פעולות על הפונקציה המעריכית

מבוא

מטרות השיעור

לבצע הזזה אנכית (+k) והזזה אופקית (x-h) ולדעת את כיוון כל אחת
לבצע שיקוף ביחס לציר ה-x (-f(x)) וביחס לציר ה-y (f(-x))
לבצע מתיחה/כיווץ אנכיים ( $c \cdot f (x)$ ) וערך מוחלט (|f(x)|)
לקבוע כיצד כל טרנספורמציה משפיעה על האסימפטוטה ועל המונוטוניות
לשלב כמה טרנספורמציות יחד ולחקור את הפונקציה המתקבלת

הרעיון המרכזי

מילון הטרנספורמציות (על $y = a^{x})$

הזזה אנכית: $y = a^{x} + k$ — כל הגרף עולה ב-k (או יורד אם k<0). האסימפטוטה זזה ל-y=k.
הזזה אופקית: $y = a^{x - h}$ — הגרף זז ימינה ב-h (שמאלה אם h<0). האסימפטוטה לא משתנה (נשארת y=0).
שיקוף בציר ה-x: $y = - a^{x}$ — הופך את הסימן; עלייה הופכת לירידה; הפונקציה נעשית שלילית.
שיקוף בציר ה-y: $y = a^{- x}$ — מחליף עלייה בירידה ולהפך (זהה לבסיס ההופכי).
מתיחה/כיווץ אנכיים: $y = c \cdot a^{x}$ — מותח (|c|>1) או מכווץ (0<|c|<1); הנקודה (0,1) עוברת ל-(0,c).
ערך מוחלט: $y = ∣ a^{x} + k ∣$ — מקפל מעל ציר ה-x את החלק השלילי של הגרף.

שתי טעויות מפתח שכדאי למנוע מראש

כיוון ההזזה האופקית: x-3 זה ימינה, x+3 זה שמאלה — הפוך מהאינטואיציה.
האסימפטוטה: רק הזזה אנכית (+k) מזיזה את האסימפטוטה האופקית. הזזה אופקית, מתיחה ושיקוף בציר ה-x משנים את הגרף, אך האסימפטוטה נקבעת מהקבוע הנוסף (ומשיקוף בציר ה-x סביב y=0).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הזזה אנכית

תארו את $y=2^{x}+3$ ביחס ל- $y=2^{x}$ , וקבעו את האסימפטוטה.

y = 2^{x} + 3 : אסימפטוטה y = 3, (0, 1) \to (0, 4)

שלב 1 — מזהים

התוספת

+3

מחוץ לחזקה מזיזה את כל הגרף כלפי מעלה ב-3.

בדיקה מהירה

הגרף $y = 2^{x} + 3$ מתקבל מהגרף $y = 2^{x}$ על ידי איזו טרנספורמציה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: הזזה אופקית (שימו לב לכיוון)

תארו את $y=2^(x-4)$ ביחס ל- $y=2^{x}$ .

y = 2^{x - 4} : ימינה ב-4, אסימפטוטה y = 0

שלב 1 — מזהים את הצורה

x הוחלף ב-

x-4

, כלומר

h=4

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הגרף $y = 2^{x-4}$ מתקבל מ- $y = 2^{x}$ על ידי הזזה אופקית ימינה ב-4.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: שיקוף ומתיחה (בניית q בשלבים)

בנו בשלבים את $q(x)=-2 \cdot 3^(x-1)$ מתוך $f(x)=3^{x}$ .

3^{x} \to 3^{x - 1} \to 2 \cdot 3^{x - 1} \to - 2 \cdot 3^{x - 1}

שלב 1 — הזזה אופקית

3^(x-1):

הזזה ימינה ב-1.

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה $q(x) = -2 \cdot 3^{x-1} + 4$ . חשבו את $q(1)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שילוב מלא וחקירה

חקרו את $q(x)=-2 \cdot 3^(x-1)+4:$ אסימפטוטה, מונוטוניות ונקודה.

q (x) = - 2 \cdot 3^{x - 1} + 4 : אסימפטוטה y = 4, יורדת, (1, 2)

שלב 1 — הזזה אנכית אחרונה

התוספת

+4

מזיזה את הגרף (ואת האסימפטוטה) כלפי מעלה ב-4.

בדיקה מהירה

בחירה מרובה

נתונה הפונקציה $q(x) = -2 \cdot 3^{x-1} + 4$ . סמנו את כל הטענות הנכונות.

בחרו את כל התשובות הנכונות

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שהזזה אופקית מזיזה את האסימפטוטה

טעות: עבור $y = 3^{x - 1}$ קובעים אסימפטוטה y=1.

נכון: האסימפטוטה נשארת y=0; רק תוספת חיצונית כמו -2 ב- $3^{x - 1} - 2$ תזיז אותה ל-y=-2.

למה זה קורה?

