פעולות על הפונקציה הלוגריתמית

מבוא

מטרות השיעור

לבצע הזזה אנכית ואופקית של גרף הפונקציה הלוגריתמית
לבצע מתיחה/כיווץ אנכיים ולהבין את השפעתם
לבצע שיקוף ביחס לציר ה-x וביחס לציר ה-y, ולהבחין ביניהם
להבין את פעולת הערך המוחלט על הגרף
לשלב מספר טרנספורמציות ולעקוב אחר תחום ההגדרה, האסימפטוטה ונקודות החיתוך

הרעיון המרכזי

מילון הטרנספורמציות (לבסיס $f(x)=\log _{a}x)$

לכל קבוע c>0 וקבוע k>1:

הזזה אנכית: f(x)+c מעלה ב-c; f(x)-c מורידה ב-c.
הזזה אופקית: $f (x - c) = lo g_{a} (x - c)$ מזיזה ימינה ב-c; f(x+c) מזיזה שמאלה.
מתיחה/כיווץ אנכיים: $k \cdot f (x)$ מותחת אנכית בפקטור k; $\frac{1}{k} f (x)$ מכווצת.
שיקוף ביחס לציר ה-x: $- f (x) = - lo g_{a} x$ הופך את סימן ה-y.
שיקוף ביחס לציר ה-y: $f (- x) = lo g_{a} (- x)$ הופך את סימן ה-x (התחום עובר ל-x<0).
ערך מוחלט: |f(x)| משקף כלפי מעלה רק את החלק שמתחת לציר ה-x.

מה זז עם הגרף ומה נשאר במקום

חשוב לעקוב אחר שלושה מאפיינים בכל טרנספורמציה:

תחום ההגדרה והאסימפטוטה האנכית משתנים רק בהזזה אופקית ובשיקוף ביחס לציר ה-y. הזזה אנכית, מתיחה אנכית ושיקוף ביחס לציר ה-x אינם מזיזים את האסימפטוטה.
ב- $lo g_{a} (x - c)$ האסימפטוטה עוברת מ-x=0 ל-x=c, והתחום הופך ל-x>c.
נקודת החיתוך עם ציר ה-x זזה כמעט בכל טרנספורמציה — כדאי למצוא אותה בכל פעם מחדש על ידי פתרון y=0.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הזזה אופקית והאסימפטוטה

תארו את הגרף של $f(x)=\log _{2}(x-1):$ תחום, אסימפטוטה ונקודת חיתוך.

lo g_{2} (x - 1) = 0 \Rightarrow x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2

שלב 1 — תחום הגדרה

x-1>0 ⟸ x>1

דוגמה 2: שילוב מתיחה והזזה אנכית

נתון $g(x)=3 \cdot \log (x)+4 ($ בסיס 10). מהי $g(10)$ ומה משמעות המקדמים?

g (10) = 3 lo g 10 + 4 = 3 \cdot 1 + 4 = 7

שלב 1 — מזהים את הטרנספורמציות

המקדם 3 הוא מתיחה אנכית בפקטור 3; ה-

+4

הוא הזזה אנכית כלפי מעלה ב-4.

בדיקה מהירה

כיצד מתקבל גרף הפונקציה $y=\log _{2}x + 3$ מגרף הפונקציה $y=\log _{2}x$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מהי שיעור ה-x של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $y=\log _{2}x + 1$ עם ציר ה-x?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: שיקוף ביחס לצירים — ההבדל

הבחינו בין $y=-\log _{2}x$ ל- $y=\log _{2}(-x)$ .

- lo g_{2} x : x > 0, lo g_{2} (- x) : - x > 0 \Rightarrow x < 0

שלב 1 — $y=-\log _{2}x$

הכפלה ב-

(-1)

מחוץ ללוגריתם הופכת את סימן ה-y: שיקוף ביחס לציר ה-x. התחום נשאר

x>0

תשובה קצרה

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $y=\log _{2}(-x)$ ? רשמו את התשובה כאי-שוויון.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: ערך מוחלט |log₂x|

שרטטו (תיאורית) את $y=|\log _{2}x|$ מתוך $y=\log _{2}x$ .

∣ lo g_{2} x ∣ = {lo g_{2} x, - lo g_{2} x, x \geq 1 0 < x < 1

שלב 1 — היכן הפונקציה אי-שלילית

עבור

x \ge 1

מתקיים

\log _{2}x \ge 0

, ולכן

|\log _{2}x|=\log _{2}x

— חלק זה ללא שינוי.

בדיקה מהירה

אילו מהמשפטים מתאר נכונה את גרף הפונקציה $y=|\log _{2}x|$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שילוב מלא של טרנספורמציות

תארו כיצד מתקבל $y=3 \cdot \log (x-1)+4$ מ- $y=\log (x)$ , ומצאו את האסימפטוטה.

lo g (x) \to lo g (x - 1) \to 3 lo g (x - 1) \to 3 lo g (x - 1) + 4

שלב 1 — הזזה אופקית

\log (x-1):

הזזה יחידה ימינה. האסימפטוטה עוברת ל-

x=1

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הזזת האסימפטוטה בכיוון הלא נכון (או אי-הזזתה כלל)

טעות: "האסימפטוטה של $lo g_{2} (x - 1)$ היא x=0."

נכון: היא x=1 (כי התחום הוא x>1).

למה זה קורה?

התלמיד חושב שהזזה אופקית אינה משפיעה על האסימפטוטה, או מזיז אותה לכיוון ההפוך.

איך מתקנים?

ב-

\log (x-c)

הגרף זז ימינה ב-c, והאסימפטוטה עוברת ל-

x=c

. מצאו אותה תמיד מתחום ההגדרה: הארגומנט חיובי.

