שילוב והשוואה בין מספר תהליכים

מבוא

מטרות השיעור

למצוא מתי שתי כמויות שוות: לפתור משוואה מהצורה $f_{1} (0) \cdot q_{1}^{t} = f_{2} (0) \cdot q_{2}^{t}$
למצוא מתי תהליך אחד עוקף את חברו: לפתור אי-שוויון מעריכי
להבין שהתהליך עם q גדול יותר אינו בהכרח גדול יותר — תלוי גם בכמות ההתחלתית ובזמן
לתאר תהליך בעל שלבים בעלי יחס משתנה על ידי שרשור: $f (0) \cdot q_{1}^{n_{1}} \cdot q_{2}^{n_{2}}$

הרעיון המרכזי

מתי שתי כמויות שוות?

כדי למצוא מתי שני תהליכים שווים, פותרים: $f_{1} (0) \cdot q_{1}^{t} = f_{2} (0) \cdot q_{2}^{t}$

הטכניקה: מרכזים את החזקות לצד אחד ואת הקבועים לצד השני: $(\frac{q _{1}}{q _{2}})^{t} = \frac{f _{2} ( 0 )}{f _{1} ( 0 )}$

ואז מפעילים לוגריתם: $t = \frac{lo g ( \frac{f _{2} ( 0 )}{f _{1} ( 0 )} )}{lo g ( \frac{q _{1}}{q _{2}} )}$ .

q גדול יותר ≠ כמות גדולה יותר

טעות נפוצה היא להניח שהתהליך עם q הגדול ביותר תמיד גדול יותר. אבל בזמן t=0 הכמות היא בדיוק הכמות ההתחלתית f(0). תהליך שמתחיל נמוך אך גדל מהר (q גדול) יעקוף את חברו רק לאחר זמן — בנקודת השוויון. לפני נקודה זו ולאחריה המגמה מתהפכת.

תהליך בעל שלבים — שרשור יחסים

כשתהליך עובר שלבים בעלי יחס שונה (למשל ריבית שמשתנה), משרשרים (מכפילים) את היחסים ולא מחברים אותם. אם בשלב הראשון $n_{1}$ יחידות זמן ביחס $q_{1}$ , ובשלב השני $n_{2}$ יחידות ביחס $q_{2}$ : $f = f (0) \cdot q_{1}^{n_{1}} \cdot q_{2}^{n_{2}}$

כל שלב מתחיל מהכמות שבה הסתיים השלב הקודם.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שני שלבים בעלי יחס משתנה

1,000 ₪: 3 שנים ב-10% ואז שנתיים ב-5%. כמה יהיה בסוף?

f = 1000 \cdot 1. 1^{3} \cdot 1.0 5^{2} = 1331 \cdot 1.1025 = 1467.43

שלב 1 — שלב א'

3 שנים ב-

10\%: 1000 \cdot 1.1^{3}=1000 \cdot 1.331=1331 ₪

דוגמה 2: מתי שתי כמויות שוות?

A: 10,000 ₪ ב-6%; B: 12,000 ₪ ב-4%. מתי הסכומים שווים?

(\frac{1.06}{1.04})^{t} = 1.2 \Rightarrow t = \frac{l o g 1.2}{l o g ( 1.06/1.04 )} \approx 9.57

שלב 1 — בונים משוואה

10000 \cdot 1.06^{t}=12000 \cdot 1.04^{t}

דוגמה 3: מתי תהליך אחד עוקף — אי-שוויון

A: 200 חיידקים, פי 2 בשעה; B: 1,000 חיידקים, פי 1.5 בשעה. מתי $A>B$ ?

(\frac{4}{3})^{t} > 5 \Rightarrow t > \frac{l o g 5}{l o g ( 4/3 )} \approx 5.59 \Rightarrow t = 6

שלב 1 — אי-שוויון

200 \cdot 2^{t}>1000 \cdot 1.5^{t}

דוגמה 4: השוואת דעיכה מול גדילה

עיר א': 50,000, יורדת $2\%/$ שנה; עיר ב': 30,000, גדלה $3\%/$ שנה. מתי שוות?

(\frac{0.98}{1.03})^{t} = 0.6 \Rightarrow t = \frac{l o g 0.6}{l o g ( 0.98/1.03 )} \approx 10.27

שלב 1 — משוואה

50000 \cdot 0.98^{t}=30000 \cdot 1.03^{t} (

א' דועכת, ב' גדלה).

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

סכום של 1,000 ₪ הופקד בתוכנית חיסכון. במשך 3 השנים הראשונות הריבית היתה 10% לשנה, ולאחר מכן עוד שנתיים בריבית של 5% לשנה. כמה ₪ יהיו בתוכנית בתום 5 השנים? עגלו לאגורה.

