אינטגרלים של הפונקציה המעריכית

מבוא

מטרות השיעור

לזכור שהפונקציה $e^{x}$ היא הפונקציה הקדומה של עצמה: $\int e^{x} d x = e^{x} + C$
לפתח את כלל האינטגרציה של הפונקציה המורכבת $e^{a x + b}$ עם פנימית לינארית
להבין מדוע מחלקים במקדם הפנימי a (ולא כופלים בו)
לשלב את הכלל עם סכום, הפרש וכפל בקבוע
לחשב אינטגרלים מסוימים של פונקציות מעריכיות

הרעיון המרכזי

הפונקציה $e^x$ היא הקדומה של עצמה

בכיתה י"ב ראינו שהנגזרת של $e^{x}$ היא $e^{x}$ עצמה. אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה, ולכן:

\int e^{x} d x = e^{x} + C

זוהי תכונה ייחודית של בסיס e. אזהרה: אסור להתייחס ל- $e^{x}$ כמו לפונקציית חזקה $x^{n}$ ולהעלות את המעריך — הכלל $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ אינו חל כאן.

כלל הפנימית הלינארית

עבור פנימית לינארית ax+b (כאשר $a \neq = 0$ ):

\int e^{a x + b} d x = \frac{1}{a} e^{a x + b} + C

מדוע מחלקים ב-a? נבדוק על ידי גזירה חוזרת לפי כלל השרשרת: $(\frac{1}{a} e^{a x + b})^{'} = \frac{1}{a} \cdot e^{a x + b} \cdot (a x + b)^{'} = \frac{1}{a} \cdot a \cdot e^{a x + b} = e^{a x + b}$

החלוקה ב-a מבטלת בדיוק את ה-a שנוצר בגזירה. בגזירה כופלים בנגזרת הפנימית, ולכן באינטגרציה מחלקים בה.

כללים נלווים: קבוע, סכום והפרש

הוצאת קבוע: $\int k e^{a x + b} d x = \frac{k}{a} e^{a x + b} + C$
סכום והפרש: מאנטגרים כל מחובר בנפרד, למשל $\int (e^{x} + e^{2 x}) d x = e^{x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$
אינטגרל מסוים: מציבים את הקדומה בגבולות ומחשבים F(b)-F(a) (הקבוע C מצטמצם).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הקדומה הבסיסית

חשבו את $∫ e^x dx$ ובדקו את התשובה.

\int e^{x} d x = e^{x} + C

שלב 1 — הכלל

e^x

היא הקדומה של עצמה, ולכן

∫ e^x dx = e^x + C

דוגמה 2: פנימית לינארית עם מקדם 2

חשבו את $∫ e^(2x) dx$ .

\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + C

שלב 1 — מזהים פנימית לינארית

הפנימית היא 2x, המקדם שלה הוא

a = 2

בדיקה מהירה

מהי הפונקציה הקדומה $∫ e^x dx$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהי הפונקציה הקדומה $∫ e^(3x) dx$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: פנימית עם קבוע נוסף ומקדם שלילי

חשבו את $∫ e^(-3x+1) dx$ .

\int e^{- 3 x + 1} d x = - \frac{1}{3} e^{- 3 x + 1} + C

שלב 1 — הפנימית

הפנימית היא

-3x+1

, המקדם של x הוא

a = -3 (

הקבוע

+1

לא משפיע על הכלל).

דוגמה 4: כפל בקבוע וסכום

חשבו את $∫ (3e^x + 4e^(2x)) dx$ .

\int (3 e^{x} + 4 e^{2 x}) d x = 3 e^{x} + 2 e^{2 x} + C

שלב 1 — מפצלים לסכום

∫ 3e^x dx + ∫ 4e^(2x) dx

תשובה קצרה

חשבו את $∫ (e^x - e^(-x)) dx$ . רשמו את הפונקציה הקדומה (כולל $+ C)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: אינטגרל מסוים

חשבו את האינטגרל המסוים $∫ from 0 to 1 of 4e^(2x) dx$ .

\int_{0}^{1} 4 e^{2 x} d x = [2 e^{2 x}]_{0}^{1} = 2 e^{2} - 2 \approx 12.78

שלב 1 — קדומה

F(x) = (\frac{4}{2})e^(2x) = 2e^(2x)

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

חשבו את האינטגרל המסוים $∫ from 0 to 1 of e^(2x) dx$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.02

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים לחלק במקדם הפנימי

טעות: $\int e^{2 x} d x = e^{2 x} + C$ .

נכון: $\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ (כי גזירה של $\frac{1}{2} e^{2 x}$ מחזירה $e^{2 x}$ ).

למה זה קורה?

מעתיקים את הפנימית כמו שהיא, כאילו האינטגרל של

e^(2x)

הוא פשוט

e^(2x)

איך מתקנים?

