משוואות ואי-שוויונות לוגריתמיים

מבוא

מטרות השיעור

למצוא את תחום ההגדרה של משוואה לוגריתמית לפני הפתרון
לפתור משוואה לוגריתמית על ידי מעבר לצורה מעריכית או על ידי השוואת לוגריתמים באותו בסיס
לפסול פתרונות מדומים שאינם בתחום ההגדרה
לפתור אי-שוויון לוגריתמי תוך שמירה על כיוון אי-השוויון בהתאם לבסיס
להבין מדוע בבסיס קטן מ-1 הכיוון מתהפך

הרעיון המרכזי

האסטרטגיה לפתרון משוואה לוגריתמית

תחום הגדרה: דורשים שכל ביטוי בתוך לוגריתם יהיה חיובי.
איחוד: מאחדים את כל הלוגריתמים לצד אחד ללוגריתם יחיד (בעזרת חוקי המכפלה, המנה והחזקה).
הסרת הלוגריתם: עוברים לצורה מעריכית, או — אם בשני האגפים לוגריתם באותו בסיס — משווים את הארגומנטים.
פתרון ובדיקה: פותרים את המשוואה האלגברית ומוודאים שכל פתרון נמצא בתחום ההגדרה.

הצעד האחרון קריטי: מעבר בין צורות עלול להכניס פתרונות מדומים.

הכלל לפתרון אי-שוויון לוגריתמי

הפונקציה הלוגריתמית מונוטונית, ולכן אפשר להסיר את הלוגריתם — אך הכיוון תלוי בבסיס:

אם a>1 (פונקציה עולה): $lo g_{a} u > lo g_{a} v ⟺ u > v$ (הכיוון נשמר).
אם 0<a<1 (פונקציה יורדת): $lo g_{a} u > lo g_{a} v ⟺ u < v$ (הכיוון מתהפך).

ובכל מקרה יש לדרוש שהארגומנטים חיוביים (תחום ההגדרה).

הערה על היקף הנושא

בתוכנית 4 יחידות פותרים משוואות ואי-שוויונות לוגריתמיים פשוטים — כאלה המובילים לכל היותר למשוואה או אי-שוויון ריבועי, בהיקף הנדרש ליישומי החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי ולבעיות גדילה ודעיכה. לא עוסקים במשוואות מורכבות מעבר לכך.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משוואה בסיסית — מעבר לצורה מעריכית

פתרו את $\log _{3}(x-1) = 2$ .

lo g_{3} (x - 1) = 2 ⟺ x - 1 = 3^{2} = 9 ⟺ x = 10

שלב 1 — תחום הגדרה

דורשים

x-1>0

, כלומר

x>1

תשובה מספרית

פתרו את המשוואה $\log _{2}x = 5$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: איחוד לוגריתמים ופסילת פתרון מדומה

פתרו את $\log x + \log (x-3) = 1 ($ בסיס 10).

lo g (x (x - 3)) = 1 \Rightarrow x^{2} - 3 x - 10 = 0 \Rightarrow x = 5 (x = - 2 נפסל)

שלב 1 — תחום הגדרה

דורשים

x>0

וגם

x-3>0

, כלומר

x>3

תשובה מספרית

פתרו את המשוואה $\log x + \log (x-3) = 1 ($ לוגריתם בבסיס 10). מהו הפתרון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: אי-שוויון בבסיס גדול מ-1

פתרו את אי-השוויון $\log _{2}x > 3$ .

lo g_{2} x > 3 ⟺ x > 2^{3} = 8

שלב 1 — תחום הגדרה

x>0

דוגמה 4: אי-שוויון בבסיס קטן מ-1 (היפוך כיוון)

פתרו את אי-השוויון $\log _{1}⁄_{2}x \ge -2$ .

lo g_{1/2} x \geq - 2 ⟺ x \leq (\frac{1}{2})^{- 2} = 4, ובתחום: 0 < x \leq 4

שלב 1 — תחום הגדרה

x>0

דוגמה 5: משוואה הניתנת להצבה (ריבועית בלוגריתם)

פתרו את $(\log x)^{2} - 3 \cdot \log x + 2 = 0 ($ בסיס 10).

t^{2} - 3 t + 2 = 0 \Rightarrow t \in {1, 2} \Rightarrow x \in {10, 100}

שלב 1 — תחום הגדרה

x>0

בדיקה מהירה

מהי קבוצת הפתרונות של אי-השוויון $\log _{1}⁄_{2}x \ge -2$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

פתרו את המשוואה $(\log x)^{2} - 3 \cdot \log x + 2 = 0 ($ לוגריתם בבסיס 10). מהו הפתרון הגדול ביותר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: דילוג על תחום ההגדרה וקבלת פתרון מדומה

ב- $lo g x + lo g (x - 3) = 1$ מתקבל גם x=-2, אך הוא נפסל כי x>3. נשאר רק x=5.

למה זה קורה?

התלמיד פותר את המשוואה האלגברית ומקבל את כל הפתרונות, בלי לבדוק שהם בתחום.