טעות נפוצה: שיקוף כל הגרף בערך מוחלט במקום רק החלק השלילי

ב- $∣ lo g_{2} x ∣$ : החלק עבור $x \geq 1$ (שכבר חיובי) נשאר, ורק החלק עבור 0<x<1 משתקף.

למה זה קורה?

התלמיד מפעיל את הערך המוחלט כמו שיקוף מלא ביחס לציר ה-x.

איך מתקנים?

ערך מוחלט משאיר ללא שינוי את החלק שמעל הציר, ומשקף כלפי מעלה רק את החלק שמתחתיו.

טעות נפוצה: בלבול בין $-\log _{a}x$ ל- $\log _{a}(-x)$

$- lo g_{2} x$ מוגדר עבור x>0, אבל $lo g_{2} (- x)$ מוגדר עבור x<0.

למה זה קורה?

שני הביטויים נראים דומים, אך הם פעולות שונות לחלוטין.

איך מתקנים?

-\log _{a}x

הוא שיקוף ביחס לציר ה-x (התחום נשאר

x>0). \log _{a}(-x)

הוא שיקוף ביחס לציר ה-y (התחום הופך ל-

x<0)

טעות נפוצה: ביצוע ההזזה האנכית לפני המתיחה

ב- $3 lo g (x - 1) + 4$ : קודם מותחים פי 3, ורק אז מוסיפים 4 — אחרת ה-4 היה מוכפל ב-3.

למה זה קורה?

התלמיד מוסיף את הקבוע ואז מותח, וכך מותח גם את הקבוע.

איך מתקנים?

בביטוי

k \cdot f(x)+c

מבצעים קודם את המתיחה (כפל ב-k) ורק אחר כך את ההזזה (הוספת c).

סיכום

מה למדנו?

טרנספורמציות של הפונקציה הלוגריתמית:

הזזה אנכית $f (x) \pm c$ והזזה אופקית $lo g_{a} (x - c)$ (ימינה ב-c).
מתיחה/כיווץ אנכיים $k \cdot f (x)$ .
שיקוף בציר ה-x $- lo g_{a} x$ (משנה סימן y); שיקוף בציר ה-y $lo g_{a} (- x)$ (תחום x<0).
ערך מוחלט $∣ lo g_{a} x ∣$ : משקף כלפי מעלה רק את החלק השלילי.
בשילוב טרנספורמציות: מתיחה לפני הזזה אנכית; האסימפטוטה נעה רק בהזזה אופקית ובשיקוף בציר ה-y.

בכך השלמנו את היחידה על הפונקציה הלוגריתמית — מהגדרת הלוגריתם ועד הגרף ופעולותיו. כלים אלה ישמשו אתכם בחקירת פונקציות לוגריתמיות בחשבון הדיפרנציאלי ובבעיות גדילה ודעיכה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על טרנספורמציות של הפונקציה הלוגריתמית!

פעולות על הפונקציה הלוגריתמית

פעולות על הפונקציה הלוגריתמית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הזזה אופקית והאסימפטוטה

תארו את הגרף של f(x)=log⁡2(x−1):f(x)=\log _{2}(x-1):f(x)=log2​(x−1): תחום, אסימפטוטה ונקודת חיתוך.

דוגמה 2: שילוב מתיחה והזזה אנכית

נתון g(x)=3⋅log⁡(x)+4(g(x)=3 \cdot \log (x)+4 (g(x)=3⋅log(x)+4(בסיס 10). מהי g(10)g(10)g(10) ומה משמעות המקדמים?

דוגמה 3: שיקוף ביחס לצירים — ההבדל

הבחינו בין y=−log⁡2xy=-\log _{2}xy=−log2​x ל-y=log⁡2(−x)y=\log _{2}(-x)y=log2​(−x).

דוגמה 4: ערך מוחלט |log₂x|

שרטטו (תיאורית) את y=∣log⁡2x∣y=|\log _{2}x|y=∣log2​x∣ מתוך y=log⁡2xy=\log _{2}xy=log2​x.

דוגמה 5: שילוב מלא של טרנספורמציות

תארו כיצד מתקבל y=3⋅log⁡(x−1)+4y=3 \cdot \log (x-1)+4y=3⋅log(x−1)+4 מ-y=log⁡(x)y=\log (x)y=log(x), ומצאו את האסימפטוטה.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הזזת האסימפטוטה בכיוון הלא נכון (או אי-הזזתה כלל)

טעות נפוצה: שיקוף כל הגרף בערך מוחלט במקום רק החלק השלילי

טעות נפוצה: בלבול בין −log⁡ax-\log _{a}x−loga​x ל-log⁡a(−x)\log _{a}(-x)loga​(−x)

טעות נפוצה: ביצוע ההזזה האנכית לפני המתיחה

סיכום

תרגול נוסף

תארו את הגרף של $f(x)=\log _{2}(x-1):$ תחום, אסימפטוטה ונקודת חיתוך.

נתון $g(x)=3 \cdot \log (x)+4 ($ בסיס 10). מהי $g(10)$ ומה משמעות המקדמים?

הבחינו בין $y=-\log _{2}x$ ל- $y=\log _{2}(-x)$ .

שרטטו (תיאורית) את $y=|\log _{2}x|$ מתוך $y=\log _{2}x$ .

תארו כיצד מתקבל $y=3 \cdot \log (x-1)+4$ מ- $y=\log (x)$ , ומצאו את האסימפטוטה.

טעות נפוצה: בלבול בין $-\log _{a}x$ ל- $\log _{a}(-x)$