משוואת משיק וחקירת פונקציה

מבוא

מטרות השיעור

למצוא משוואת משיק לגרף פונקציה בנקודה נתונה: $y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$
לבצע חקירת פונקציה מלאה: תחום הגדרה, נקודות חיתוך עם הצירים, תחומי עלייה וירידה, נקודות קיצון (מקומי ומוחלט) ותחומי חיוביות
להבין שגורם מעריכי $e^{(\dots)}$ חיובי תמיד, ולכן רק הגורם הפולינומי מאפס את הנגזרת
לסרטט סקיצה של גרף הפונקציה על סמך החקירה

הרעיון המרכזי

משוואת המשיק

המשיק לגרף y=f(x) בנקודה שבה $x = x_{0}$ הוא הישר העובר דרך הנקודה $(x_{0}, f (x_{0}))$ ושיפועו הוא ערך הנגזרת שם, $f^{'} (x_{0})$ : $y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$

שני נתונים דרושים: שיעור ה-y של הנקודה, $f (x_{0})$ , והשיפוע, $f^{'} (x_{0})$ . שימו לב שהשיפוע הוא הנגזרת — לא שיעור החיתוך.

שלבי חקירת פונקציה

תחום הגדרה — קריטי עבור $ln$ ועבור פונקציות מנה.
נקודות חיתוך עם הצירים — חיתוך עם ציר y ב-x=0; חיתוך עם ציר x מפתרון f(x)=0.
גזירה וחישוב f'(x).
נקודות חשודות לקיצון — פתרון f'(x)=0.
טבלת סימנים של f' — קובעת תחומי עלייה/ירידה ואת סוג הקיצון.
תחומי חיוביות/שליליות של f וסרטוט סקיצה.

הגורם המעריכי לעולם אינו מתאפס

בפונקציות מהצורה $f (x) = P (x) e^{g (x)}$ , הנגזרת מכילה גורם מעריכי. מאחר ש- $e^{g (x)} > 0$ לכל x, רק הגורם הפולינומי יכול לאפס את הנגזרת. זו תובנה שחוסכת עבודה: פותרים רק את החלק הפולינומי המשווה לאפס.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משוואת משיק לפונקציה מעריכית

מצאו את משוואת המשיק לגרף $f(x) = e^{x}$ בנקודה $x = 0$ .

y = 1 \cdot (x - 0) + 1 = x + 1

שלב 1 — שיעור ה-y

f(0) = e^{0} = 1

, אז הנקודה היא

(0, 1)

דוגמה 2: משוואת משיק לפונקציה מעריכית מורכבת

מצאו את משוואת המשיק לגרף $f(x) = e^{2x}$ בנקודה $x = 0$ .

f^{'} (x) = 2 e^{2 x}, y = 2 x + 1

שלב 1 — שיעור ה-y

f(0) = e^{0} = 1

דוגמה 3: חקירת קיצון של x·eˣ

חקרו את נקודת הקיצון של $f(x) = x \cdot e^{x}$ .

f^{'} (x) = (x + 1) e^{x}, x_{m i n} = - 1, f (- 1) = - \frac{1}{e}

שלב 1 — תחום הגדרה

הפונקציה מוגדרת לכל x ממשי.

בדיקה מהירה

מהי משוואת המשיק לגרף הפונקציה $f(x) = e^{x}$ בנקודה שבה $x = 0$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נתון $f(x) = x \cdot e^{x}$ . נכון או לא נכון: לפונקציה יש נקודת קיצון יחידה ב- $x = -1$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתון $f(x) = e^{x} - x$ . מהו שיעור ה-x של נקודת הקיצון של הפונקציה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: חקירה מלאה ומקסימום מוחלט של x·e⁻ˣ

חקרו את $f(x) = x \cdot e^{-x}:$ תחום, חיתוכים, קיצון וחיוביות.

f^{'} (x) = (1 - x) e^{- x}, x_{m a x} = 1, f (1) = \frac{1}{e}

שלב 1 — תחום וחיתוכים

תחום: כל x ממשי. חיתוך עם הצירים:

f(x)=0

כאשר

x=0

, כלומר ראשית הצירים

(0,0)

דוגמה 5: קיצון של פונקציה לוגריתמית

חקרו את הקיצון של $f(x) = \ln x - x ($ בתחום $x > 0)$ ומצאו את הערך המקסימלי.

f^{'} (x) = \frac{1}{x} - 1, x_{m a x} = 1, f (1) = - 1

שלב 1 — תחום הגדרה

\ln x

מחייב

x>0

; זהו התחום.

