חישוב שטחים באמצעות האינטגרל המסוים

מבוא

מטרות השיעור

לחשב שטח בין גרף פונקציה חיובית לציר ה-x כאינטגרל מסוים
לטפל בפונקציה שלילית: השטח הוא הערך המוחלט של האינטגרל
לטפל בפונקציה שמשנה סימן: לפצל את הקטע בנקודות האפס ולסכום ערכים מוחלטים
לחשב שטח כלוא בין שני גרפים כאינטגרל ההפרש (עליון פחות תחתון)
לזכור: שטח הוא תמיד גודל חיובי

הרעיון המרכזי

שטח בין גרף לציר ה-x

עבור פונקציה חיובית $f (x) \geq 0$ בקטע [a,b], השטח בין הגרף לציר ה-x הוא:

S = \int_{a}^{b} f (x) d x

אם הפונקציה שלילית בקטע, האינטגרל יוצא שלילי, ולכן השטח הוא הערך המוחלט:

S = \int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x

פונקציה שמשנה סימן — מפצלים!

אם f חיובית בחלק מהקטע ושלילית בחלק אחר, אסור לאנטגרל על כל הקטע בבת אחת — החלקים יקזזו זה את זה ונקבל שטח שגוי (קטן מדי). במקום זאת:

מוצאים את נקודות האפס (היכן f(x)=0) ומפצלים את הקטע.
מחשבים את האינטגרל בכל תת-קטע בנפרד.
לוקחים ערך מוחלט של כל חלק ומחברים.

S = \int_{a}^{c} f d x + \int_{c}^{b} f d x

שטח בין שני גרפים

השטח הכלוא בין שני גרפים f (עליון) ו-g (תחתון) בקטע [a,b] הוא:

S = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x (עליון פחות תחתון)

שלבים: מוצאים תחילה את נקודות החיתוך (היכן f=g) — הן הגבולות. קובעים מי הפונקציה העליונה בקטע, ומאנטגרים את ההפרש. כיוון שהעליונה גדולה מהתחתונה, ההפרש אי-שלילי והשטח יוצא חיובי.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שטח מתחת לגרף חיובי

חשבו את השטח בין גרף $f(x)=e^x$ לציר ה-x בקטע [0, 2].

S = \int_{0}^{2} e^{x} d x = [e^{x}]_{0}^{2} = e^{2} - 1 \approx 6.39

שלב 1 — הפונקציה חיובית

e^x > 0

לכל x, אז

S = ∫ from 0 to 2 of e^x dx

בדיקה מהירה

מהו השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $f(x)=e^x$ לבין ציר ה-x בקטע [0, 1]?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $f(x)=e^x$ לבין ציר ה-x בקטע [0, 2]. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.02

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: פונקציה מתחת לציר

חשבו את השטח בין גרף $f(x)=-e^x$ לציר ה-x בקטע [0, 1].

S = \int_{0}^{1} (- e^{x}) d x = ∣ - (e - 1) ∣ = e - 1 \approx 1.72

שלב 1 — הפונקציה שלילית

-e^x < 0

בכל הקטע, אז האינטגרל יצא שלילי והשטח הוא הערך המוחלט שלו.

דוגמה 3: פונקציה שמשנה סימן

חשבו את השטח בין גרף $f(x)=e^x-1$ לציר ה-x בקטע [−1, 1].

S = \int_{0}^{1} (e^{x} - 1) d x + \int_{- 1}^{0} (e^{x} - 1) d x = (e - 2) + \frac{1}{e} \approx 1.09

שלב 1 — מוצאים נקודת אפס

e^x - 1 = 0 ⟸ e^x = 1 ⟸ x = 0

. בקטע [−1,0] הפונקציה שלילית, בקטע [0,1] חיובית — מפצלים ב-

x=0

תשובה מספרית

הפונקציה $f(x)=e^x-1$ משנה סימן בקטע [−1, 1]. חשבו את השטח הכולל הכלוא בין הגרף לציר ה-x. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.02

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שטח בין שני גרפים

חשבו את השטח הכלוא בין $y=e ($ קו אופקי) לבין $y=e^x$ בקטע [0, 1].

S = \int_{0}^{1} (e - e^{x}) d x = [e x - e^{x}]_{0}^{1} = (e - e) - (0 - 1) = 1

שלב 1 — מי למעלה?

בקטע [0,1] מתקיים

e^x \le e^1 = e

, ולכן הקו

y=e

עליון ו-

y=e^x

תחתון.

תשובה מספרית

חשבו את השטח הכלוא בין הקו האופקי $y=e$ לבין גרף הפונקציה $y=e^x$ בקטע [0, 1]. רשמו ערך מדויק.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שטח בין שני גרפים מעריכיים עם מציאת חיתוך

חשבו את השטח הכלוא בין $y=e^(2x)$ לבין $y=e^x$ , בין נקודות החיתוך עד $x=\ln 2$ .

S = \int_{0}^{l n 2} (e^{2 x} - e^{x}) d x = [\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}]_{0}^{l n 2} = 0 - (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

כאן $e^{2 l n 2} = e^{l n 4} = 4$ ו- $e^{l n 2} = 2$ .

שלב 1 — נקודת חיתוך תחתונה

e^(2x) = e^x ⟸ 2x = x ⟸ x = 0

. הקטע הוא

[0, \ln 2]

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מקבלים שטח שלילי

טעות: עבור $f (x) = - e^{x}$ ב-[0,1] כותבים S=-(e-1).

נכון: S=|-(e-1)|=e-1.

למה זה קורה?

מזהים את השטח עם ערך האינטגרל גם כשהפונקציה מתחת לציר.

איך מתקנים?

