נסמן ב-$S_n$ את סכום n האיברים הראשונים. נכתוב את הסכום פעם אחת מההתחלה ופעם אחת מהסוף, זה מתחת לזה: $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}+a_n$ $S_n=a_n+a_{n-1}+\cdots +a_2+a_1$

נחבר את שתי השורות עמודה-עמודה. כל זוג מצטבר לאותו ערך: $a_1+a_n$. (זה כי כשמתקדמים איבר אחד קדימה בשורה העליונה מוסיפים d, ובשורה התחתונה מורידים d — הסכום נשמר.) יש n עמודות, ולכן: $2S_n=n(a_1+a_n)$

מכאן נוסחת הסכום. שימו לב שהטיעון כללי — הוא תקף לכל n, לא רק למקרה מספרי מסוים.

צורה ראשונה (כשנתון האיבר האחרון $a_n$): $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

צורה שנייה (כשנתונים $a_1$ ו-d אך לא $a_n$): מציבים $a_n=a_1+(n-1)d$ ומקבלים $S_n=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$

שתי הצורות שקולות — בוחרים את זו שמתאימה לנתונים שבידינו.

אם נתונה נוסחה לסכום $S_n$, אפשר לחלץ ממנה איבר בודד: האיבר ה-n הוא ההפרש בין סכום n האיברים לסכום n-1 האיברים: $a_n=S_n-S_{n-1}(n\ge 2)$

לאיבר הראשון מתקיים פשוט $a_1=S_1$. שימו לב: הקשר $a_n=S_n-S_{n-1}$ תקף רק מ-$n\ge 2$, כי $S_0$ אינו מוגדר.