סכום של סדרה הנדסית סופית

מבוא

מטרות השיעור

להכיר את נוסחת הסכום $S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ ולהבין מאיפה היא באה
לחשב את סכום n האיברים הראשונים בהינתן $a_{1}$ ו-q
למצוא נעלם מתוך סכום נתון (את n, את q או את $a_{1}$ )
לחשב סכום חלקי של איברים באמצע הסדרה בעזרת $S_{n} - S_{m}$
להבין את המקרה המיוחד q=1 ואת הקשר $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$

הרעיון המרכזי

נוסחת הסכום של סדרה הנדסית

סכום n האיברים הראשונים של סדרה הנדסית עם מנה $q \neq = 1$ הוא:

S_{n} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + \dots + a_{1} q^{n - 1} = a_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}

שימו לב להבדל מנוסחת האיבר הכללי: כאן החזקה במונה היא $q^{n}$ (ולא $q^{n - 1}$ ).

כשנוח, אפשר גם בצורה $S_{n} = a_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ — אותה נוסחה בדיוק, מועדפת כש-0<q<1 כדי לעבוד עם מספרים חיוביים.

מאיפה הנוסחה? (טריק ההפרש)

מסמנים $S_{n} = a_{1} + a_{1} q + \dots + a_{1} q^{n - 1}$ וכופלים את כל השוויון ב-q:

q S_{n} = a_{1} q + a_{1} q^{2} + \dots + a_{1} q^{n}

מחסירים את השורה הראשונה מהשנייה — כל האיברים האמצעיים מצטמצמים:

q S_{n} - S_{n} = a_{1} q^{n} - a_{1} \Rightarrow S_{n} (q - 1) = a_{1} (q^{n} - 1)

ומחלקים ב-q-1. (זוהי הצדקה לנוסחה הסופית; היא לגיטימית כאן ואינה דורשת גבולות.)

המקרה $q=1$ והקשר $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$

אם q=1 המכנה מתאפס והנוסחה אינה מוגדרת. אבל אז כל האיברים שווים ל- $a_{1}$ , ולכן פשוט $S_{n} = n \cdot a_{1}$ .

לכל סדרה מתקיים גם הקשר הכללי $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ (עבור $n \geq 2$ ): האיבר ה-n הוא ההפרש בין סכום n האיברים לסכום n-1 האיברים הראשונים. כלי זה שימושי כשנתונה נוסחת סכום ורוצים לחלץ ממנה איבר בודד.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב ישיר של סכום

בסדרה הנדסית $a_{1}=4$ ו- $q=3$ . חשבו את סכום ארבעת האיברים הראשונים $S_{4}$ .

S_{4} = 4 \cdot \frac{3 ^{4} - 1}{3 - 1} = 4 \cdot \frac{80}{2} = 160

שלב 1 — מציבים בנוסחה

S_{4} = a_{1} \cdot \frac{q^{4}-1}{q-1} = 4 \cdot \frac{3^{4}-1}{3-1}

תשובה מספרית

חשבו את הסכום $3 + 6 + 12 + 24 + 48 ($ חמשת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית עם $a_{1}=3, q=2)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בסדרה הנדסית $a_{1}=2$ ו- $q=3$ . חשבו את סכום ארבעת האיברים הראשונים $S_{4}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מציאת מספר האיברים מתוך סכום נתון

בסדרה הנדסית $a_{1}=2$ ו- $q=3$ . כמה איברים יש לחבר כדי שהסכום יהיה 242?

2 \cdot \frac{3 ^{n} - 1}{2} = 242 \Rightarrow 3^{n} = 243 = 3^{5} \Rightarrow n = 5

שלב 1 — מציבים את הסכום

2 \cdot \frac{3^{n}-1}{3-1} = 242

, כלומר

2 \cdot \frac{3^{n}-1}{2} = 242

תשובה מספרית

בסדרה הנדסית $a_{1}=5$ ו- $q=2$ . כמה איברים יש לחבר (החל מהאיבר הראשון) כדי שהסכום יהיה 155?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: סכום חלקי באמצעות הפרש סכומים

בסדרה הנדסית $a_{1}=1$ ו- $q=2$ . חשבו את סכום האיברים מהמקום הרביעי עד השביעי $, a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}$ .

S_{7} - S_{3} = 127 - 7 = 120

שלב 1 — רעיון

הסכום הדרוש הוא

S_{7} - S_{3} (

מורידים את שלושת האיברים הראשונים מסכום שבעת הראשונים).

תשובה מספרית

בסדרה הנדסית $a_{1}=3$ ו- $q=2$ . חשבו את סכום האיברים מהמקום השלישי עד המקום השישי (כולל), כלומר $a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: חילוץ איבר מתוך נוסחת סכום

נתון שסכום n האיברים הראשונים בסדרה הוא $S_{n}=2^{n}-1$ . מצאו את האיבר הרביעי $a_{4}$ והראו שהסדרה הנדסית.

a_{4} = S_{4} - S_{3} = 15 - 7 = 8, a_{n} = 2^{n} - 2^{n - 1} = 2^{n - 1}

שלב 1 — משתמשים בקשר

a_{n} = S_{n} - S_{n-1}

עבור

n \ge 2

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שימוש בנוסחת הסכום החשבונית

טעות: עבור 3,6,12,24,48 מחשבים $5 \cdot (3 + 48) /2 = 127.5$ .