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

נתון $f(x) = \ln x - x ($ בתחום $x > 0)$ . חשבו את הערך המקסימלי של הפונקציה (שיעור ה-y בנקודת הקיצון).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין שיפוע המשיק לשיעור החיתוך

טעות: למשיק של $e^{x}$ ב-x=0 כותבים $y = x + f^{'} (0) \cdot x$ .

נכון: $y = f^{'} (0) (x - 0) + f (0) = 1 \cdot x + 1 = x + 1$ .

למה זה קורה?

מציבים את

f'(x_{0})

במקום הלא נכון בנוסחת המשיק, או משתמשים בו כקבוע.

איך מתקנים?

f'(x_{0})

הוא תמיד השיפוע. הנוסחה:

y = f'(x_{0})(x - x_{0}) + f(x_{0})

טעות נפוצה: מנסים לאפס את הגורם המעריכי

ב- $f^{'} (x) = (x + 1) e^{x}$ פותרים רק x+1=0, ולא מחפשים אפסים של $e^{x}$ .

למה זה קורה?

פותרים

e^{g(x)}=0

, אבל פונקציה מעריכית לעולם אינה אפס.

איך מתקנים?

e^{g(x)}>0

לכל x. בנגזרת מהצורה

P(x) \cdot e^{g(x)}

, מאפסים רק את P(x).

טעות נפוצה: קובעים סוג קיצון בלי טבלת סימנים

ב- $x \cdot e^{- x}$ הנגזרת $(1 - x) e^{- x}$ חיובית לפני x=1 ושלילית אחריה — לכן מקסימום.

למה זה קורה?

מנחשים מקסימום/מינימום לפי ערך הנקודה במקום לפי שינוי הסימן של f'.

איך מתקנים?

בודקים את הסימן של f' משני צידי הנקודה: מעבר +→− הוא מקסימום, −→+ הוא מינימום.

סיכום

מה למדנו?

משוואת משיק וחקירת פונקציה:

משוואת המשיק: $y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$ — שיפוע מהנגזרת, נקודה מהפונקציה.
חקירה: תחום → חיתוכים → גזירה → f'(x)=0 → טבלת סימנים → חיוביות וסקיצה.
גורם מעריכי $e^{g (x)} > 0$ תמיד; רק החלק הפולינומי מאפס את הנגזרת.

זכרו:

השיפוע הוא $f^{'} (x_{0})$ , לא שיעור החיתוך.
סוג הקיצון נקבע מטבלת סימנים של f'.

בשיעור הבא נשלב את הפונקציות הללו עם פולינומים ופונקציות רציונליות (מכפלה ומנה).

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על משוואת משיק וחקירת פונקציה!

משוואת משיק וחקירת פונקציה

משוואת משיק וחקירת פונקציה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משוואת משיק לפונקציה מעריכית

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)=exf(x) = e^{x}f(x)=ex בנקודה x=0x = 0x=0.

דוגמה 2: משוואת משיק לפונקציה מעריכית מורכבת

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)=e2xf(x) = e^{2x}f(x)=e2x בנקודה x=0x = 0x=0.

דוגמה 3: חקירת קיצון של x·eˣ

חקרו את נקודת הקיצון של f(x)=x⋅exf(x) = x \cdot e^{x}f(x)=x⋅ex.

דוגמה 4: חקירה מלאה ומקסימום מוחלט של x·e⁻ˣ

חקרו את f(x)=x⋅e−x:f(x) = x \cdot e^{-x}:f(x)=x⋅e−x: תחום, חיתוכים, קיצון וחיוביות.

דוגמה 5: קיצון של פונקציה לוגריתמית

חקרו את הקיצון של f(x)=ln⁡x−x(f(x) = \ln x - x (f(x)=lnx−x(בתחום x>0)x > 0)x>0) ומצאו את הערך המקסימלי.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין שיפוע המשיק לשיעור החיתוך

טעות נפוצה: מנסים לאפס את הגורם המעריכי

טעות נפוצה: קובעים סוג קיצון בלי טבלת סימנים

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את משוואת המשיק לגרף $f(x) = e^{x}$ בנקודה $x = 0$ .

מצאו את משוואת המשיק לגרף $f(x) = e^{2x}$ בנקודה $x = 0$ .

חקרו את נקודת הקיצון של $f(x) = x \cdot e^{x}$ .

חקרו את $f(x) = x \cdot e^{-x}:$ תחום, חיתוכים, קיצון וחיוביות.

חקרו את הקיצון של $f(x) = \ln x - x ($ בתחום $x > 0)$ ומצאו את הערך המקסימלי.