האינטגרל שמוביל ללוגריתם

מבוא

מטרות השיעור

לזכור שהפונקציה הקדומה של $\frac{1}{x}$ היא $ln ∣ x ∣ + C$ — עם ערך מוחלט
להבין מדוע כלל החזקה $\int x^{n} d x$ נכשל עבור n=-1
להכליל לפונקציה $\frac{1}{a x + b}$ עם מכנה לינארי: מחלקים במקדם a
לחשב אינטגרלים מסוימים שתוצאתם מבוטאת בעזרת $ln$

הרעיון המרכזי

הקדומה של $\frac{1}{x}$

בכיתה י"ב ראינו שהנגזרת של $ln x$ היא $\frac{1}{x}$ . לכן, באופן הפוך:

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C

מדוע ערך מוחלט? הפונקציה $\frac{1}{x}$ מוגדרת גם עבור x<0, אבל $ln x$ מוגדר רק עבור x>0. עבור x<0 מתקיים $(ln (- x))^{'} = \frac{- 1}{- x} = \frac{1}{x}$ — ולכן $ln ∣ x ∣$ היא קדומה בכל תחום ההגדרה $x \neq = 0$ .

מדוע כלל החזקה נכשל ל- $\frac{1}{x}$

היינו רוצים לכתוב $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ ולהשתמש בכלל $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ . אבל עבור n=-1 נקבל מכנה n+1 = 0 — חלוקה באפס! זהו בדיוק המקרה היחיד שבו כלל החזקה אינו עובד, ובו נכנסת הפונקציה הלוגריתמית.

כלל המכנה הלינארי

עבור מכנה לינארי ax+b (כאשר $a \neq = 0$ ):

\int \frac{1}{a x + b} d x = \frac{1}{a} ln ∣ a x + b ∣ + C

בדיקה בגזירה (כלל השרשרת): $(\frac{1}{a} ln ∣ a x + b ∣)^{'} = \frac{1}{a} \cdot \frac{a}{a x + b} = \frac{1}{a x + b}$ .

שוב — מחלקים בנגזרת הפנימית a, בדיוק כמו באינטגרל המעריכי.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הקדומה הבסיסית עם ערך מוחלט

חשבו את $∫ (\frac{1}{x}) dx$ .

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C

שלב 1 — מזהים את המקרה המיוחד

זהו המקרה

n = -1

שבו כלל החזקה נכשל; הקדומה לוגריתמית.

דוגמה 2: מכנה לינארי

חשבו את $∫ \frac{1}{2x+1} dx$ .

\int \frac{1}{2 x + 1} d x = \frac{1}{2} ln ∣2 x + 1∣ + C

שלב 1 — מזהים מכנה לינארי

המכנה

2x+1

לינארי; המקדם של x הוא

a = 2

בדיקה מהירה

מהי הפונקציה הקדומה $∫ (\frac{1}{x}) dx$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהי הפונקציה הקדומה $∫ \frac{1}{2x+1} dx$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

חשבו את $∫ \frac{1}{3x-1} dx$ . רשמו את הפונקציה הקדומה (כולל $+ C)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: כפל בקבוע במונה

חשבו את $∫ \frac{6}{3x-1} dx$ .

\int \frac{6}{3 x - 1} d x = 2 ln ∣3 x - 1∣ + C

שלב 1 — מוציאים קבוע

∫ \frac{6}{3x-1} dx = 6 \cdot ∫ \frac{1}{3x-1} dx

דוגמה 4: אינטגרל מסוים שתוצאתו ln

חשבו את $∫ from 1 to e of (\frac{1}{x}) dx$ .

\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x = [ln x]_{1}^{e} = ln e - ln 1 = 1 - 0 = 1

שלב 1 — קדומה

F(x) = \ln |x|

. בקטע [1, e] כל הערכים חיוביים, אז

\ln |x| = \ln x

תשובה מספרית

חשבו את האינטגרל המסוים $∫ from 1 to 2 of (\frac{1}{x}) dx$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.02

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: אינטגרל מסוים עם מכנה לינארי

חשבו את $∫ from 0 to 1 of \frac{1}{x+1} dx$ .

\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x = [ln ∣ x + 1∣]_{0}^{1} = ln 2 - ln 1 = ln 2 \approx 0.69

שלב 1 — קדומה

המכנה

x+1

לינארי עם

a = 1

, אז

F(x) = \ln |x+1|

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את הערך המוחלט: $\ln (x)$ במקום $\ln |x|$

טעות: $\int \frac{1}{x} d x = ln x + C$ .

נכון: $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ .

למה זה קורה?

זוכרים שהנגזרת של

\ln x

היא

\frac{1}{x}

, ומתעלמים מכך ש-

\frac{1}{x}

מוגדרת גם עבור x שלילי.

איך מתקנים?

הקדומה של

\frac{1}{x}

היא תמיד

\ln |x|+C

. הערך המוחלט מבטיח שהקדומה מוגדרת בכל תחום ההגדרה

x \ne 0

טעות נפוצה: מיישמים את כלל החזקה על $\frac{1}{x}$

טעות: $\int x^{- 1} d x = \frac{x ^{0}}{0}$ — לא מוגדר.

נכון: $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ .

למה זה קורה?

