משוואות ואי-שוויונות מעריכיים

מבוא

מטרות השיעור

לפתור משוואות מעריכיות בעזרת השוואת בסיסים: $a^{f (x)} = a^{g (x)} \Leftrightarrow f (x) = g (x)$
לפתור משוואות מעריכיות בעזרת הצבה $t = a^{x}$ המביאה למשוואה ריבועית
לפתור אי-שוויונות מעריכיים פשוטים מהצורה $a^{f (x)} \geq a^{g (x)}$ , ולהבין כיצד גודל הבסיס קובע את כיוון אי-השוויון
לזכור ש- $a^{x} > 0$ תמיד — ולפסול פתרונות בלתי קבילים אחרי הצבה

הרעיון המרכזי

חד-חד-ערכיות: השוואת בסיסים

הפונקציה המעריכית חד-חד-ערכית, ולכן ערכים שווים מתקבלים רק ממעריכים שווים: $a^{f (x)} = a^{g (x)} \Leftrightarrow f (x) = g (x) (a > 0, a \neq = 1)$

לכן הצעד הראשון בכל משוואה מעריכית הוא לאחד בסיס בשני האגפים, ואז להשוות מעריכים.

הצבה: ממשוואה מעריכית למשוואה ריבועית

כאשר במשוואה מופיעים $a^{2 x}$ ו- $a^{x}$ יחד (למשל $4^{x}$ ו- $2^{x}$ , שהרי $4^{x} = (2^{x})^{2}$ ), מציבים $t = a^{x}$ ומקבלים משוואה ריבועית ב-t.

כלל זהב: מכיוון ש- $a^{x} > 0$ תמיד, חייבים t > 0 — פתרון $t \leq 0$ נפסל מיד, עוד לפני שחוזרים ל-x.

אי-שוויונות: כיוון לפי הבסיס

לאחר איחוד בסיס באי-שוויון, כיוון אי-השוויון תלוי בגודל הבסיס:

אם a>1 הפונקציה עולה, וכיוון אי-השוויון נשמר: $a^{f (x)} \geq a^{g (x)} \Leftrightarrow f (x) \geq g (x)$
אם 0<a<1 הפונקציה יורדת, וכיוון אי-השוויון מתהפך: $a^{f (x)} \geq a^{g (x)} \Leftrightarrow f (x) \leq g (x)$

במקרים שבתוכנית, התוצאה היא לכל היותר אי-שוויון ריבועי.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: השוואת בסיסים

פתרו: $5^(x-1) = 25$ .

5^{x - 1} = 5^{2} \Rightarrow x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3

שלב 1 — מאחדים בסיס

25 = 5^{2}

, לכן

5^(x-1) = 5^{2}

בדיקה מהירה

פתרו את המשוואה המעריכית: $2^{x} = 16$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: בסיס שבר

פתרו: $(\frac{1}{2})^x = 8$ .

(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x} = 2^{3} \Rightarrow - x = 3 \Rightarrow x = - 3

שלב 1 — בסיס 2 בכל אגף

(\frac{1}{2})^x = (2^{-1})^x = 2^(-x)

, ו-

8 = 2^{3}

דוגמה 3: הצבה למשוואה ריבועית

פתרו: $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$ .

t^{2} - 5 t + 4 = 0 \Rightarrow t \in {1, 4} \Rightarrow 2^{x} \in {1, 4} \Rightarrow x \in {0, 2}

שלב 1 — מזהים מבנה ריבועי

4^x = (2^x)^{2}

. נציב

t = 2^x

, כאשר

t > 0

תשובה מספרית

פתרו: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} = 8$ . מהו $x$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

פתרו את המשוואה $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ על ידי הצבה. מהו הפתרון הגדול מבין השניים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: אי-שוויון מעריכי המוביל לריבועי

פתרו: $2^(x^{2}) \le 2^(3x-2)$ .

x^{2} \leq 3 x - 2 \Rightarrow (x - 1) (x - 2) \leq 0 \Rightarrow 1 \leq x \leq 2

שלב 1 — כיוון לפי הבסיס

הבסיס

2 > 1

, הפונקציה עולה — כיוון אי-השוויון נשמר:

x^{2} \le 3x - 2

בדיקה מהירה

פתרו את אי-השוויון המעריכי $2^{x^{2}} \le 2^{\,3x-2}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: לא הופכים את כיוון אי-השוויון בבסיס בין 0 ל-1

טעות: מ- $(\frac{1}{2})^{x} < (\frac{1}{2})^{3}$ מסיקים x < 3.

