^{x})^{'} = e^{x}$
ליישם את כלל השרשרת לגזירת פונקציות מורכבות $(e^{f (x)})^{'} = f^{'} (x) e^{f (x)}$ כאשר f(x) פולינום
לגזור צירופים פשוטים: כפל בקבוע וסכום של מעריכיות

הרעיון המרכזי

המספר e והנגזרת של $e^{x}$

מבין כל הפונקציות המעריכיות $a^{x}$ , יש בסיס מיוחד אחד שעבורו שיפוע המשיק בנקודה (0,1) שווה בדיוק ל-1. בסיס זה הוא המספר $e \approx 2.71828$ .

התוצאה היסודית של כל היחידה: $(e^{x})^{'} = e^{x}$

כלומר, $e^{x}$ היא הפונקציה (היחידה, עד כדי כפל בקבוע) השווה לנגזרת של עצמה. בכל נקודה שיפוע המשיק שווה לערך הפונקציה.

כלל השרשרת עבור $e^{f(x)}$

כאשר במקום x מופיע בחזקה ביטוי f(x), גוזרים בעזרת כלל השרשרת (פונקציה מורכבת): $(e^{f (x)})^{'} = f^{'} (x) \cdot e^{f (x)}$

במילים: מעתיקים את הפונקציה המעריכית כמו שהיא, ומכפילים בנגזרת המעריך f'(x). הפונקציה המעריכית אף פעם לא "מורידה" את המעריך כמקדם — זה ההבדל המהותי מכלל החזקה.

ביחידה זו f(x) הוא תמיד פולינום (הרכבה בת שני שלבים בלבד).

כלל ליניארי שימושי

מקרה פרטי נפוץ הוא מעריך ליניארי f(x)=ax+b, שעבורו f'(x)=a: $(e^{a x + b})^{'} = a e^{a x + b}$

לדוגמה $(e^{3 x})^{'} = 3 e^{3 x}$ וגם $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הנגזרת היסודית וכפל בקבוע

גזרו את $f(x) = 4e^{x}$ .

f^{'} (x) = 4 e^{x}

שלב 1 — הנגזרת היסודית

(e^{x})' = e^{x}

— הפונקציה המעריכית הטבעית שווה לנגזרת של עצמה.

דוגמה 2: מעריך ליניארי (כלל השרשרת)

גזרו את $f(x) = e^{3x}$ .

(e^{3 x})^{'} = 3 e^{3 x}

שלב 1 — מזהים את המעריך

המעריך הוא

f(x)=3x

, ונגזרתו

f'(x)=3

בדיקה מהירה

מהי הנגזרת של הפונקציה $f(x) = e^{x}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהי הנגזרת של הפונקציה $f(x) = e^{3x}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מעריך פולינומי ריבועי

גזרו את $f(x) = e^{x^{2} + 1}$ .

(e^{x^{2} + 1})^{'} = 2 x e^{x^{2} + 1}

שלב 1 — נגזרת המעריך

המעריך הוא

x^{2}+1

; נגזרתו 2x (הנגזרת של הקבוע 1 היא 0).

דוגמה 4: הצבת ערך בנגזרת

נתון $f(x) = e^{x^{2} - 4x}$ . חשבו את $f'(0)$ .

f^{'} (x) = (2 x - 4) e^{x^{2} - 4 x}, f^{'} (0) = - 4 \cdot e^{0} = - 4

שלב 1 — גוזרים

נגזרת המעריך

x^{2}-4x

היא

2x-4

, לכן

f'(x) = (2x-4) \cdot e^{x^{2}-4x}

דוגמה 5: סכום של מעריכיות

גזרו את $f(x) = 5e^{x} + e^{-x}$ .

f^{'} (x) = 5 e^{x} - e^{- x}

שלב 1 — גוזרים מחובר ראשון

(5e^{x})' = 5e^{x}

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: גוזרים $e^{x}$ בכלל החזקה

טעות: $(e^{x})^{'} = x e^{x - 1}$ .

נכון: $(e^{x})^{'} = e^{x}$ .

למה זה קורה?