מערבבים בין הזזה אופקית להזזה אנכית.

איך מתקנים?

רק הזזה אנכית

(+k)

מזיזה את האסימפטוטה האופקית ל-

y=k

. ל-

y=a^{x-h}

עדיין אסימפטוטה

y=0

טעות נפוצה: טועים בכיוון ההזזה האופקית

טעות: $y = 2^{x - 4}$ מוזזת שמאלה ב-4.

נכון: מוזזת ימינה ב-4.

למה זה קורה?

מצפים ש-

x-3

יזיז שמאלה.

איך מתקנים?

החלפת x ב-

x-h

מזיזה ימינה ב-

h; x+h

מזיזה שמאלה. בדקו היכן מתקבל הערך 1.

טעות נפוצה: חושבים ש- $-a^{x}$ נשאר חיובי

טעות: סבורים ש- $y = - 3^{x}$ עולה וחיובי.

נכון: $y = - 3^{x}$ שלילי תמיד ויורד.

למה זה קורה?

לא שמים לב שסימן המינוס פועל על כל ערכי הפונקציה.

איך מתקנים?

שיקוף בציר ה-x הופך את הסימן:

y=-3^{x}

שלילי תמיד, ועלייה הופכת לירידה.

טעות נפוצה: מתבלבלים בין כפל בקבוע להזזה

ב- $2 \cdot 3^{x}$ האסימפטוטה נשארת y=0; ב- $3^{x} + 2$ היא y=2.

למה זה קורה?

לא מבחינים בין

c \cdot a^{x} (

מתיחה) ל-

a^{x}+k (

הזזה).

איך מתקנים?

c \cdot a^{x}

מותח/מכווץ ומשאיר אסימפטוטה

y=0; a^{x}+k

מזיז ומשנה אסימפטוטה ל-

y=k

סיכום

מה למדנו?

טרנספורמציות של הפונקציה המעריכית:

הזזה אנכית +k: מזיזה גרף ואסימפטוטה ל-y=k.
הזזה אופקית x-h: ימינה ב-h; האסימפטוטה לא משתנה.
שיקוף בציר ה-x (-f): הופך סימן ומונוטוניות; בציר ה-y (f(-x)): מחליף עלייה בירידה.
מתיחה/כיווץ $c \cdot f$ וערך מוחלט |f| משלימים את הארגז.
בשילוב — מנתחים שלב-אחר-שלב, וקובעים אסימפטוטה, מונוטוניות ונקודות (כמו $q (x) = - 2 \cdot 3^{x - 1} + 4$ : אסימפטוטה y=4, יורדת, דרך (1,2)).

בכך השלמנו את היכרות הפונקציה המעריכית — תשתית לחשבון הדיפרנציאלי ולבעיות גדילה ודעיכה!

תרגול נוסף

עברו לתרגול ותתאמנו על זיהוי טרנספורמציות, מציאת אסימפטוטות ושילוב כמה פעולות יחד.

פעולות על הפונקציה המעריכית

פעולות על הפונקציה המעריכית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הזזה אנכית

תארו את y=2x+3y=2^{x}+3y=2x+3 ביחס ל-y=2xy=2^{x}y=2x, וקבעו את האסימפטוטה.

דוגמה 2: הזזה אופקית (שימו לב לכיוון)

תארו את y=2(x−4)y=2^(x-4)y=2(x−4) ביחס ל-y=2xy=2^{x}y=2x.

דוגמה 3: שיקוף ומתיחה (בניית q בשלבים)

בנו בשלבים את q(x)=−2⋅3(x−1)q(x)=-2 \cdot 3^(x-1)q(x)=−2⋅3(x−1) מתוך f(x)=3xf(x)=3^{x}f(x)=3x.

דוגמה 4: שילוב מלא וחקירה

חקרו את q(x)=−2⋅3(x−1)+4:q(x)=-2 \cdot 3^(x-1)+4:q(x)=−2⋅3(x−1)+4: אסימפטוטה, מונוטוניות ונקודה.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שהזזה אופקית מזיזה את האסימפטוטה

טעות נפוצה: טועים בכיוון ההזזה האופקית

טעות נפוצה: חושבים ש-−ax-a^{x}−ax נשאר חיובי

טעות נפוצה: מתבלבלים בין כפל בקבוע להזזה

סיכום

תרגול נוסף

תארו את $y=2^{x}+3$ ביחס ל- $y=2^{x}$ , וקבעו את האסימפטוטה.

תארו את $y=2^(x-4)$ ביחס ל- $y=2^{x}$ .

בנו בשלבים את $q(x)=-2 \cdot 3^(x-1)$ מתוך $f(x)=3^{x}$ .

חקרו את $q(x)=-2 \cdot 3^(x-1)+4:$ אסימפטוטה, מונוטוניות ונקודה.

טעות נפוצה: חושבים ש- $-a^{x}$ נשאר חיובי