תהליכים מעריכיים: זיהוי וייצוג

מבוא

מטרות השיעור

לזהות תהליך מעריכי לפי יחס קבוע בין שלבים עוקבים, ולהבחין בינו לבין תהליך ליניארי
להמיר אחוז שינוי ליחס q: גדילה של $p %$ נותנת $q = 1 + \frac{p}{100}$ , ודעיכה של $p %$ נותנת $q = 1 - \frac{p}{100}$
לכתוב את הייצוג האלגברי $f (t) = f (0) \cdot q^{t}$ ולקבוע יחידת זמן אחידה
להבין את הייצוג הגרפי: נקודת החיתוך עם ציר ה-y בגובה f(0), עלייה כאשר q>1 וירידה כאשר 0<q<1

הרעיון המרכזי

מהו תהליך מעריכי?

תהליך הוא מעריכי אם בכל יחידת זמן הכמות מוכפלת ביחס קבוע q (ולא נוספת אליה כמות קבועה). אם הכמות ההתחלתית היא f(0), אז לאחר זמן t (במספר יחידות זמן שלמות): $f (t) = f (0) \cdot q^{t}$

f(0) — הכמות בזמן ההתחלה (t=0), והיא נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-y.
q — היחס הקבוע בין שני שלבים עוקבים: $q = \frac{f ( t + 1 )}{f ( t )}$ .
אם q>1 זהו תהליך גדילה; אם 0<q<1 זהו תהליך דעיכה.

מעריכי מול ליניארי — ההבחנה המרכזית

תהליך ליניארי: בכל שלב נוספת (או נגרעת) כמות קבועה ⟸ הפרש קבוע ⟸ ישר.
תהליך מעריכי: בכל שלב הכמות מוכפלת ביחס קבוע ⟸ יחס קבוע ⟸ עקומה.

כדי לזהות: חשבו גם את ההפרשים וגם את היחסים בין איברים עוקבים. אם ההפרשים קבועים — ליניארי; אם היחסים קבועים — מעריכי.

קביעת יחידת זמן אחידה

לפני שכותבים $f (t) = f (0) \cdot q^{t}$ חובה לקבוע מהי יחידת הזמן: שעה, יום, שנה או מחזור. ה-q שייך תמיד ליחידת זמן אחת. אם הכמות מוכפלת למחצית כל 4 שעות, נוח לבחור את יחידת הזמן כ"מקטע של 4 שעות", ואז q=0.5 ו-t=1 פירושו 4 שעות.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי — מעריכי או ליניארי?

האם הסדרה 4, 12, 36, 108 מתארת תהליך מעריכי?

q = \frac{12}{4} = \frac{36}{12} = \frac{108}{36} = 3 \Rightarrow f (t) = 4 \cdot 3^{t}

שלב 1 — בודקים הפרשים

12-4=8, 36-12=24, 108-36=72

. ההפרשים משתנים

(8, 24, 72)

, ולכן התהליך אינו ליניארי.

דוגמה 2: גדילה באחוזים — כתיבת הייצוג

אוכלוסייה של 20,000 גדלה ב-8% בשנה. כתבו את f(t) וחשבו את הכמות לאחר 3 שנים.

f (t) = 20000 \cdot 1.0 8^{t}, f (3) = 20000 \cdot 1.0 8^{3} \approx 25194

שלב 1 — ממירים אחוז ליחס

גדילה של 8% פירושה שנשארים 108% מהכמות, ולכן

q=1.08

דוגמה 3: דעיכה באחוזים — ירידת ערך

ערך מכונית הוא 80,000 ₪ ויורד ב-15% בשנה. מהו q, ומהו הערך לאחר שנתיים?

f (t) = 80000 \cdot 0.8 5^{t}, f (2) = 80000 \cdot 0.8 5^{2} = 57800

שלב 1 — ממירים אחוז ליחס

ירידה של 15% פירושה שנשארים 85%, ולכן

q=0.85 (

שימו לב: לא 0.15!).