נכון: $S_{5} = 3 \cdot \frac{2 ^{5} - 1}{2 - 1} = 93$ .

למה זה קורה?

מערבבים בין סדרה חשבונית להנדסית.

איך מתקנים?

לסדרה הנדסית יש נוסחת סכום משלה:

S_{n}=a_{1} \cdot \frac{q^{n}-1}{q-1}

. הנוסחה

n \cdot \frac{a_{1}+a_{n}}{2}

שייכת לסדרה חשבונית בלבד.

טעות נפוצה: החזקה $q^{n-1}$ בנוסחת הסכום

טעות: $S_{4} = a_{1} \frac{q ^{3} - 1}{q - 1}$ עבור ארבעה איברים.

נכון: $S_{4} = a_{1} \frac{q ^{4} - 1}{q - 1}$ .

למה זה קורה?

מעתיקים את החזקה מנוסחת האיבר הכללי

a_{n}=a_{1} \cdot q^{n-1}

איך מתקנים?

בנוסחת הסכום החזקה היא

q^{n} (

לפי מספר האיברים), לא

q^{n-1}

טעות נפוצה: שימוש בנוסחה כאשר $q=1$

טעות: עבור 7,7,7,7 מנסים $7 \cdot \frac{1 ^{4} - 1}{1 - 1}$ — מכנה אפס.

נכון: $S_{4} = 4 \cdot 7 = 28$ .

למה זה קורה?

מציבים

q=1

ומקבלים חלוקה באפס.

איך מתקנים?

כאשר

q=1

כל האיברים שווים, ולכן

S_{n}=n \cdot a_{1} (

אין צורך בנוסחת המנה).

טעות נפוצה: חישוב סכום חלקי מההתחלה

טעות: עבור $a_{3} + \dots + a_{6}$ מחשבים $S_{6}$ בלבד.

נכון: $a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = S_{6} - S_{2}$ .

למה זה קורה?

מתעלמים מכך שהסכום מתחיל מאיבר אמצעי.

איך מתקנים?

סכום מהמקום

m+1

עד n שווה

S_{n}-S_{m}

— מורידים את m האיברים הראשונים.

סיכום

מה למדנו?

סכום סדרה הנדסית סופית:

הנוסחה: $S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ עבור $q \neq = 1$ (החזקה $q^{n}$ !).
מקרה מיוחד q=1: $S_{n} = n \cdot a_{1}$ .
סכום חלקי: $a_{m + 1} + \dots + a_{n} = S_{n} - S_{m}$ .
חילוץ איבר מסכום: $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ .

זכרו:

אל תשתמשו בנוסחה החשבונית עבור סדרה הנדסית.
את n מוצאים בדרך כלל מהשוואת $q^{n}$ לחזקה מוכרת.

בשיעור הבא נראה מה קורה כשמספר האיברים אינסופי והמנה קטנה מ-1 בערכה המוחלט — הטור ההנדסי האינסופי המתכנס.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על נוסחת הסכום, מציאת נעלמים וסכומים חלקיים!

סכום של סדרה הנדסית סופית

סכום של סדרה הנדסית סופית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב ישיר של סכום

בסדרה הנדסית a1=4a_{1}=4a1​=4 ו-q=3q=3q=3. חשבו את סכום ארבעת האיברים הראשונים S4S_{4}S4​.

דוגמה 2: מציאת מספר האיברים מתוך סכום נתון

בסדרה הנדסית a1=2a_{1}=2a1​=2 ו-q=3q=3q=3. כמה איברים יש לחבר כדי שהסכום יהיה 242?

דוגמה 3: סכום חלקי באמצעות הפרש סכומים

בסדרה הנדסית a1=1a_{1}=1a1​=1 ו-q=2q=2q=2. חשבו את סכום האיברים מהמקום הרביעי עד השביעי,a4+a5+a6+a7, a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7},a4​+a5​+a6​+a7​.

דוגמה 4: חילוץ איבר מתוך נוסחת סכום

נתון שסכום n האיברים הראשונים בסדרה הוא Sn=2n−1S_{n}=2^{n}-1Sn​=2n−1. מצאו את האיבר הרביעי a4a_{4}a4​ והראו שהסדרה הנדסית.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שימוש בנוסחת הסכום החשבונית

טעות נפוצה: החזקה qn−1q^{n-1}qn−1 בנוסחת הסכום

טעות נפוצה: שימוש בנוסחה כאשר q=1q=1q=1

טעות נפוצה: חישוב סכום חלקי מההתחלה

סיכום

תרגול נוסף

בסדרה הנדסית $a_{1}=4$ ו- $q=3$ . חשבו את סכום ארבעת האיברים הראשונים $S_{4}$ .

בסדרה הנדסית $a_{1}=2$ ו- $q=3$ . כמה איברים יש לחבר כדי שהסכום יהיה 242?

בסדרה הנדסית $a_{1}=1$ ו- $q=2$ . חשבו את סכום האיברים מהמקום הרביעי עד השביעי $, a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}$ .

נתון שסכום n האיברים הראשונים בסדרה הוא $S_{n}=2^{n}-1$ . מצאו את האיבר הרביעי $a_{4}$ והראו שהסדרה הנדסית.

טעות נפוצה: החזקה $q^{n-1}$ בנוסחת הסכום

טעות נפוצה: שימוש בנוסחה כאשר $q=1$