כותבים

\frac{1}{x} = x^{-1}

ומנסים

∫x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}

איך מתקנים?

עבור

n = -1

המכנה

n+1

מתאפס — חלוקה באפס. זהו המקרה היחיד שבו כלל החזקה נכשל, והקדומה לוגריתמית.

טעות נפוצה: באינטגרל $\frac{1}{ax+b}$ שוכחים לחלק ב-a

טעות: $\int \frac{1}{2 x + 1} d x = ln ∣2 x + 1∣ + C$ .

נכון: $\int \frac{1}{2 x + 1} d x = \frac{1}{2} ln ∣2 x + 1∣ + C$ .

למה זה קורה?

כותבים מיד

\ln |ax+b|

בלי המקדם

\frac{1}{a}

, או מחלקים בכל המכנה.

איך מתקנים?

מחלקים רק במקדם של x (כלומר a). בדקו בגזירה: כלל השרשרת מחזיר את ה-a במונה, וצריך לבטל אותו.

סיכום

מה למדנו?

האינטגרל הלוגריתמי:

$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ — תמיד עם ערך מוחלט.
$\int \frac{1}{a x + b} d x = \frac{1}{a} ln ∣ a x + b ∣ + C$ — מחלקים במקדם a של המכנה הלינארי.
זהו המקרה n=-1 שבו כלל החזקה נכשל; כאן נכנסת הפונקציה הלוגריתמית.

זכרו:

ערך מוחלט — תמיד.
מחלקים רק במקדם של x, ובודקים בגזירה חוזרת.
באינטגרל מסוים שעובר דרך אפס במכנה — הפונקציה אינה רציפה והאינטגרל אינו מוגדר על קטע כזה.

בשיעור הבא נמצא פונקציה קדומה מסוימת לפי הנגזרת ונקודה נתונה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על האינטגרל הלוגריתמי, על הערך המוחלט ועל כלל המכנה הלינארי!

אינטגרלים מסוג 1/x ו-1/f(x) — הקדומה הלוגריתמית

אינטגרלים מסוג 1/x ו-1/f(x) — הקדומה הלוגריתמית

האינטגרל שמוביל ללוגריתם

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הקדומה הבסיסית עם ערך מוחלט

חשבו את $∫ (\frac{1}{x}) dx$ .

דוגמה 2: מכנה לינארי

חשבו את $∫ \frac{1}{2x+1} dx$ .

דוגמה 3: כפל בקבוע במונה

חשבו את $∫ \frac{6}{3x-1} dx$ .

דוגמה 4: אינטגרל מסוים שתוצאתו ln

חשבו את $∫ from 1 to e of (\frac{1}{x}) dx$ .

דוגמה 5: אינטגרל מסוים עם מכנה לינארי

חשבו את $∫ from 0 to 1 of \frac{1}{x+1} dx$ .

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את הערך המוחלט: $\ln (x)$ במקום $\ln |x|$

טעות נפוצה: מיישמים את כלל החזקה על $\frac{1}{x}$

טעות נפוצה: באינטגרל $\frac{1}{ax+b}$ שוכחים לחלק ב-a

סיכום

תרגול נוסף

אינטגרלים מסוג 1/x ו-1/f(x) — הקדומה הלוגריתמית

האינטגרל שמוביל ללוגריתם

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הקדומה הבסיסית עם ערך מוחלט

חשבו את ∫(1x)dx∫ (\frac{1}{x}) dx∫(x1​)dx.

דוגמה 2: מכנה לינארי

חשבו את ∫12x+1dx∫ \frac{1}{2x+1} dx∫2x+11​dx.

דוגמה 3: כפל בקבוע במונה

חשבו את ∫63x−1dx∫ \frac{6}{3x-1} dx∫3x−16​dx.

דוגמה 4: אינטגרל מסוים שתוצאתו ln

חשבו את ∫from1toeof(1x)dx∫ from 1 to e of (\frac{1}{x}) dx∫from1toeof(x1​)dx.

דוגמה 5: אינטגרל מסוים עם מכנה לינארי

חשבו את ∫from0to1of1x+1dx∫ from 0 to 1 of \frac{1}{x+1} dx∫from0to1ofx+11​dx.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את הערך המוחלט: ln⁡(x)\ln (x)ln(x) במקום ln⁡∣x∣\ln |x|ln∣x∣

טעות נפוצה: מיישמים את כלל החזקה על 1x\frac{1}{x}x1​

טעות נפוצה: באינטגרל 1ax+b\frac{1}{ax+b}ax+b1​ שוכחים לחלק ב-a

סיכום

תרגול נוסף

חשבו את $∫ (\frac{1}{x}) dx$ .

חשבו את $∫ \frac{1}{2x+1} dx$ .

חשבו את $∫ \frac{6}{3x-1} dx$ .

חשבו את $∫ from 1 to e of (\frac{1}{x}) dx$ .

חשבו את $∫ from 0 to 1 of \frac{1}{x+1} dx$ .

טעות נפוצה: שוכחים את הערך המוחלט: $\ln (x)$ במקום $\ln |x|$

טעות נפוצה: מיישמים את כלל החזקה על $\frac{1}{x}$

טעות נפוצה: באינטגרל $\frac{1}{ax+b}$ שוכחים לחלק ב-a