לוגריתם וחוקי הלוגריתמים

מבוא

מטרות השיעור

להבין את הגדרת הלוגריתם כפעולה ההפוכה להעלאה בחזקה
לחשב לוגריתמים פשוטים ישירות מההגדרה
לזהות את הערכים המיוחדים $lo g_{a} 1 = 0$ ו- $lo g_{a} a = 1$
ליישם את חוקי הלוגריתמים: מכפלה, מנה וחזקה
להשתמש בנוסחת המעבר בין בסיסים כדי לחשב לוגריתם בכל בסיס

הרעיון המרכזי

הגדרת הלוגריתם

החזקה והלוגריתם הם פעולות הפוכות. בהינתן בסיס $a > 0, a \neq = 1$ ומספר b>0, הלוגריתם של b בבסיס a הוא המעריך שאליו צריך להעלות את a כדי לקבל b:

lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b

למשל $lo g_{2} 8 = 3$ מפני ש- $2^{3} = 8$ .

שימו לב לתנאים: הבסיס חיובי ושונה מ-1, והמספר שבתוך הלוגריתם חיובי בלבד — לא קיים לוגריתם של אפס או של מספר שלילי.

ערכים מיוחדים שכדאי לזכור

ישירות מההגדרה מתקבלים שלושה ערכים שימושיים מאוד, לכל בסיס חוקי a:

$lo g_{a} 1 = 0$ (כי $a^{0} = 1$ )
$lo g_{a} a = 1$ (כי $a^{1} = a$ )
$a^{l o g_{a} b} = b$ (החזקה והלוגריתם "מבטלים" זה את זה)

כאשר הבסיס הוא 10 נהוג לכתוב $lo g b$ בלי לציין את הבסיס, וכאשר הבסיס הוא e כותבים $ln b$ .

שלושת חוקי הלוגריתמים

לכל x,y>0 ובסיס חוקי a:

חוק המכפלה: $lo g_{a} (x \cdot y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$

חוק המנה: $lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} x - lo g_{a} y$

חוק החזקה: $lo g_{a} (x^{k}) = k \cdot lo g_{a} x$ (לכל ממשי k)

שלושת החוקים נובעים ישירות מחוקי החזקות, מפני שהלוגריתם הוא בעצם מעריך: כשמכפילים חזקות מחברים מעריכים, כשמחלקים מחסירים, וכשמעלים בחזקה מכפילים את המעריך.

נוסחת המעבר בין בסיסים

מחשבונים מחשבים בדרך כלל רק לוגריתם בבסיס 10 או בבסיס e. כדי לחשב לוגריתם בבסיס אחר משתמשים בנוסחת המעבר: לכל בסיס עזר חוקי c,

lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}

הוכחה קצרה: נסמן $c = lo g_{a} b$ , כלומר $a^{c} = b$ . ניקח לוגריתם בבסיס העזר משני האגפים ונשתמש בחוק החזקה: $c \cdot lo g_{c} a = lo g_{c} b$ , ומכאן $c = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב לוגריתם מההגדרה

חשבו את $\log _{3}81$ .

lo g_{3} 81 = c ⟺ 3^{c} = 81 = 3^{4} \Rightarrow c = 4

שלב 1 — מהי השאלה

לפי ההגדרה

, \log _{3}81

הוא המעריך c שעבורו 3 בחזקת c שווה 81.

בדיקה מהירה

מהו הערך של $\log _{2}32$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: חוק המכפלה ואיחוד לוגריתמים

חשבו את $\log _{2}6 + \log _{2}(\frac{2}{3})$ .

lo g_{2} 6 + lo g_{2} \frac{2}{3} = lo g_{2} (6 \cdot \frac{2}{3}) = lo g_{2} 4 = 2

שלב 1 — מזהים בסיס משותף

שני הלוגריתמים באותו בסיס 2, ולכן אפשר לאחד אותם בעזרת חוק המכפלה.