בכל פנימית לינארית

ax+b

מחלקים ב-a. תמיד בדקו בגזירה חוזרת — צריך לחזור לפונקציה המקורית.

טעות נפוצה: כופלים במקדם במקום לחלק

טעות: $\int e^{2 x} d x = 2 e^{2 x} + C$ .

נכון: $\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ .

למה זה קורה?

מבלבלים בין גזירה (שבה כופלים בנגזרת הפנימית) לבין אינטגרציה (שבה מחלקים בה).

איך מתקנים?

גזירה ואינטגרציה הפוכות: בגזירה מופיע מקדם a בחוץ, ולכן באינטגרציה מבטלים אותו על ידי חלוקה ב-a.

טעות נפוצה: מתייחסים ל- $e^x$ כמו לפונקציית חזקה

טעות: $\int e^{x} d x = \frac{e ^{x + 1}}{x + 1} + C$ .

נכון: $\int e^{x} d x = e^{x} + C$ .

למה זה קורה?

מיישמים את הכלל של

x^n

ומעלים את המעריך ב-1.

איך מתקנים?

הכלל

∫x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}

הוא לחזקה של x. כאן x נמצא במעריך —

e^x

נשארת

e^x

סיכום

מה למדנו?

אינטגרלים של פונקציות מעריכיות:

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$ — הפונקציה $e^{x}$ היא הקדומה של עצמה.
$\int e^{a x + b} d x = \frac{1}{a} e^{a x + b} + C$ — בפנימית לינארית מחלקים במקדם a.
הוצאת קבוע, סכום והפרש פועלים כרגיל — מאנטגרים מחובר־מחובר.

זכרו:

תמיד אפשר לבדוק בגזירה חוזרת — חייבים לחזור לפונקציה המקורית.
בגזירה כופלים בנגזרת הפנימית, ולכן באינטגרציה מחלקים בה.

בשיעור הבא נלמד את האינטגרל של $\frac{1}{x}$ ושל $\frac{1}{f ( x )}$ — שהקדומה שלהם לוגריתמית.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על אינטגרלים של פונקציות מעריכיות וכלל הפנימית הלינארית!

אינטגרלים של e^x ושל e^(f(x)) עם פנימית לינארית

אינטגרלים של e^x ושל e^(f(x)) עם פנימית לינארית

אינטגרלים של הפונקציה המעריכית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הקדומה הבסיסית

חשבו את $∫ e^x dx$ ובדקו את התשובה.

דוגמה 2: פנימית לינארית עם מקדם 2

חשבו את $∫ e^(2x) dx$ .

דוגמה 3: פנימית עם קבוע נוסף ומקדם שלילי

חשבו את $∫ e^(-3x+1) dx$ .

דוגמה 4: כפל בקבוע וסכום

חשבו את $∫ (3e^x + 4e^(2x)) dx$ .

דוגמה 5: אינטגרל מסוים

חשבו את האינטגרל המסוים $∫ from 0 to 1 of 4e^(2x) dx$ .

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים לחלק במקדם הפנימי

טעות נפוצה: כופלים במקדם במקום לחלק

טעות נפוצה: מתייחסים ל- $e^x$ כמו לפונקציית חזקה

סיכום

תרגול נוסף

אינטגרלים של e^x ושל e^(f(x)) עם פנימית לינארית

אינטגרלים של הפונקציה המעריכית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הקדומה הבסיסית

חשבו את ∫exdx∫ e^x dx∫exdx ובדקו את התשובה.

דוגמה 2: פנימית לינארית עם מקדם 2

חשבו את ∫e(2x)dx∫ e^(2x) dx∫e(2x)dx.

דוגמה 3: פנימית עם קבוע נוסף ומקדם שלילי

חשבו את ∫e(−3x+1)dx∫ e^(-3x+1) dx∫e(−3x+1)dx.

דוגמה 4: כפל בקבוע וסכום

חשבו את ∫(3ex+4e(2x))dx∫ (3e^x + 4e^(2x)) dx∫(3ex+4e(2x))dx.

דוגמה 5: אינטגרל מסוים

חשבו את האינטגרל המסוים ∫from0to1of4e(2x)dx∫ from 0 to 1 of 4e^(2x) dx∫from0to1of4e(2x)dx.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים לחלק במקדם הפנימי

טעות נפוצה: כופלים במקדם במקום לחלק

טעות נפוצה: מתייחסים ל-exe^xex כמו לפונקציית חזקה

סיכום

תרגול נוסף

חשבו את $∫ e^x dx$ ובדקו את התשובה.

חשבו את $∫ e^(2x) dx$ .

חשבו את $∫ e^(-3x+1) dx$ .

חשבו את $∫ (3e^x + 4e^(2x)) dx$ .

חשבו את האינטגרל המסוים $∫ from 0 to 1 of 4e^(2x) dx$ .

טעות נפוצה: מתייחסים ל- $e^x$ כמו לפונקציית חזקה