מבלבלים בין

x^{n} (

בסיס משתנה, מעריך קבוע) לבין

e^{x} (

בסיס קבוע, מעריך משתנה).

איך מתקנים?

זכרו:

(e^{x})'=e^{x}

. הפונקציה המעריכית אף פעם לא מורידה את המעריך כמקדם.

תשובה קצרה

גזרו את הפונקציה $f(x) = e^{x^{2} + 1}$ . כתבו את f'(x).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: שוכחים את הנגזרת הפנימית f'(x)

טעות: $(e^{3 x})^{'} = e^{3 x}$ .

נכון: $(e^{3 x})^{'} = 3 e^{3 x}$ — מכפילים בנגזרת המעריך, שהיא 3.

למה זה קורה?

מעתיקים את

e^{f(x)}

כמו שהוא בלי להפעיל את כלל השרשרת.

איך מתקנים?

תמיד מכפילים בנגזרת המעריך:

(e^{f(x)})' = f'(x) \cdot e^{f(x)}

טעות נפוצה: מורידים את המעריך כמקדם בפונקציה מורכבת

טעות: $(e^{x^{2}})^{'} = x^{2} e^{x^{2} - 1}$ .

נכון: $(e^{x^{2}})^{'} = 2 x e^{x^{2}}$ .

למה זה קורה?

מערבבים את כלל החזקה בכלל השרשרת של המעריכית.

איך מתקנים?

המעריך נגזר בנפרד ומופיע רק כגורם f'(x); הוא לא יורד ב-1.

תשובה מספרית

נתון $f(x) = e^{x^{2} - 4x}$ . חשבו את $f'(0)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

נגזרת של פונקציה מעריכית בבסיס e:

הנגזרת היסודית: $(e^{x})^{'} = e^{x}$ — הפונקציה שווה לנגזרת של עצמה.
כלל השרשרת: $(e^{f (x)})^{'} = f^{'} (x) e^{f (x)}$ (כאן f פולינום).
מעריך ליניארי: $(e^{a x + b})^{'} = a e^{a x + b}$ .

זכרו:

אף פעם לא מורידים את המעריך כמקדם (זה לא כלל החזקה).
לא שוכחים את הגורם f'(x).

בשיעור הבא נלמד את הנגזרת של הפונקציה הלוגריתמית הטבעית $ln x$ .

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על גזירת פונקציות מעריכיות בבסיס e!

נגזרת של פונקציה מעריכית (בסיס e)

נגזרת של פונקציה מעריכית (בסיס e)

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הנגזרת היסודית וכפל בקבוע

גזרו את f(x)=4exf(x) = 4e^{x}f(x)=4ex.

דוגמה 2: מעריך ליניארי (כלל השרשרת)

גזרו את f(x)=e3xf(x) = e^{3x}f(x)=e3x.

דוגמה 3: מעריך פולינומי ריבועי

גזרו את f(x)=ex2+1f(x) = e^{x^{2} + 1}f(x)=ex2+1.

דוגמה 4: הצבת ערך בנגזרת

נתון f(x)=ex2−4xf(x) = e^{x^{2} - 4x}f(x)=ex2−4x. חשבו את f′(0)f'(0)f′(0).

דוגמה 5: סכום של מעריכיות

גזרו את f(x)=5ex+e−xf(x) = 5e^{x} + e^{-x}f(x)=5ex+e−x.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: גוזרים exe^{x}ex בכלל החזקה

טעות נפוצה: שוכחים את הנגזרת הפנימית f'(x)

טעות נפוצה: מורידים את המעריך כמקדם בפונקציה מורכבת

סיכום

תרגול נוסף

גזרו את $f(x) = 4e^{x}$ .

גזרו את $f(x) = e^{3x}$ .

גזרו את $f(x) = e^{x^{2} + 1}$ .

נתון $f(x) = e^{x^{2} - 4x}$ . חשבו את $f'(0)$ .

גזרו את $f(x) = 5e^{x} + e^{-x}$ .

טעות נפוצה: גוזרים $e^{x}$ בכלל החזקה