מציאת כמויות וזמנים

מבוא

מטרות השיעור

למצוא כמות בזמן נתון על ידי הצבת t ב- $f (t) = f (0) \cdot q^{t}$
למצוא זמן שבו מתקבלת כמות נתונה, על ידי פתרון משוואה מעריכית בעזרת לוגריתם: $t = \frac{lo g k}{lo g q}$
לטפל בשאלות מסוג "פי כמה גדל" — שבהן הכמות ההתחלתית מצטמצמת
לפתור אי-שוויונות מעריכיים, ולהפוך את כיוון אי-השוויון כאשר 0<q<1 (דעיכה)

הרעיון המרכזי

שני סוגי שאלות

מתוך הקשר $f (t) = f (0) \cdot q^{t}$ אפשר למצוא שני דברים:

מציאת כמות (נתון הזמן): מציבים את t ומחשבים — פעולה ישירה.
מציאת זמן (נתונה הכמות): פותרים משוואה שבה הנעלם t נמצא במעריך. לשם כך מבודדים את החזקה ומפעילים לוגריתם.

פתרון משוואה מעריכית בעזרת לוגריתם

כדי לפתור $f (0) \cdot q^{t} = A$ :

מחלקים ב-f(0): $q^{t} = \frac{A}{f ( 0 )}$ .
מפעילים לוגריתם על שני האגפים: $t \cdot lo g q = lo g (\frac{A}{f ( 0 )})$ .
מבודדים: $t = \frac{lo g ( \frac{A}{f ( 0 )} )}{lo g q}$ .

אפשר להשתמש בלוגריתם בכל בסיס ( $lo g$ או $ln$ ) — התוצאה זהה.

שאלות מסוג 'פי כמה'

אם שואלים "כעבור כמה זמן הכמות תגדל פי k?", מציבים $f (t) = k \cdot f (0)$ : $f (0) \cdot q^{t} = k \cdot f (0) \Rightarrow q^{t} = k$

הכמות ההתחלתית f(0) מצטמצמת, ולכן הזמן להכפלה/לשילוש אינו תלוי בכמות ההתחלתית — רק ב-q.

אי-שוויונות מעריכיים — כיוון

בפתרון אי-שוויון מעריכי מפעילים לוגריתם ושמים לב לסימן של $lo g q$ :

גדילה (q>1): $lo g q > 0$ ⟸ כיוון אי-השוויון נשמר.
דעיכה (0<q<1): $lo g q < 0$ ⟸ כיוון אי-השוויון מתהפך.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת כמות (הצבה ישירה) — חיסכון של דנה

דנה הפקידה 20,000 ₪ בריבית 4% לשנה. כמה יהיה בתוכנית לאחר 5 שנים?

f (5) = 20000 \cdot 1.0 4^{5} = 24333.06

שלב 1 — כותבים את הפונקציה

q=1.04, f(0)=20000

, ולכן

f(t)=20000 \cdot 1.04^{t}

תשובה מספרית

דנה הפקידה 20,000 ₪ בתוכנית חיסכון בריבית של 4% לשנה. כמה ₪ יהיו בתוכנית לאחר 5 שנים? עגלו לאגורה (שתי ספרות אחרי הנקודה).

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מציאת זמן בעזרת לוגריתם — חיסכון של דנה (המשך)

דנה הוסיפה 6,000 ₪ (סכום חדש 30,333.06 ₪, ריבית 4%). כעבור כמה שנים יהיו בתוכנית 39,916 ₪?

1.0 4^{t} = \frac{39916}{30333.06} \Rightarrow t = \frac{l o g 1.31592}{l o g 1.04} \approx 7

שלב 1 — בונים את המשוואה

הסכום ההתחלתי החדש הוא

24333.06+6000=30333.06

. נפתור

30333.06 \cdot 1.04^{t}=39916

תשובה מספרית

לאחר 5 שנות החיסכון של דנה (כאשר היו בתוכנית 24,333.06 ₪) היא הוסיפה לסכום עוד 6,000 ₪ והמשיכה באותה ריבית של 4% לשנה. כעבור כמה שנים נוספות יהיה בתוכנית סכום של 39,916 ₪?

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: שאלת "פי כמה" — הכמות ההתחלתית מצטמצמת

באותה תוכנית (סכום 30,333.06 ₪, ריבית 4%), כעבור כמה שנים יגדל הסכום פי 3?

q^{t} = 3 \Rightarrow t = \frac{l o g 3}{l o g 1.04} \approx 28.01

מסקנה: זמן ההכפלה/השילוש תלוי רק ב-q, לא בכמות ההתחלתית.

שלב 1 — מתרגמים 'פי 3'

פי 3 פירושו

f(t)=3 \cdot f(0): 30333.06 \cdot 1.04^{t}=3 \cdot 30333.06

תשובה מספרית

לאחר שהוסיפה דנה את 6,000 ₪ (סכום התחלתי חדש 30,333.06 ₪, ריבית 4% לשנה), כעבור כמה שנים יגדל הסכום שבתוכנית פי 3? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: אי-שוויון בדעיכה — היפוך כיוון

דגימה רדיואקטיבית מתחילה ב-50 גרם, ובכל שנה נשארים 92%. מתי תרד הכמות מתחת ל-10 גרם?