תשובה מספרית

חשבו את הביטוי $\log _{2}6 + \log _{2}(\frac{2}{3})$ באמצעות חוקי הלוגריתמים.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: פיתוח ביטוי בעזרת שלושת החוקים

פתחו את $\log _{a}(x^{2} \cdot \frac{y}{z})$ לסכום והפרש של לוגריתמים $(a,x,y,z>0)$ .

lo g_{a} (\frac{x ^{2} y}{z}) = 2 lo g_{a} x + lo g_{a} y - lo g_{a} z

שלב 1 — חוק המנה

המנה הופכת להפרש:

\log _{a}(x^{2}\frac{y}{z}) = \log _{a}(x^{2}y) - \log _{a}z

דוגמה 4: נוסחת המעבר בין בסיסים

חשבו את $\log _{8}32$ ללא מחשבון.

lo g_{8} 32 = \frac{l o g _{2} 32}{l o g _{2} 8} = \frac{5}{3}

שלב 1 — בוחרים בסיס עזר נוח

גם 8 וגם 32 הם חזקות של 2, לכן נעבור לבסיס 2.

תשובה מספרית

באמצעות נוסחת המעבר בין בסיסים, חשבו את $\log _{8}32. ($ תנו תשובה עשרונית מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

סטייה מותרת: ±0.02

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: צירוף חוק החזקה עם ערכים נתונים

נתון $\log 2≈0.301$ ו- $\log 3≈0.477$ . חשבו את $\log 12$ .

lo g 12 = 2 lo g 2 + lo g 3 \approx 2 (0.301) + 0.477 = 1.079

שלב 1 — מפרקים לגורמים

12 = 4 \cdot 3 = 2^{2} \cdot 3

, גורמים שאת הלוגריתם שלהם אנו יודעים.

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

חשבו את המכפלה $\log _{2}5 \cdot \log _{5}8$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: המצאת חוק ללוגריתם של סכום

טעות: $lo g (x + y) = lo g x + lo g y$ .

נכון: $lo g (x \cdot y) = lo g x + lo g y$ — רק עבור מכפלה.

למה זה קורה?

התלמיד מכליל את חוק המכפלה גם על חיבור, וכותב

\log (x+y)=\log x+\log y

איך מתקנים?

אין חוק ללוגריתם של סכום. החוק הופך מכפלה לסכום, לא סכום לסכום. בדקו עם מספרים:

\log (2+8)=\log 10=1

, אבל

\log 2+\log 8=\log 16≈1.204

טעות נפוצה: בלבול בין $\log _{a}(x^{n})$ ל- $(\log _{a}x)^{n}$

טעות: $(lo g_{2} x)^{3} = 3 lo g_{2} x$ .

נכון: $lo g_{2} (x^{3}) = 3 lo g_{2} x$ , אבל $(lo g_{2} x)^{3}$ נשאר כפי שהוא.

למה זה קורה?

חוק החזקה מוריד את המעריך, אבל התלמיד מיישם אותו גם כשהחזקה היא על הלוגריתם כולו.

איך מתקנים?

המעריך יורד רק כשהוא בתוך הלוגריתם:

\log _{a}(x^{n})=n \cdot \log _{a}x

. הביטוי

(\log _{a}x)^{n}

הוא הלוגריתם בחזקת n, ואי אפשר לפשטו כך.

טעות נפוצה: שכחת הערכים המיוחדים $\log _{a}1=0$ ו- $\log _{a}a=1$

דוגמה: $lo g_{5} 1 + lo g_{7} 7 = 0 + 1 = 1$ , ללא צורך במחשבון.

למה זה קורה?

התלמיד מנסה לחשב במחשבון או 'תקוע' במקום לזהות שהביטוי מצטמצם לערך מיידי.

איך מתקנים?

זכרו ש-

\log _{a}1=0

תמיד (כי

a^{0}=1)

, ו-

\log _{a}a=1

תמיד (כי

a^{1}=a)

. זיהוי מהיר שלהם חוסך חישוב.

