זמן מחצית חיים

מבוא

מטרות השיעור

להבין את מושג זמן מחצית החיים (זמן מחצית חיים): פרק הזמן הקבוע שבסופו נשארת מחצית מהכמות
להשתמש בייצוג $f (t) = f (0) \cdot (\frac{1}{2})^{t / T}$ לחישוב כמויות וזמנים
לחשב את זמן מחצית החיים מתוך נתונים: $q^{T} = \frac{1}{2}$
להבין מדוע הכמות אינה מתאפסת: בכל T נחתכת מחצית — נשאר $\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$

הרעיון המרכזי

מהו זמן מחצית חיים?

זמן מחצית חיים T הוא פרק הזמן הקבוע שבסופו נשארת מחצית מהכמות שהיתה בתחילתו. תכונה מרכזית: זה נכון בכל קטע זמן באורך T — לא משנה מתי מתחילים למדוד — כי בתהליך מעריכי היחס בין הכמויות קבוע.

לכן הכמות מתפתחת כך: $f (0) T \frac{1}{2} f (0) T \frac{1}{4} f (0) T \frac{1}{8} f (0) \to \dots$

הייצוג האלגברי

אם זמן מחצית החיים הוא T והכמות ההתחלתית היא f(0), אז $f (t) = f (0) \cdot (\frac{1}{2})^{t / T}$

שימו לב למעריך t/T: הוא סופר כמה זמני מחצית חיים עברו. למשל אם T=5 ו-t=15, אז t/T=3 — שלוש חציות.

הקשר בין T לבין q

ה-q ליחידת זמן אחת והזמן T קשורים זה לזה. מכיוון שלאחר זמן T נשארת מחצית: $q^{T} = \frac{1}{2}$

מכאן אפשר למצוא את זה מתוך זה:

נתון q, מוצאים T: $T = \frac{lo g \frac{1}{2}}{lo g q}$ .
נתון T, מוצאים q: $q = (\frac{1}{2})^{1/ T}$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מספר שלם של זמני מחצית חיים

זמן מחצית חיים 5 שנים, כמות התחלתית 80 גרם. כמה יישאר לאחר 15 שנים?

f (15) = 80 \cdot (\frac{1}{2})^{15/5} = 80 \cdot \frac{1}{8} = 10

שלב 1 — סופרים חציות

\frac{t}{T}=\frac{15}{5}=3

— שלושה זמני מחצית חיים.

דוגמה 2: מציאת הזמן מתוך היחס שנשאר

חומר בעל זמן מחצית חיים 3 שעות מתחיל ב-240 גרם. מתי יישארו 30 גרם?

240 \cdot (\frac{1}{2})^{t /3} = 30 \Rightarrow (\frac{1}{2})^{t /3} = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3} \Rightarrow \frac{t}{3} = 3 \Rightarrow t = 9

שלב 1 — מחשבים את היחס שנשאר

\frac{30}{240}=\frac{1}{8}=(\frac{1}{2})^{3}

— נדרשות שלוש חציות.

דוגמה 3: מציאת זמן מחצית חיים מתוך שני ערכים

כמות יורדת מ-160 גרם ל-40 גרם תוך 12 שעות. מהו זמן מחצית החיים?

(\frac{1}{2})^{12/ T} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2} \Rightarrow \frac{12}{T} = 2 \Rightarrow T = 6

שלב 1 — היחס שנשאר

\frac{40}{160}=\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^{2}

— שתי חציות.

דוגמה 4: מ-q לזמן מחצית חיים (לוגריתם)

חומר דועך כך שבכל יום נשארים $90\% (q=0.9)$ . מהו זמן מחצית החיים?

0. 9^{T} = \frac{1}{2} \Rightarrow T = \frac{l o g 0.5}{l o g 0.9} \approx 6.58

שלב 1 — כותבים את המשוואה

זמן מחצית חיים מקיים

q^T=\frac{1}{2}

, כלומר

0.9^T=0.5

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

זמן מחצית החיים של חומר רדיואקטיבי הוא 5 שנים, והכמות ההתחלתית 80 גרם. כמה גרם יישארו לאחר 15 שנים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

כמות של חומר רדיואקטיבי קטֵנה מ-160 גרם ל-40 גרם תוך 12 שעות. מהו זמן מחצית החיים שלו (בשעות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חומר רדיואקטיבי בעל זמן מחצית חיים של 3 שעות מתחיל בכמות של 240 גרם. כעבור כמה שעות תרד הכמות ל-30 גרם?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שאחרי שני זמני מחצית חיים לא נשאר כלום

טעות: אחרי 2 חציות נשאר 0. נכון: נשאר $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ .

למה זה קורה?

מחברים

'\frac{1}{2} + \frac{1}{2} =

שלם' ומסיקים בטעות שכל החומר נעלם.

איך מתקנים?

כל חצייה חותכת מחצית מהקיים:

\frac{1}{2} ⟸ \frac{1}{4} ⟸ \frac{1}{8}

... התהליך מתקרב ל-0 אך לעולם לא מגיע אליו.

טעות נפוצה: מבלבלים בין q לבין $\frac{1}{2}$ במעריך

עבור T=5, $f (t) = f (0) (\frac{1}{2})^{t /5}$ — לא $(\frac{1}{2})^{t}$ .

למה זה קורה?

כותבים

(\frac{1}{2})^t

במקום

(\frac{1}{2})^(\frac{t}{T})

, או

q^(\frac{t}{T})

במקום

q^t

איך מתקנים?

בנוסחת מחצית החיים הבסיס הוא

\frac{1}{2}

והמעריך הוא

\frac{t}{T} (

מספר החציות). אם משתמשים ב-q, הבסיס הוא q והמעריך הוא t.

טעות נפוצה: מחשבים זמן מחצית חיים על ידי חלוקת הכמות ב-2

מ-q=0.9 מקבלים $T = \frac{l o g 0.5}{l o g 0.9} \approx 6.58$ — לא f(0)/2.

למה זה קורה?

מבלבלים בין חציית הכמות (גרמים) לבין הזמן (שעות/שנים) — בלבול יחידות.

איך מתקנים?

זמן מחצית חיים נמצא מתוך

q^T=\frac{1}{2} (

משוואה בזמן), לא מתוך חלוקת הכמות ההתחלתית.

סיכום

מה למדנו?

זמן מחצית חיים:

T = פרק הזמן הקבוע שבסופו נשארת מחצית מהכמות.
ייצוג: $f (t) = f (0) \cdot (\frac{1}{2})^{t / T}$ , כאשר t/T = מספר החציות.
קשר ל-q: $q^{T} = \frac{1}{2}$ ⟸ $T = \frac{lo g \frac{1}{2}}{lo g q}$ או $q = (\frac{1}{2})^{1/ T}$ .
הכמות אינה מתאפסת: $\frac{1}{2} \to \frac{1}{4} \to \frac{1}{8} \to \dots$ (ציר ה-t אסימפטוטה).

טיפ: אם היחס שנשאר הוא חזקה שלמה של ½ (כמו ⅛=(½)³) — אין צורך בלוגריתם, פשוט סופרים חציות.

בשיעור הבא נשלב ונשווה בין כמה תהליכים בו-זמנית.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישובי זמן מחצית חיים, מציאת כמויות וזמנים, והקשר בין T לבין q!

זמן מחצית חיים

זמן מחצית חיים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מספר שלם של זמני מחצית חיים

זמן מחצית חיים 5 שנים, כמות התחלתית 80 גרם. כמה יישאר לאחר 15 שנים?

דוגמה 2: מציאת הזמן מתוך היחס שנשאר

חומר בעל זמן מחצית חיים 3 שעות מתחיל ב-240 גרם. מתי יישארו 30 גרם?

דוגמה 3: מציאת זמן מחצית חיים מתוך שני ערכים

כמות יורדת מ-160 גרם ל-40 גרם תוך 12 שעות. מהו זמן מחצית החיים?

דוגמה 4: מ-q לזמן מחצית חיים (לוגריתם)

חומר דועך כך שבכל יום נשארים 90%(q=0.9)90\% (q=0.9)90%(q=0.9). מהו זמן מחצית החיים?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שאחרי שני זמני מחצית חיים לא נשאר כלום

טעות נפוצה: מבלבלים בין q לבין 12\frac{1}{2}21​ במעריך

טעות נפוצה: מחשבים זמן מחצית חיים על ידי חלוקת הכמות ב-2

סיכום

תרגול נוסף

חומר דועך כך שבכל יום נשארים $90\% (q=0.9)$ . מהו זמן מחצית החיים?

טעות נפוצה: מבלבלים בין q לבין $\frac{1}{2}$ במעריך