סדרה חשבונית: איבר כללי ותכונות

מבוא

מטרות השיעור

להגדיר סדרה חשבונית כסדרה שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים קבוע
לפתח ולהשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$
לעבור בין כלל נסיגה לנוסחה לפי מקום
לחקור את תכונות הסדרה: עולה / יורדת / קבועה, איברים חיוביים / שליליים, ותכונת הממוצע החשבוני
להוכיח באופן כללי שסדרה היא חשבונית, או להפריך בעזרת דוגמה נגדית

הרעיון המרכזי

הגדרת סדרה חשבונית

סדרה $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ נקראת סדרה חשבונית אם ההפרש בין כל איבר לאיבר שלפניו קבוע. ההפרש הקבוע מסומן ב-d: $a_{n + 1} - a_{n} = d לכל n$

זהו ייצוג הסדרה בכלל נסיגה: $a_{n + 1} = a_{n} + d$ עם איבר ראשון $a_{1}$ נתון.

נוסחת האיבר הכללי (לפי מקום)

כדי להגיע מ- $a_{1}$ אל $a_{n}$ מוסיפים את d בדיוק (n-1) פעמים: $a_{2} = a_{1} + d, a_{3} = a_{1} + 2 d, a_{4} = a_{1} + 3 d, \dots$

ובאופן כללי מתקבלת נוסחת האיבר הכללי: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

שימו לב: המקדם הוא (n-1) ולא n — כי בין האיבר הראשון לאיבר ה-n יש צעד אחד פחות ממספר האיברים. בדיקה: עבור n=1 מתקבל $a_{1} + 0 \cdot d = a_{1}$ .

תכונות הסדרה החשבונית

מונוטוניות לפי הסימן של d: אם d>0 הסדרה עולה, אם d<0 הסדרה יורדת, ואם d=0 הסדרה קבועה.
תכונת הממוצע החשבוני: כל איבר (החל מהשני) הוא הממוצע החשבוני של שני שכניו: $a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}$ . מכאן מגיע השם "סדרה חשבונית".
איברים חיוביים/שליליים: כותבים את $a_{n}$ במפורש ופותרים $a_{n} > 0$ או $a_{n} < 0$ כדי לדעת אילו מקומות נותנים איברים חיוביים ואילו שליליים.

הוכחה כללית מול דוגמה נגדית

כדי להוכיח שסדרה היא חשבונית צריך להראות שההפרש $a_{n + 1} - a_{n}$ יוצא קבוע עבור n כללי — לא להסתפק בבדיקת כמה מקרים פרטיים. כדי להפריך שסדרה היא חשבונית מספיק למצוא דוגמה נגדית אחת: זוג איברים עוקבים שההפרש ביניהם שונה מהפרש אחר בסדרה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת איבר כללי וחישוב איבר רחוק

בסדרה חשבונית $a_{1} = 4$ ו- $d = 3$ . כתבו את $a_{n}$ וחשבו את $a_{20}$ .

a_{20} = a_{1} + 19 d = 4 + 19 \cdot 3 = 61

שלב 1 — מציבים בנוסחה

a_{n} = a_{1} + (n-1)d = 4 + (n-1) \cdot 3

תשובה מספרית

בסדרה חשבונית האיבר הראשון הוא $a_{1}=3$ וההפרש הוא $d=5$ . מהו האיבר העשירי $a_{10}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

איזו מהסדרות הבאות היא סדרה חשבונית?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מציאת d ו-a₁ משני איברים נתונים

בסדרה חשבונית $a_{3} = 10$ ו- $a_{7} = 26$ . מצאו את d, את $a_{1}$ ואת $a_{15}$ .

a_{7} - a_{3} = 4 d \Rightarrow d = 4, a_{15} = 2 + 14 \cdot 4 = 58

שלב 1 — מספר הצעדים בין האיברים

בין

a_{3}

ל-

a_{7}

יש

7 - 3 = 4

צעדים של d, ולכן

a_{7} - a_{3} = 4d

דוגמה 3: הוכחה כללית שסדרה היא חשבונית

נתון $a_{n} = 5n + 2$ . הוכיחו שהסדרה חשבונית ומצאו את d.

a_{n + 1} - a_{n} = (5 (n + 1) + 2) - (5 n + 2) = 5

שלב 1 — כותבים את האיבר העוקב

מציבים

n+1

במקום

n: a_{n+1} = 5(n+1) + 2 = 5n + 7

דוגמה 4: תכונת הממוצע החשבוני

בסדרה חשבונית שלושה איברים עוקבים הם 8, x, 20. מצאו את x.

x = \frac{8 + 20}{2} = 14

שלב 1 — מפעילים את התכונה

כל איבר הוא הממוצע החשבוני של שני שכניו, ולכן האיבר האמצעי x שווה לממוצע של 8 ו-20.

דוגמה 5: דוגמה נגדית — הפרכה

האם הסדרה 1, 3, 5, 6, 7, … היא חשבונית? נמקו.

a_{4} - a_{3} = 1 \neq = 2 = a_{2} - a_{1}

שלב 1 — בודקים הפרשים

a_{2} - a_{1} = 2, a_{3} - a_{2} = 2

— עד כאן ההפרש נראה קבוע.

