מציאת פונקציה קדומה לפי נגזרת ונקודה

מבוא

מטרות השיעור

להבין שלפונקציה יש משפחה שלמה של קדומות, הנבדלות בקבוע C
למצוא את הקדומה ע"י אינטגרציה של הנגזרת — כולל הקבוע C
להציב נקודה נתונה בפונקציה הקדומה (לא בנגזרת) ולחלץ את C
לכתוב את הפונקציה היחידה שעוברת דרך הנקודה ולבדוק את התשובה

הרעיון המרכזי

משפחת הקדומות ובחירת C

אם F'(x) = G'(x) אז (F-G)' = 0, ולכן F-G קבוע. כלומר לכל פונקציה יש משפחה שלמה של קדומות הנבדלות בקבוע:

F (x) = (קדומה כלשהי) + C

הנגזרת לבדה אינה קובעת את הקבוע — כל ערך של C נותן פונקציה אחרת (הזזה אנכית של הגרף). נקודה אחת הנמצאת על הגרף קובעת איזו קדומה מתוך המשפחה.

שלושת השלבים

מאנטגרים את f'(x) כדי לקבל F(x) + C (אל תשכחו את C!).
מציבים את הנקודה $(x_{0}, y_{0})$ בפונקציה הקדומה: $F (x_{0}) = y_{0}$ , ופותרים ל-C.
כותבים את הפונקציה המלאה ובודקים: מציבים שוב את הנקודה לוודא התאמה.

אזהרה: מציבים את הנקודה ב-F(x) — בפונקציה הקדומה — ולא ב-f'(x).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נגזרת מעריכית

נתון $f'(x)=e^x$ ו- $f(0)=3$ . מצאו את f(x).

f (x) = e^{x} + C, 1 + C = 3 \Rightarrow C = 2, f (x) = e^{x} + 2

שלב 1 — מאנטגרים

f(x) = ∫ e^x dx = e^x + C

דוגמה 2: נגזרת לוגריתמית

נתון $f'(x)=\frac{1}{x}$ ו- $f(1)=5$ . מצאו את f(x).

f (x) = ln ∣ x ∣ + C, ln 1 + C = 5 \Rightarrow C = 5, f (x) = ln ∣ x ∣ + 5

שלב 1 — מאנטגרים

f(x) = ∫ (\frac{1}{x}) dx = \ln |x| + C

בדיקה מהירה

נתון $f'(x) = e^x$ ו- $f(0) = 3$ . מהי הפונקציה f(x)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: נגזרת מעריכית מורכבת

נתון $f'(x)=e^(2x)$ ו- $f(0)=4$ . מצאו את f(x).

f (x) = \frac{1}{2} e^{2 x} + C, \frac{1}{2} + C = 4 \Rightarrow C = 3.5

שלב 1 — מאנטגרים

f(x) = ∫ e^(2x) dx = (\frac{1}{2})e^(2x) + C (

מחלקים במקדם 2).

בדיקה מהירה

נתון $f'(x) = \frac{1}{x}$ ו- $f(1) = 5$ . מהי הפונקציה f(x)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: הצבה במקום נוסף לאחר מציאת C

נתון $f'(x)=\frac{4}{x}$ ו- $f(1)=10$ . מצאו את f(e).

f (x) = 4 ln ∣ x ∣ + 10, f (e) = 4 ln e + 10 = 4 + 10 = 14

שלב 1 — מאנטגרים

f(x) = ∫ \frac{4}{x} dx = 4\ln |x| + C

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

נתון $f'(x) = \frac{4}{x}$ ו- $f(1) = 10$ . מהו הערך f(e)? (e הוא הקלט.) רשמו ערך מדויק.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את קבוע האינטגרציה C

טעות: מ- $f^{'} (x) = e^{x}$ מסיקים מיד $f (x) = e^{x}$ ומתעלמים מהנקודה.

נכון: $f (x) = e^{x} + C$ , ואת C קובעים מהנקודה.

למה זה קורה?

מסיימים את האינטגרציה בלי

+ C

, ואז אין מה לקבוע מהנקודה.

איך מתקנים?

אינטגרל לא־מסוים תמיד מסתיים ב-

+ C

. בלי C אי אפשר להתאים את הפונקציה לנקודה הנתונה.

טעות נפוצה: מציבים את הנקודה בנגזרת f'(x) במקום בקדומה F(x)

טעות: עבור f'(x)=1/x,\ f(1)=5 מציבים בנגזרת: 1/1=5 (חסר היגיון).

נכון: מציבים בקדומה $ln ∣1∣ + C = 5 \Rightarrow C = 5$ .

למה זה קורה?