שטח הוא תמיד חיובי. אם האינטגרל יצא שלילי (פונקציה מתחת לציר), השטח הוא הערך המוחלט שלו.

טעות נפוצה: לא מפצלים פונקציה שמשנה סימן

טעות: עבור $f (x) = e^{x} - 1$ ב-[-1,1] מחשבים אינטגרל יחיד $\approx 0.35$ וקוראים לזה שטח.

נכון: מפצלים ב-x=0: $S = (e - 2) + \frac{1}{e} \approx 1.09$ .

למה זה קורה?

מאנטגרים על כל הקטע בבת אחת, והחלק החיובי והשלילי מקזזים זה את זה.

איך מתקנים?

מוצאים את נקודות האפס, מפצלים את הקטע, ומחברים ערכים מוחלטים של כל חלק בנפרד.

טעות נפוצה: בשטח בין גרפים מחסירים בכיוון הלא נכון

טעות: $\int (e^{x} - e) d x$ בקטע שבו e למעלה — נותן שטח שלילי.

נכון: $\int (e - e^{x}) d x$ (העליון e פחות התחתון $e^{x}$ ).

למה זה קורה?

כותבים תחתון פחות עליון, או לא מוצאים תחילה את נקודות החיתוך.

איך מתקנים?

תמיד עליון פחות תחתון, כך שההפרש אי-שלילי. מוצאים קודם את נקודות החיתוך — הן הגבולות.

סיכום

מה למדנו?

חישוב שטחים בעזרת אינטגרל מסוים:

פונקציה חיובית: $S = \int_{a}^{b} f d x$ .
פונקציה שלילית: $S = \int_{a}^{b} f d x$ .
פונקציה שמשנה סימן: מפצלים בנקודות האפס ומחברים ערכים מוחלטים.
שטח בין שני גרפים: $S = \int_{a}^{b} (עליון - תחתון) d x$ , אחרי מציאת נקודות החיתוך.

זכרו:

שטח הוא תמיד חיובי.
בודקים סימן ומפצלים לפי הצורך.
בין גרפים: עליון פחות תחתון, וגבולות = נקודות החיתוך.

בזה השלמנו את החשבון האינטגרלי של הפונקציות המעריכיות והלוגריתמיות — מהקדומה הבסיסית ועד חישובי שטח מורכבים!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישובי שטחים: מתחת לציר, בשינוי סימן ובין שני גרפים!

חישובי שטחים בעזרת אינטגרל מסוים

חישובי שטחים בעזרת אינטגרל מסוים

חישוב שטחים באמצעות האינטגרל המסוים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שטח מתחת לגרף חיובי

חשבו את השטח בין גרף $f(x)=e^x$ לציר ה-x בקטע [0, 2].

דוגמה 2: פונקציה מתחת לציר

חשבו את השטח בין גרף $f(x)=-e^x$ לציר ה-x בקטע [0, 1].

דוגמה 3: פונקציה שמשנה סימן

חשבו את השטח בין גרף $f(x)=e^x-1$ לציר ה-x בקטע [−1, 1].

דוגמה 4: שטח בין שני גרפים

חשבו את השטח הכלוא בין $y=e ($ קו אופקי) לבין $y=e^x$ בקטע [0, 1].

דוגמה 5: שטח בין שני גרפים מעריכיים עם מציאת חיתוך

חשבו את השטח הכלוא בין $y=e^(2x)$ לבין $y=e^x$ , בין נקודות החיתוך עד $x=\ln 2$ .

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מקבלים שטח שלילי

טעות נפוצה: לא מפצלים פונקציה שמשנה סימן

טעות נפוצה: בשטח בין גרפים מחסירים בכיוון הלא נכון

סיכום

תרגול נוסף

חישובי שטחים בעזרת אינטגרל מסוים

חישוב שטחים באמצעות האינטגרל המסוים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שטח מתחת לגרף חיובי

חשבו את השטח בין גרף f(x)=exf(x)=e^xf(x)=ex לציר ה-x בקטע [0, 2].

דוגמה 2: פונקציה מתחת לציר

חשבו את השטח בין גרף f(x)=−exf(x)=-e^xf(x)=−ex לציר ה-x בקטע [0, 1].

דוגמה 3: פונקציה שמשנה סימן

חשבו את השטח בין גרף f(x)=ex−1f(x)=e^x-1f(x)=ex−1 לציר ה-x בקטע [−1, 1].

דוגמה 4: שטח בין שני גרפים

חשבו את השטח הכלוא בין y=e(y=e (y=e(קו אופקי) לבין y=exy=e^xy=ex בקטע [0, 1].

דוגמה 5: שטח בין שני גרפים מעריכיים עם מציאת חיתוך

חשבו את השטח הכלוא בין y=e(2x)y=e^(2x)y=e(2x) לבין y=exy=e^xy=ex, בין נקודות החיתוך עד x=ln⁡2x=\ln 2x=ln2.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מקבלים שטח שלילי

טעות נפוצה: לא מפצלים פונקציה שמשנה סימן

טעות נפוצה: בשטח בין גרפים מחסירים בכיוון הלא נכון

סיכום

תרגול נוסף

חשבו את השטח בין גרף $f(x)=e^x$ לציר ה-x בקטע [0, 2].

חשבו את השטח בין גרף $f(x)=-e^x$ לציר ה-x בקטע [0, 1].

חשבו את השטח בין גרף $f(x)=e^x-1$ לציר ה-x בקטע [−1, 1].

חשבו את השטח הכלוא בין $y=e ($ קו אופקי) לבין $y=e^x$ בקטע [0, 1].

חשבו את השטח הכלוא בין $y=e^(2x)$ לבין $y=e^x$ , בין נקודות החיתוך עד $x=\ln 2$ .