הפונקציה הלוגריתמית: תכונות וגרף

מבוא

מטרות השיעור

להבין את הפונקציה $y = lo g_{a} x$ כפונקציה ההפוכה לפונקציה המעריכית $y = a^{x}$
לזהות את תחום ההגדרה (x>0) ואת הטווח (כל המספרים הממשיים)
למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה-x ואת האסימפטוטה האנכית
לקבוע עלייה/ירידה וחיוביות/שליליות לפי הבסיס
לשרטט את הגרף כשיקוף של הגרף המעריכי ביחס לישר y=x

הרעיון המרכזי

לוגריתם כפונקציה הפוכה

הפונקציה המעריכית $y = a^{x}$ (עם $a > 0, a \neq = 1$ ) היא חד-חד-ערכית, ולכן יש לה פונקציה הפוכה. הפונקציה ההפוכה היא בדיוק הפונקציה הלוגריתמית:

y = a^{x} ⟺ x = lo g_{a} y

לכן $f (x) = lo g_{a} x$ "מבטלת" את $g (x) = a^{x}$ : מתקיים $lo g_{a} (a^{x}) = x$ וגם $a^{l o g_{a} x} = x$ .

גרפית, גרף של פונקציה הפוכה מתקבל בשיקוף ביחס לישר y=x: כל נקודה (p,q) על הגרף המעריכי הופכת לנקודה (q,p) על הגרף הלוגריתמי.

תכונות הפונקציה $y=\log _{a}x$

מהקשר ההופכי לפונקציה המעריכית נובעות התכונות (השוו: בפונקציה המעריכית התחום והטווח מתחלפים):

תחום הגדרה: x>0 (הטווח של המעריכית).
טווח: כל המספרים הממשיים.
חיתוך עם הצירים: עם ציר ה-x בנקודה (1,0) (כי $lo g_{a} 1 = 0$ ); אין חיתוך עם ציר ה-y.
אסימפטוטה אנכית: הישר x=0 (ציר ה-y). כש- $x \to 0^{+}$ ערכי הפונקציה שואפים לאינסוף שלילי או חיובי בהתאם לבסיס.

השפעת הבסיס: עלייה, ירידה וסימן

אם a>1 (פונקציה עולה):

עולה בכל תחום ההגדרה.
שלילית עבור 0<x<1, מתאפסת ב-x=1, וחיובית עבור x>1.
כש- $x \to 0^{+}$ הפונקציה שואפת ל- $- \infty$ .

אם 0<a<1 (פונקציה יורדת):

יורדת בכל תחום ההגדרה.
חיובית עבור 0<x<1, מתאפסת ב-x=1, ושלילית עבור x>1.
כש- $x \to 0^{+}$ הפונקציה שואפת ל- $+ \infty$ .

שתי הפונקציות $lo g_{a} x$ ו- $lo g_{1/ a} x$ הן תמונות ראי זו של זו ביחס לציר ה-x.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב נקודות על הגרף

מצאו שלוש נקודות על גרף $f(x)=\log _{2}x$ והסבירו את מיקומן.

f (1) = 0, f (8) = 3, f (\frac{1}{2}) = - 1

שלב 1 — נקודת החיתוך

f(1)=\log _{2}1=0

, ולכן

(1,0)

על הגרף — זו נקודת החיתוך עם ציר ה-x.

דוגמה 2: הקשר ההופכי לפונקציה המעריכית

הראו כיצד נקודה על גרף $y=2^{x}$ הופכת לנקודה על גרף $y=\log _{2}x$ .

(3, 8) על y = 2^{x} y = x (8, 3) על y = lo g_{2} x

שלב 1 — נקודה על הגרף המעריכי

עבור

x=3: y=2^{3}=8

, כלומר

(3,8)

על גרף

y=2^{x}

בדיקה מהירה

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x) = \log _{2}x$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

הפונקציה הלוגריתמית $y=\log _{2}x$ היא הפונקציה ההפוכה לפונקציה המעריכית $y=2^{x}$ . ביחס לאיזה ישר משתקפים זה בזה גרפי שתי הפונקציות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: תחום הגדרה ואסימפטוטה לאחר הזזה

מצאו את תחום ההגדרה והאסימפטוטה האנכית של $f(x)=\log _{3}(x-4)$ .

x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4, אסימפטוטה: x = 4

שלב 1 — דרישת חיוביות

הארגומנט חיובי:

x-4>0

, ומכאן

x>4

בדיקה מהירה

מהי משוואת האסימפטוטה של גרף הפונקציה $y=\log _{3}x$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: השוואה בין פונקציה עולה ליורדת

השוו בין $f(x)=\log _{2}x$ ל- $g(x)=\log _{1}⁄_{2}x$ מבחינת עלייה/ירידה וסימן.

lo g_{1/2} x = \frac{l o g _{2} x}{l o g _{2} ( 1/2 )} = \frac{l o g _{2} x}{- 1} = - lo g_{2} x

שלב 1 — תחום משותף

לשתיהן אותו תחום הגדרה

x>0

ואותה נקודת חיתוך

(1,0)

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה היורדת $f(x) = \log _{1}⁄_{2}x$ . עבור איזה ערך x מתקיים $f(x) = -3$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: ייחוס אסימפטוטה אופקית לפונקציה הלוגריתמית

טעות: "ל- $y = lo g_{2} x$ יש אסימפטוטה אופקית y=0."