מבלבלים בין הפונקציה לנגזרתה בשלב ההצבה.

איך מתקנים?

הנקודה

(x_{0},y_{0})

נמצאת על גרף הפונקציה F, ולכן מציבים

F(x_{0})=y_{0}

— לא

f'(x_{0})=y_{0}

טעות נפוצה: מניחים $C = 0$ כברירת מחדל

טעות: רושמים $f (x) = e^{x}$ כאילו C=0 תמיד.

נכון: מציבים את הנקודה ובודקים מה באמת יוצא C.

למה זה קורה?

מדלגים על שלב הנקודה ומניחים שהקדומה הפשוטה היא התשובה.

איך מתקנים?

C נקבע אך ורק מהנקודה הנתונה. רק אם ההצבה נותנת

C=0

— זה המקרה, אחרת C שונה מאפס.

תשובה קצרה

נתון $f'(x) = \frac{1}{x+1}$ ו- $f(0) = 2$ . מצאו את הפונקציה f(x).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

מציאת פונקציה קדומה לפי נגזרת ונקודה:

לפונקציה יש משפחה שלמה של קדומות, הנבדלות בקבוע C.
שלב א': מאנטגרים את f'(x) ומקבלים F(x)+C.
שלב ב': מציבים את הנקודה בפונקציה הקדומה ופותרים ל-C.
שלב ג': כותבים את הפונקציה המלאה ובודקים בהצבה חוזרת.

זכרו:

אל תשכחו את C — בלעדיו אין מה לקבוע.
מציבים את הנקודה ב-F(x), לא ב-f'(x).

בשיעור הבא נשתמש באינטגרל המסוים כדי לחשב שטחים בין גרפים לציר ה-x ובין שני גרפים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת פונקציה קדומה לפי נגזרת ונקודה!

מציאת פונקציה קדומה לפי הנגזרת ונקודה על הגרף

מציאת פונקציה קדומה לפי הנגזרת ונקודה על הגרף

מציאת פונקציה קדומה לפי נגזרת ונקודה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נגזרת מעריכית

נתון $f'(x)=e^x$ ו- $f(0)=3$ . מצאו את f(x).

דוגמה 2: נגזרת לוגריתמית

נתון $f'(x)=\frac{1}{x}$ ו- $f(1)=5$ . מצאו את f(x).

דוגמה 3: נגזרת מעריכית מורכבת

נתון $f'(x)=e^(2x)$ ו- $f(0)=4$ . מצאו את f(x).

דוגמה 4: הצבה במקום נוסף לאחר מציאת C

נתון $f'(x)=\frac{4}{x}$ ו- $f(1)=10$ . מצאו את f(e).

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את קבוע האינטגרציה C

טעות נפוצה: מציבים את הנקודה בנגזרת f'(x) במקום בקדומה F(x)

טעות נפוצה: מניחים $C = 0$ כברירת מחדל

סיכום

תרגול נוסף

מציאת פונקציה קדומה לפי הנגזרת ונקודה על הגרף

מציאת פונקציה קדומה לפי נגזרת ונקודה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נגזרת מעריכית

נתון f′(x)=exf'(x)=e^xf′(x)=ex ו-f(0)=3f(0)=3f(0)=3. מצאו את f(x).

דוגמה 2: נגזרת לוגריתמית

נתון f′(x)=1xf'(x)=\frac{1}{x}f′(x)=x1​ ו-f(1)=5f(1)=5f(1)=5. מצאו את f(x).

דוגמה 3: נגזרת מעריכית מורכבת

נתון f′(x)=e(2x)f'(x)=e^(2x)f′(x)=e(2x) ו-f(0)=4f(0)=4f(0)=4. מצאו את f(x).

דוגמה 4: הצבה במקום נוסף לאחר מציאת C

נתון f′(x)=4xf'(x)=\frac{4}{x}f′(x)=x4​ ו-f(1)=10f(1)=10f(1)=10. מצאו את f(e).

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את קבוע האינטגרציה C

טעות נפוצה: מציבים את הנקודה בנגזרת f'(x) במקום בקדומה F(x)

טעות נפוצה: מניחים C=0C = 0C=0 כברירת מחדל

סיכום

תרגול נוסף

נתון $f'(x)=e^x$ ו- $f(0)=3$ . מצאו את f(x).

נתון $f'(x)=\frac{1}{x}$ ו- $f(1)=5$ . מצאו את f(x).

נתון $f'(x)=e^(2x)$ ו- $f(0)=4$ . מצאו את f(x).

נתון $f'(x)=\frac{4}{x}$ ו- $f(1)=10$ . מצאו את f(e).

טעות נפוצה: מניחים $C = 0$ כברירת מחדל