נכון: הבסיס יורד, לכן הכיוון מתהפך: x > 3.

למה זה קורה?

מתייחסים לכל אי-שוויון מעריכי כאילו הבסיס גדול מ-1.

איך מתקנים?

אם

0 < a < 1

הפונקציה יורדת, ולכן במעבר למעריכים כיוון אי-השוויון מתהפך.

טעות נפוצה: מקבלים פתרון $t \le 0$ אחרי הצבה $t = a^{x}$

אם מתקבל למשל t = -2, אין לו פתרון, כי $2^{x} = - 2$ בלתי אפשרי.

למה זה קורה?

שוכחים ש-

a^{x}

חיובי ממש לכל x.

איך מתקנים?

אחרי פתרון המשוואה הריבועית, פוסלים כל

t \le 0

לפני שחוזרים ל-x.

טעות נפוצה: מנסים לפתור $4^{x}-5 \cdot 2^{x}+4=0$ ישירות

טעות: $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} = 2^{x} (2 - 5) = - 3 \cdot 2^{x}$ — צירוף שגוי של החזקות.

נכון: $4^{x} = (2^{x})^{2}$ , ואז הצבה.

למה זה קורה?

לא מזהים ש-

4^{x}

הוא בעצם

(2^{x})^{2}

איך מתקנים?

כתבו

4^{x}=(2^{x})^{2}

, הציבו

t=2^{x}

, וקבלו משוואה ריבועית רגילה.

טעות נפוצה: משווים מעריכים כשהבסיסים שונים

טעות: מ- $9^{x} = 27$ מסיקים מיד x = 27/9.

נכון: $3^{2 x} = 3^{3} \Rightarrow 2 x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ .

למה זה קורה?

מדלגים על שלב איחוד הבסיס.

איך מתקנים?

לפני השוואת מעריכים חובה לאחד בסיס בשני האגפים.

סיכום

מה למדנו?

שלוש טכניקות מרכזיות:

השוואת בסיסים: מאחדים בסיס ומשווים מעריכים ( $a^{f} = a^{g} \Leftrightarrow f = g$ ).
הצבה: כש- $a^{2 x}$ ו- $a^{x}$ מופיעים יחד, מציבים $t = a^{x} > 0$ ופותרים ריבועית — ופוסלים $t \leq 0$ .
אי-שוויונות: בבסיס >1 הכיוון נשמר, בבסיס בין 0 ל-1 הוא מתהפך; התוצאה לכל היותר אי-שוויון ריבועי.

בשיעור הבא נחקור את הפונקציה המעריכית עצמה — את הגרף ואת התכונות שמאחורי הטכניקות האלה!

תרגול נוסף

עברו לתרגול ותתאמנו על משוואות בהשוואת בסיסים, על הצבה למשוואה ריבועית ועל אי-שוויונות מעריכיים.

משוואות ואי-שוויונות מעריכיים

משוואות ואי-שוויונות מעריכיים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: השוואת בסיסים

פתרו: 5(x−1)=255^(x-1) = 255(x−1)=25.

דוגמה 2: בסיס שבר

פתרו: (12)x=8(\frac{1}{2})^x = 8(21​)x=8.

דוגמה 3: הצבה למשוואה ריבועית

פתרו: 4x−5⋅2x+4=04^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 04x−5⋅2x+4=0.

דוגמה 4: אי-שוויון מעריכי המוביל לריבועי

פתרו: 2(x2)≤2(3x−2)2^(x^{2}) \le 2^(3x-2)2(x2)≤2(3x−2).

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: לא הופכים את כיוון אי-השוויון בבסיס בין 0 ל-1

טעות נפוצה: מקבלים פתרון t≤0t \le 0t≤0 אחרי הצבה t=axt = a^{x}t=ax

טעות נפוצה: מנסים לפתור 4x−5⋅2x+4=04^{x}-5 \cdot 2^{x}+4=04x−5⋅2x+4=0 ישירות

טעות נפוצה: משווים מעריכים כשהבסיסים שונים

סיכום

תרגול נוסף

פתרו: $5^(x-1) = 25$ .

פתרו: $(\frac{1}{2})^x = 8$ .

פתרו: $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$ .

פתרו: $2^(x^{2}) \le 2^(3x-2)$ .

טעות נפוצה: מקבלים פתרון $t \le 0$ אחרי הצבה $t = a^{x}$

טעות נפוצה: מנסים לפתור $4^{x}-5 \cdot 2^{x}+4=0$ ישירות