נגזרת של פונקציה לוגריתמית (בסיס e)

מבוא

מטרות השיעור

להבין ולזכור את הנגזרת היסודית $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
ליישם את כלל השרשרת לגזירת $(ln f (x))^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$ כאשר f(x) פולינום (עד מדרגה שנייה)
לקבוע את תחום ההגדרה של פונקציה לוגריתמית: f(x) > 0

הרעיון המרכזי

הנגזרת של הלוגריתם הטבעי

הלוגריתם הטבעי $ln x = lo g_{e} x$ הוא הפונקציה ההפוכה ל- $e^{x}$ . נגזרתו היא: $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}, x > 0$

זו נוסחת יסוד נוספת שיש לזכור בעל-פה, לצד $(e^{x})^{'} = e^{x}$ .

כלל השרשרת עבור $\ln f(x)$

כאשר הארגומנט של הלוגריתם הוא ביטוי f(x), גוזרים בעזרת כלל השרשרת: $(ln f (x))^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$

במילים: הנגזרת היא שבר שבמכנה שלו הפונקציה הפנימית f(x), ובמונה הנגזרת הפנימית f'(x). לא שוכחים את המונה!

ביחידה זו f(x) הוא פולינום ממדרגה ראשונה או שנייה (הרכבה בת שני שלבים בלבד).

תחום ההגדרה — חלק מהפתרון

הלוגריתם מוגדר רק עבור ארגומנט חיובי. לכן תחום ההגדרה של $ln f (x)$ הוא: f(x) > 0

תמיד קובעים את תחום ההגדרה לפני הגזירה והחקירה. למשל:

$ln (x - 4)$ מוגדרת ל-x>4.
$ln (x^{2} + 1)$ מוגדרת לכל x ממשי, כי $x^{2} + 1 > 0$ תמיד.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הנגזרת היסודית

גזרו את $f(x) = \ln x$ , וחשבו את $f'(2)$ .

f^{'} (x) = \frac{1}{x}, f^{'} (2) = \frac{1}{2}

שלב 1 — הנוסחה היסודית

(\ln x)' = \frac{1}{x}

, עבור

x>0

בדיקה מהירה

מהי הנגזרת של הפונקציה $f(x) = \ln x ($ לוגריתם טבעי)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: ארגומנט ליניארי (כלל השרשרת)

גזרו את $f(x) = \ln (5x - 2)$ , וכתבו את תחום ההגדרה.

(ln (5 x - 2))^{'} = \frac{5}{5 x - 2}

שלב 1 — תחום הגדרה

דרוש

5x-2>0

, כלומר

x>0.4

דוגמה 3: ארגומנט ריבועי

גזרו את $f(x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

שלב 1 — תחום הגדרה

x^{2}+1>0

לכל x ממשי, לכן התחום הוא כל הממשיים.

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x) = \ln (x - 4)$ הוא $x > 4$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהי הנגזרת של הפונקציה $f(x) = \ln (x^{2} + 1)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: הצבת ערך בנגזרת

נתון $f(x) = \ln (x^{2} - 3x + 5)$ . חשבו את $f'(0)$ .

f^{'} (x) = \frac{2 x - 3}{x ^{2} - 3 x + 5}, f^{'} (0) = \frac{- 3}{5} = - 0.6

שלב 1 — גוזרים

f'(x) = \frac{2x-3}{x^{2}-3x+5}

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

נתון $f(x) = \ln (x^{2} - 3x + 5)$ . חשבו את $f'(0). ($ עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את הנגזרת הפנימית f'(x)

טעות: $(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ .

נכון: $(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ .

למה זה קורה?

זוכרים שהמכנה הוא f(x) אבל שמים 1 במונה במקום f'(x).

איך מתקנים?

(\ln f(x))' = f'\frac{x}{f(x)}

. המונה הוא תמיד הנגזרת הפנימית.

טעות נפוצה: מתעלמים מתחום ההגדרה

עבור $ln (x - 4)$ , אסור לקחת $x \leq 4$ : התחום הוא x>4 בלבד.

למה זה קורה?

מתחילים לגזור בלי לבדוק מתי הארגומנט חיובי.

איך מתקנים?

\ln f(x)

מוגדר רק כאשר

f(x)>0

. קובעים את התחום לפני הגזירה והחקירה.

טעות נפוצה: חושבים ש- $(\ln x)' = \ln x$ או $= 1$

טעות: $(ln x)^{'} = ln x$ .

נכון: $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ .

למה זה קורה?

היקש שגוי מהמעריכית

(e^{x})'=e^{x}

, או בלבול עם נגזרת של x.

איך מתקנים?

הנגזרת של הלוגריתם הטבעי היא פונקציה רציונלית:

(\ln x)' = \frac{1}{x}

סיכום

מה למדנו?

נגזרת של פונקציה לוגריתמית בבסיס e:

הנגזרת היסודית: $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ (עבור x>0).
כלל השרשרת: $(ln f (x))^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$ .
תחום ההגדרה: f(x)>0 — חלק חיוני מכל פתרון.

זכרו:

המונה הוא הנגזרת הפנימית f'(x) — לא 1.
קובעים תחום הגדרה לפני הכול.

בשיעור הבא נשתמש בנגזרות אלה כדי למצוא משוואת משיק ולבצע חקירת פונקציה מלאה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על גזירת פונקציות לוגריתמיות בבסיס e!

נגזרת של פונקציה לוגריתמית (בסיס e)

נגזרת של פונקציה לוגריתמית (בסיס e)

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הנגזרת היסודית

גזרו את f(x)=ln⁡xf(x) = \ln xf(x)=lnx, וחשבו את f′(2)f'(2)f′(2).

דוגמה 2: ארגומנט ליניארי (כלל השרשרת)

גזרו את f(x)=ln⁡(5x−2)f(x) = \ln (5x - 2)f(x)=ln(5x−2), וכתבו את תחום ההגדרה.

דוגמה 3: ארגומנט ריבועי

גזרו את f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln (x^{2} + 1)f(x)=ln(x2+1).

דוגמה 4: הצבת ערך בנגזרת

נתון f(x)=ln⁡(x2−3x+5)f(x) = \ln (x^{2} - 3x + 5)f(x)=ln(x2−3x+5). חשבו את f′(0)f'(0)f′(0).

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את הנגזרת הפנימית f'(x)

טעות נפוצה: מתעלמים מתחום ההגדרה

טעות נפוצה: חושבים ש-(ln⁡x)′=ln⁡x(\ln x)' = \ln x(lnx)′=lnx או =1= 1=1

סיכום

תרגול נוסף

גזרו את $f(x) = \ln x$ , וחשבו את $f'(2)$ .

גזרו את $f(x) = \ln (5x - 2)$ , וכתבו את תחום ההגדרה.

גזרו את $f(x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

נתון $f(x) = \ln (x^{2} - 3x + 5)$ . חשבו את $f'(0)$ .

טעות נפוצה: חושבים ש- $(\ln x)' = \ln x$ או $= 1$