טעות נפוצה: ניסיון לחשב לוגריתם של מספר אי-חיובי

לא קיים ערך ל- $lo g_{2} (- 4)$ , כי אין מעריך c שעבורו $2^{c} = - 4$ .

למה זה קורה?

התלמיד מתעלם מתחום ההגדרה ומחשב

\log

של אפס או של מספר שלילי.

איך מתקנים?

הלוגריתם מוגדר רק עבור מספר חיובי. אין פתרון ל-

\log _{a}0

ול-

\log _{a}(

מספר שלילי), כי אין חזקה של בסיס חיובי שתיתן תוצאה כזו.

סיכום

מה למדנו?

הלוגריתם וחוקיו:

הגדרה: $lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$ (עם $a > 0, a \neq = 1, b > 0$ ).
ערכים מיוחדים: $lo g_{a} 1 = 0$ , $lo g_{a} a = 1$ , $a^{l o g_{a} b} = b$ .
חוק המכפלה: $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ .
חוק המנה: $lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ .
חוק החזקה: $lo g_{a} (x^{k}) = k lo g_{a} x$ .
נוסחת המעבר: $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ .

זכרו: אין חוק ללוגריתם של סכום, והמספר שבתוך הלוגריתם חייב להיות חיובי.

בשיעור הבא נשתמש בחוקים האלה כדי לפתור משוואות ואי-שוויונות לוגריתמיים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הגדרת הלוגריתם וחוקיו!

לוגריתם וחוקי הלוגריתמים

לוגריתם וחוקי הלוגריתמים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב לוגריתם מההגדרה

חשבו את log⁡381\log _{3}81log3​81.

דוגמה 2: חוק המכפלה ואיחוד לוגריתמים

חשבו את log⁡26+log⁡2(23)\log _{2}6 + \log _{2}(\frac{2}{3})log2​6+log2​(32​).

דוגמה 3: פיתוח ביטוי בעזרת שלושת החוקים

פתחו את log⁡a(x2⋅yz)\log _{a}(x^{2} \cdot \frac{y}{z})loga​(x2⋅zy​) לסכום והפרש של לוגריתמים (a,x,y,z>0)(a,x,y,z>0)(a,x,y,z>0).

דוגמה 4: נוסחת המעבר בין בסיסים

חשבו את log⁡832\log _{8}32log8​32 ללא מחשבון.

דוגמה 5: צירוף חוק החזקה עם ערכים נתונים

נתון log⁡2≈0.301\log 2≈0.301log2≈0.301 ו-log⁡3≈0.477\log 3≈0.477log3≈0.477. חשבו את log⁡12\log 12log12.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: המצאת חוק ללוגריתם של סכום

טעות נפוצה: בלבול בין log⁡a(xn)\log _{a}(x^{n})loga​(xn) ל-(log⁡ax)n(\log _{a}x)^{n}(loga​x)n

טעות נפוצה: שכחת הערכים המיוחדים log⁡a1=0\log _{a}1=0loga​1=0 ו-log⁡aa=1\log _{a}a=1loga​a=1

טעות נפוצה: ניסיון לחשב לוגריתם של מספר אי-חיובי

סיכום

תרגול נוסף

חשבו את $\log _{3}81$ .

חשבו את $\log _{2}6 + \log _{2}(\frac{2}{3})$ .

פתחו את $\log _{a}(x^{2} \cdot \frac{y}{z})$ לסכום והפרש של לוגריתמים $(a,x,y,z>0)$ .

חשבו את $\log _{8}32$ ללא מחשבון.

נתון $\log 2≈0.301$ ו- $\log 3≈0.477$ . חשבו את $\log 12$ .

טעות נפוצה: בלבול בין $\log _{a}(x^{n})$ ל- $(\log _{a}x)^{n}$

טעות נפוצה: שכחת הערכים המיוחדים $\log _{a}1=0$ ו- $\log _{a}a=1$