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

שתי תוכניות חיסכון: בתוכנית A מפקידים 10,000 ₪ בריבית 6% לשנה, ובתוכנית B מפקידים 12,000 ₪ בריבית 4% לשנה. כעבור כמה שנים יהיו הסכומים בשתי התוכניות שווים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

אוכלוסיית העיר א' היא 50,000 ויורדת ב-2% לשנה. אוכלוסיית העיר ב' היא 30,000 וגדלה ב-3% לשנה. כעבור כמה שנים תהיינה האוכלוסיות שוות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מניחים שהתהליך עם q גדול יותר תמיד גדול יותר

A=200·2ᵗ מתחיל מתחת ל-B=1000·1.5ᵗ, ועוקף אותו רק החל מ-t=6.

למה זה קורה?

מתמקדים בקצב הגדילה ומתעלמים מהכמות ההתחלתית.

איך מתקנים?

בדקו את ההתחלה: ב-

t=0

הכמות היא

f(0)

. תהליך מהיר שמתחיל נמוך עוקף רק לאחר נקודת השוויון.

טעות נפוצה: בשילוב שלבים מחברים יחסים במקום לשרשר

טעות: 1000·(1.1³+1.05²). נכון: 1000·1.1³·1.05²=1467.43.

למה זה קורה?

מתבלבלים בין הוספת אחוזים (ליניארי) לשרשור יחסים (מעריכי).

איך מתקנים?

כל שלב מכפיל את הכמות ביחס שלו:

f=f(0) \cdot q_{1}^{n_{1}} \cdot q_{2}^{n_{2}}

. מכפילים, לא מחברים.

טעות נפוצה: מחלקים את הבסיסים לפני בידוד החזקה

מ- $10000 \cdot 1.0 6^{t} = 12000 \cdot 1.0 4^{t}$ מקבלים $(1.06/1.04)^{t} = 1.2$ .

למה זה קורה?

מנסים 'לפשט

' \frac{q_{1}}{q_{2}}

בלי לרכז את החזקות נכון.

איך מתקנים?

כתבו

(\frac{q_{1}}{q_{2}})^{t}=f_{2}\frac{0}{f_{1}}(0)

ורק אז הפעילו לוגריתם — שני האגפים בעלי אותו מעריך t.

סיכום

מה למדנו?

שילוב והשוואה בין תהליכים:

שוויון: פותרים $f_{1} (0) q_{1}^{t} = f_{2} (0) q_{2}^{t}$ ⟸ $(\frac{q _{1}}{q _{2}})^{t} = \frac{f _{2} ( 0 )}{f _{1} ( 0 )}$ ⟸ לוגריתם.
עקיפה: אי-שוויון מעריכי; שמים לב לכיוון לפי סימן הלוגריתם של $q_{1} / q_{2}$ .
q גדול יותר אינו מבטיח כמות גדולה יותר — תלוי בכמות ההתחלתית ובזמן.
שלבים: משרשרים יחסים — $f = f (0) \cdot q_{1}^{n_{1}} \cdot q_{2}^{n_{2}}$ (מכפילים, לא מחברים).

זכרו: ב"כעבור כמה יחידות שלמות עוקף" — עגלו כלפי מעלה ובדקו את שתי השנים/השעות סביב נקודת המעבר.

בכך השלמנו את יחידת בעיות גדילה ודעיכה — מזיהוי וייצוג, דרך מציאת כמויות וזמנים וזמן מחצית חיים, ועד השוואה בין תהליכים שונים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על השוואת תהליכים, מציאת נקודות שוויון ועקיפה, ותהליכים בעלי שלבים בעלי יחס משתנה!

שילוב והשוואה בין מספר תהליכים

שילוב והשוואה בין מספר תהליכים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שני שלבים בעלי יחס משתנה

1,000 ₪: 3 שנים ב-10% ואז שנתיים ב-5%. כמה יהיה בסוף?

דוגמה 2: מתי שתי כמויות שוות?

A: 10,000 ₪ ב-6%; B: 12,000 ₪ ב-4%. מתי הסכומים שווים?

דוגמה 3: מתי תהליך אחד עוקף — אי-שוויון

A: 200 חיידקים, פי 2 בשעה; B: 1,000 חיידקים, פי 1.5 בשעה. מתי A>BA>BA>B?

דוגמה 4: השוואת דעיכה מול גדילה

עיר א': 50,000, יורדת 2%/2\%/2%/שנה; עיר ב': 30,000, גדלה 3%/3\%/3%/שנה. מתי שוות?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מניחים שהתהליך עם q גדול יותר תמיד גדול יותר

טעות נפוצה: בשילוב שלבים מחברים יחסים במקום לשרשר

טעות נפוצה: מחלקים את הבסיסים לפני בידוד החזקה

סיכום

תרגול נוסף

A: 200 חיידקים, פי 2 בשעה; B: 1,000 חיידקים, פי 1.5 בשעה. מתי $A>B$ ?

עיר א': 50,000, יורדת $2\%/$ שנה; עיר ב': 30,000, גדלה $3\%/$ שנה. מתי שוות?