0.9 2^{t} < 0.2 \Rightarrow t > \frac{l o g 0.2}{l o g 0.92} \approx 19.30 \Rightarrow t = 20

שימו לב להיפוך כיוון אי-השוויון — תוצאה של $lo g 0.92 < 0$ .

שלב 1 — בונים אי-שוויון

q=0.92, f(t)=50 \cdot 0.92^{t}

. דורשים

50 \cdot 0.92^{t}<10

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: פותרים $q^{t}=k$ על ידי חלוקה ב-q

טעות: מ- $1.0 5^{t} = 2$ מסיקים t=2/1.05. נכון: $t = \frac{l o g 2}{l o g 1.05} \approx 14.21$ .

למה זה קורה?

מטפלים במשוואה מעריכית כאילו היתה ליניארית.

איך מתקנים?

כשהנעלם במעריך, מפעילים לוגריתם:

t=\log \frac{k}{\log } q

. לעולם לא מחלקים את k ב-q.

טעות נפוצה: שוכחים להפוך את כיוון אי-השוויון בדעיכה

טעות: $0.9 2^{t} < 0.2 \Rightarrow t < 19.30$ . נכון: t>19.30.

למה זה קורה?

מפעילים לוגריתם בלי לשים לב ש-

\log q

שלילי כאשר

0<q<1

איך מתקנים?

בדעיכה

(0<q<1) \log q<0

, ולכן חלוקה בו הופכת את הסימן: מ-

q^{t}<k

מקבלים

t>\ldots

טעות נפוצה: לא מחלקים ב- $f(0)$ לפני הלוגריתם

ב- $30333.06 \cdot 1.0 4^{t} = 39916$ מחלקים תחילה ל- $1.0 4^{t} = 1.31592$ .

למה זה קורה?

מפעילים לוגריתם על כל האגף

f(0) \cdot q^{t}

בבת אחת ומסתבכים.

איך מתקנים?

קודם מבודדים את החזקה:

q^{t}=\frac{A}{f(0)}

. רק אז מפעילים לוגריתם.

תשובה מספרית

דגימה רדיואקטיבית מתחילה ב-50 גרם, ובכל שנה נשארים 92% מהכמות. כעבור כמה שנים שלמות תרד הכמות אל מתחת ל-10 גרם בפעם הראשונה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

מציאת כמויות וזמנים:

כמות בזמן נתון — הצבה ישירה של t ב- $f (t) = f (0) \cdot q^{t}$ .
זמן — מבודדים את החזקה ומפעילים לוגריתם: $t = \frac{lo g ( A / f ( 0 ))}{lo g q}$ .
"פי k" — מציבים $f (t) = k \cdot f (0)$ ; הכמות ההתחלתית מצטמצמת, ו- $q^{t} = k$ .
אי-שוויון — גדילה שומרת על הכיוון, דעיכה ( $lo g q < 0$ ) הופכת אותו.

זכרו: בבעיות "כעבור כמה שנים שלמות" — עגלו כלפי מעלה אם נדרש לעבור סף.

בשיעור הבא נתמקד במקרה חשוב במיוחד של דעיכה: זמן מחצית החיים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת כמויות וזמנים, פתרון משוואות מעריכיות בעזרת לוגריתם, ואי-שוויונות בדעיכה!

מציאת כמויות וזמנים

מציאת כמויות וזמנים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת כמות (הצבה ישירה) — חיסכון של דנה

דנה הפקידה 20,000 ₪ בריבית 4% לשנה. כמה יהיה בתוכנית לאחר 5 שנים?

דוגמה 2: מציאת זמן בעזרת לוגריתם — חיסכון של דנה (המשך)

דנה הוסיפה 6,000 ₪ (סכום חדש 30,333.06 ₪, ריבית 4%). כעבור כמה שנים יהיו בתוכנית 39,916 ₪?

דוגמה 3: שאלת "פי כמה" — הכמות ההתחלתית מצטמצמת

באותה תוכנית (סכום 30,333.06 ₪, ריבית 4%), כעבור כמה שנים יגדל הסכום פי 3?

דוגמה 4: אי-שוויון בדעיכה — היפוך כיוון

דגימה רדיואקטיבית מתחילה ב-50 גרם, ובכל שנה נשארים 92%. מתי תרד הכמות מתחת ל-10 גרם?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: פותרים qt=kq^{t}=kqt=k על ידי חלוקה ב-q

טעות נפוצה: שוכחים להפוך את כיוון אי-השוויון בדעיכה

טעות נפוצה: לא מחלקים ב-f(0)f(0)f(0) לפני הלוגריתם

סיכום

תרגול נוסף

טעות נפוצה: פותרים $q^{t}=k$ על ידי חלוקה ב-q

טעות נפוצה: לא מחלקים ב- $f(0)$ לפני הלוגריתם