בדיקה מהירה

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: אם בסדרה מתקיים $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}$ , אז בהכרח מדובר בסדרה חשבונית.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משתמשים ב- $a_{n} = a_{1} + n \cdot d$ במקום $a_{1} + (n-1)d$

טעות: $a_{5} = a_{1} + 5 d$ .

נכון: $a_{5} = a_{1} + 4 d$ — ארבעה צעדים מ- $a_{1}$ ל- $a_{5}$ .

למה זה קורה?

שוכחים שבין האיבר הראשון לאיבר ה-n יש צעד אחד פחות ממספר האיברים.

איך מתקנים?

מספר הצעדים של d הוא

(n-1)

. בדקו תמיד שעבור

n=1

הנוסחה מחזירה את

a_{1}

תשובה קצרה

נתונה סדרה שאיברה הכללי הוא $a_{n}=5n+2$ . כדי להוכיח שהיא סדרה חשבונית מחשבים את ההפרש הכללי $a_{n+1}-a_{n}$ . מהו הביטוי המתקבל (שהוא ההפרש הקבוע d)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: מסיקים שסדרה חשבונית מבדיקת מקרים פרטיים בלבד

טעות: "ראיתי ש- $a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2}$ , אז הסדרה חשבונית."

נכון: ייתכן ש- $1, 3, 5, 6, \dots$ — שני ההפרשים הראשונים שווים אך הסדרה אינה חשבונית. צריך הוכחה כללית.

למה זה קורה?

כמה הפרשים ראשונים שווים יוצרים רושם שהסדרה חשבונית.

איך מתקנים?

הוכחה אמיתית מראה ש-

a_{n+1}-a_{n}

קבוע עבור n כללי. בדיקת מקרים פרטיים אינה הוכחה.

טעות נפוצה: מחשבים את ההפרש d בכיוון ההפוך

טעות: בסדרה $10, 7, 4, \dots$ כותבים $d = 7 - 10 \cdot (- 1) = 3$ ומכריזים שהיא עולה.

נכון: $d = a_{2} - a_{1} = 7 - 10 = - 3 < 0$ — הסדרה יורדת.

למה זה קורה?

מבלבלים בין

a_{n+1}-a_{n}

לבין

a_{n}-a_{n+1}

איך מתקנים?

ההפרש הוא תמיד 'איבר עוקב פחות הקודם

': d = a_{n+1} - a_{n}

. סימן שגוי יהפוך עולה ליורד.

סיכום

מה למדנו?

הסדרה החשבונית:

סדרה חשבונית = הפרש קבוע בין איברים עוקבים: $a_{n + 1} - a_{n} = d$ .
נוסחת האיבר הכללי: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ (שימו לב ל-(n-1)).
תכונות: d>0 עולה, d<0 יורדת, d=0 קבועה; כל איבר הוא הממוצע של שכניו; אפשר למצוא אילו איברים חיוביים/שליליים.
הוכחה כללית: מראים ש- $a_{n + 1} - a_{n}$ קבוע לכל n. הפרכה: מספיקה דוגמה נגדית אחת.

זכרו: בדיקת מקרים פרטיים אינה הוכחה.

בשיעור הבא נלמד לחשב את סכום n האיברים הראשונים של סדרה חשבונית.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על נוסחת האיבר הכללי, על תכונות הסדרה ועל הוכחה כללית והפרכה!

סדרה חשבונית: איבר כללי ותכונות

סדרה חשבונית: איבר כללי ותכונות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת איבר כללי וחישוב איבר רחוק

בסדרה חשבונית a1=4a_{1} = 4a1​=4 ו-d=3d = 3d=3. כתבו את ana_{n}an​ וחשבו את a20a_{20}a20​.

דוגמה 2: מציאת d ו-a₁ משני איברים נתונים

בסדרה חשבונית a3=10a_{3} = 10a3​=10 ו-a7=26a_{7} = 26a7​=26. מצאו את d, את a1a_{1}a1​ ואת a15a_{15}a15​.

דוגמה 3: הוכחה כללית שסדרה היא חשבונית

נתון an=5n+2a_{n} = 5n + 2an​=5n+2. הוכיחו שהסדרה חשבונית ומצאו את d.

דוגמה 4: תכונת הממוצע החשבוני

בסדרה חשבונית שלושה איברים עוקבים הם 8, x, 20. מצאו את x.

דוגמה 5: דוגמה נגדית — הפרכה

האם הסדרה 1, 3, 5, 6, 7, … היא חשבונית? נמקו.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משתמשים ב-an=a1+n⋅da_{n} = a_{1} + n \cdot dan​=a1​+n⋅d במקום a1+(n−1)da_{1} + (n-1)da1​+(n−1)d

טעות נפוצה: מסיקים שסדרה חשבונית מבדיקת מקרים פרטיים בלבד

טעות נפוצה: מחשבים את ההפרש d בכיוון ההפוך

סיכום

תרגול נוסף

בסדרה חשבונית $a_{1} = 4$ ו- $d = 3$ . כתבו את $a_{n}$ וחשבו את $a_{20}$ .

בסדרה חשבונית $a_{3} = 10$ ו- $a_{7} = 26$ . מצאו את d, את $a_{1}$ ואת $a_{15}$ .

נתון $a_{n} = 5n + 2$ . הוכיחו שהסדרה חשבונית ומצאו את d.

טעות נפוצה: משתמשים ב- $a_{n} = a_{1} + n \cdot d$ במקום $a_{1} + (n-1)d$