איך מתקנים?

תמיד קובעים את תחום ההגדרה בתחילת הפתרון (כל ארגומנט חיובי), ובסוף פוסלים כל פתרון שאינו בו.

טעות נפוצה: אי-היפוך כיוון אי-השוויון בבסיס קטן מ-1

טעות: $lo g_{1/2} x \geq - 2 \Rightarrow x \geq 4$ .

נכון: $lo g_{1/2} x \geq - 2 \Rightarrow x \leq 4$ (ובתחום: $0 < x \leq 4$ ).

למה זה קורה?

התלמיד מסיר את הלוגריתם ושומר על הכיוון, כאילו הפונקציה תמיד עולה.

איך מתקנים?

כשהבסיס בין 0 ל-1 הפונקציה יורדת, ולכן בהסרת הלוגריתם הופכים את כיוון אי-השוויון.

טעות נפוצה: איחוד שגוי: $\log x + \log y = \log (x+y)$

טעות: $lo g x + lo g (x - 3) = lo g (2 x - 3)$ .

נכון: $lo g x + lo g (x - 3) = lo g (x (x - 3))$ .

למה זה קורה?

בלבול בין חוק המכפלה (שמתאים) לבין חיבור הארגומנטים.

איך מתקנים?

חוק המכפלה הופך סכום לוגריתמים ללוגריתם של מכפלה:

\log x+\log y=\log (xy)

, לא

\log (x+y)

טעות נפוצה: שכחת חיתוך פתרון אי-השוויון עם תחום ההגדרה

מ- $lo g_{1/2} x \geq - 2$ מקבלים $x \leq 4$ , אבל הפתרון הסופי הוא $0 < x \leq 4$ .

למה זה קורה?

התלמיד מקבל למשל

x \le 4

ומדווח עליו, בלי הדרישה

x>0

איך מתקנים?

קבוצת הפתרונות של אי-שוויון לוגריתמי היא החיתוך של הפתרון האלגברי עם תחום ההגדרה.

סיכום

מה למדנו?

משוואות ואי-שוויונות לוגריתמיים:

תמיד פותחים בתחום הגדרה: כל ארגומנט חיובי.
מאחדים לוגריתמים בעזרת החוקים, ואז עוברים לצורה מעריכית או משווים ארגומנטים.
פוסלים פתרונות מדומים שאינם בתחום.
באי-שוויון: בסיס a>1 שומר על הכיוון; בסיס 0<a<1 הופך את הכיוון.
קבוצת הפתרונות של אי-שוויון היא החיתוך עם תחום ההגדרה.

בשיעור הבא נחקור את הפונקציה הלוגריתמית עצמה — תכונותיה והגרף שלה כפונקציה ההפוכה לפונקציה המעריכית.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פתרון משוואות ואי-שוויונות לוגריתמיים!

משוואות ואי-שוויונות לוגריתמיים

משוואות ואי-שוויונות לוגריתמיים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משוואה בסיסית — מעבר לצורה מעריכית

פתרו את log⁡3(x−1)=2\log _{3}(x-1) = 2log3​(x−1)=2.

דוגמה 2: איחוד לוגריתמים ופסילת פתרון מדומה

פתרו את log⁡x+log⁡(x−3)=1(\log x + \log (x-3) = 1 (logx+log(x−3)=1(בסיס 10).

דוגמה 3: אי-שוויון בבסיס גדול מ-1

פתרו את אי-השוויון log⁡2x>3\log _{2}x > 3log2​x>3.

דוגמה 4: אי-שוויון בבסיס קטן מ-1 (היפוך כיוון)

פתרו את אי-השוויון log⁡1⁄2x≥−2\log _{1}⁄_{2}x \ge -2log1​⁄2​x≥−2.

דוגמה 5: משוואה הניתנת להצבה (ריבועית בלוגריתם)

פתרו את (log⁡x)2−3⋅log⁡x+2=0((\log x)^{2} - 3 \cdot \log x + 2 = 0 ((logx)2−3⋅logx+2=0(בסיס 10).

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: דילוג על תחום ההגדרה וקבלת פתרון מדומה

טעות נפוצה: אי-היפוך כיוון אי-השוויון בבסיס קטן מ-1

טעות נפוצה: איחוד שגוי: log⁡x+log⁡y=log⁡(x+y)\log x + \log y = \log (x+y)logx+logy=log(x+y)

טעות נפוצה: שכחת חיתוך פתרון אי-השוויון עם תחום ההגדרה

סיכום

תרגול נוסף

פתרו את $\log _{3}(x-1) = 2$ .

פתרו את $\log x + \log (x-3) = 1 ($ בסיס 10).

פתרו את אי-השוויון $\log _{2}x > 3$ .

פתרו את אי-השוויון $\log _{1}⁄_{2}x \ge -2$ .

פתרו את $(\log x)^{2} - 3 \cdot \log x + 2 = 0 ($ בסיס 10).

טעות נפוצה: איחוד שגוי: $\log x + \log y = \log (x+y)$