דוגמה 4: בחירת יחידת זמן — ריכוז תרופה

ריכוז תרופה של 300 מ״ג יורד למחצית כל 4 שעות. כתבו את f(t) וחשבו לאחר 12 שעות.

f (t) = 300 \cdot (0.5)^{t}, f (3) = 300 \cdot 0. 5^{3} = 37.5

שלב 1 — קובעים יחידת זמן

נבחר יחידת זמן = מקטע של 4 שעות. אז בכל יחידה הריכוז מוכפל ב-0.5, כלומר

q=0.5

בדיקה מהירה

באיזו מהסדרות הבאות, המתארות כמות בכל שלב, התהליך הוא מעריכי (גדילה ביחס קבוע)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

ערך של מכונית יורד בכל שנה ב-15% מערכה בתחילת אותה שנה. מהו היחס הקבוע q בתהליך הדעיכה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

אוכלוסיית יישוב מונה 20,000 תושבים וגדלה בכל שנה ב-8%. כמה תושבים יהיו ביישוב לאחר 3 שנים? עגלו לתושב השלם הקרוב.

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין תהליך מעריכי לליניארי

דוגמה: 3, 6, 9, 12 גדלה כל שלב, אבל ההפרש קבוע (3) והיחס משתנה ⟸ ליניארי, לא מעריכי.

למה זה קורה?

רואים שהכמות 'גדלה כל הזמן' ומניחים שזה מעריכי, בלי לבדוק אם הגידול הוא יחס קבוע או הפרש קבוע.

איך מתקנים?

בדקו תמיד גם הפרשים וגם יחסים: הפרש קבוע = ליניארי, יחס קבוע = מעריכי.

טעות נפוצה: ממירים אחוז ליחס q בצורה שגויה

טעות: דעיכה של 15% ⟸ q=0.15. נכון: נשארים 85% ⟸ q=0.85.

למה זה קורה?

מבלבלים בין שיעור השינוי לבין היחס שנשאר.

איך מתקנים?

גדילה של

p\%: q=1+\frac{p}{100}

. דעיכה של

p\%: q=1-\frac{p}{100.} q

הוא תמיד 'כמה נשאר', לא 'כמה השתנה'.

טעות נפוצה: שוכחים לקבוע יחידת זמן אחידה

אם q=0.5 לכל 4 שעות, אז t=3 פירושו 12 שעות — לא 3 שעות.

למה זה קורה?

מתייחסים ל-t כמספר מופשט, בלי לקשור אותו לזמן ממשי.

איך מתקנים?

הגדירו במפורש: t נמדד בשעות / ימים / שנים / מחזורים. ה-q שייך ליחידת הזמן הזו בלבד.

סיכום

מה למדנו?

תהליך מעריכי וייצוגו:

תהליך מעריכי = הכמות מוכפלת ביחס קבוע q בכל יחידת זמן (לעומת הפרש קבוע בתהליך ליניארי).
הייצוג האלגברי: $f (t) = f (0) \cdot q^{t}$ , כאשר f(0) הכמות ההתחלתית ו- $q = \frac{f ( t + 1 )}{f ( t )}$ .
המרת אחוז ליחס: גדילה של $p %$ ⟸ $q = 1 + \frac{p}{100}$ ; דעיכה של $p %$ ⟸ $q = 1 - \frac{p}{100}$ .
הייצוג הגרפי: חיתוך עם ציר ה-y בגובה f(0); עולה כאשר q>1, יורד כאשר 0<q<1.
תמיד קובעים יחידת זמן אחידה לפני הכתיבה.

בשיעור הבא נשתמש בייצוג הזה כדי למצוא כמויות וזמנים — נציב בפונקציה ונפתור משוואות ואי-שוויונות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על זיהוי תהליכים מעריכיים וכתיבת הייצוג $f (t) = f (0) \cdot q^{t}$ !