נכון: האסימפטוטה היא אנכית, x=0 (ציר ה-y).

למה זה קורה?

התלמיד מעתיק את התכונה מהפונקציה המעריכית (שלה יש אסימפטוטה אופקית) אל הלוגריתמית.

איך מתקנים?

לפונקציה הלוגריתמית יש אסימפטוטה אנכית

x=0

, לא אופקית. הטווח שלה הוא כל הממשיים, ולכן הגרף 'מטפס' ללא חסם.

טעות נפוצה: בלבול בין החיתוך עם ציר ה-x לחיתוך עם ציר ה-y

טעות: "הגרף חותך את ציר ה-y ב-(0,1)."

נכון: אין חיתוך עם ציר ה-y; החיתוך הוא (1,0) עם ציר ה-x.

למה זה קורה?

התלמיד מחפש את ערך הפונקציה ב-

x=0

או טוען ש-

(0,1)

על הגרף (כמו במעריכית).

איך מתקנים?

x=0

אינו בתחום ההגדרה, ולכן אין חיתוך עם ציר ה-y. החיתוך היחיד עם הצירים הוא עם ציר ה-x בנקודה

(1,0)

טעות נפוצה: הנחה ש- $\log _{a}x$ שלילי לכל x

$lo g_{2} (0.5) = - 1 < 0$ , אבל $lo g_{2} 8 = 3 > 0$ — הסימן משתנה סביב x=1.

למה זה קורה?

התלמיד זוכר שלוגריתם של שבר קטן הוא שלילי ומכליל זאת לכל הערכים.

איך מתקנים?

הסימן תלוי במיקום ביחס ל-1. עבור

a>1:

שלילי ב-

0<x<1

, אפס ב-

x=1

, וחיובי ב-

x>1

טעות נפוצה: בלבול בין כיוון העלייה של בסיס גדול וקטן מ-1

$lo g_{2} x$ עולה, אך $lo g_{1/2} x$ יורדת — הן שיקוף זו של זו ביחס לציר ה-x.

למה זה קורה?

התלמיד סבור שכל הפונקציות הלוגריתמיות עולות.

איך מתקנים?

בסיס

a>1

נותן פונקציה עולה; בסיס

0<a<1

נותן פונקציה יורדת. בדקו תמיד את הבסיס.

סיכום

מה למדנו?

הפונקציה הלוגריתמית $y = lo g_{a} x$ :

היא ההופכית לפונקציה המעריכית $y = a^{x}$ ; הגרף הוא שיקוף ביחס ל-y=x.
תחום הגדרה x>0, טווח כל הממשיים.
חיתוך עם ציר ה-x ב-(1,0); אין חיתוך עם ציר ה-y.
אסימפטוטה אנכית x=0.
בסיס a>1: עולה, שלילית ב-0<x<1 וחיובית ב-x>1. בסיס 0<a<1: יורדת, עם הסימנים ההפוכים.

בשיעור הבא נלמד טרנספורמציות של הפונקציה הלוגריתמית — הזזה, מתיחה, שיקוף וערך מוחלט.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על תכונות הפונקציה הלוגריתמית והגרף שלה!

הפונקציה הלוגריתמית: תכונות וגרף

הפונקציה הלוגריתמית: תכונות וגרף

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב נקודות על הגרף

מצאו שלוש נקודות על גרף f(x)=log⁡2xf(x)=\log _{2}xf(x)=log2​x והסבירו את מיקומן.

דוגמה 2: הקשר ההופכי לפונקציה המעריכית

הראו כיצד נקודה על גרף y=2xy=2^{x}y=2x הופכת לנקודה על גרף y=log⁡2xy=\log _{2}xy=log2​x.

דוגמה 3: תחום הגדרה ואסימפטוטה לאחר הזזה

מצאו את תחום ההגדרה והאסימפטוטה האנכית של f(x)=log⁡3(x−4)f(x)=\log _{3}(x-4)f(x)=log3​(x−4).

דוגמה 4: השוואה בין פונקציה עולה ליורדת

השוו בין f(x)=log⁡2xf(x)=\log _{2}xf(x)=log2​x ל-g(x)=log⁡1⁄2xg(x)=\log _{1}⁄_{2}xg(x)=log1​⁄2​x מבחינת עלייה/ירידה וסימן.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: ייחוס אסימפטוטה אופקית לפונקציה הלוגריתמית

טעות נפוצה: בלבול בין החיתוך עם ציר ה-x לחיתוך עם ציר ה-y

טעות נפוצה: הנחה ש-log⁡ax\log _{a}xloga​x שלילי לכל x

טעות נפוצה: בלבול בין כיוון העלייה של בסיס גדול וקטן מ-1

סיכום

תרגול נוסף

מצאו שלוש נקודות על גרף $f(x)=\log _{2}x$ והסבירו את מיקומן.

הראו כיצד נקודה על גרף $y=2^{x}$ הופכת לנקודה על גרף $y=\log _{2}x$ .

מצאו את תחום ההגדרה והאסימפטוטה האנכית של $f(x)=\log _{3}(x-4)$ .

השוו בין $f(x)=\log _{2}x$ ל- $g(x)=\log _{1}⁄_{2}x$ מבחינת עלייה/ירידה וסימן.

טעות נפוצה: הנחה ש- $\log _{a}x$ שלילי לכל x