סדרה הנדסית: איבר כללי ותכונות

מבוא

מטרות השיעור

להבין מהי סדרה הנדסית ומהי המנה q
לעבור בין כלל הנסיגה $a_{n + 1} = a_{n} \cdot q$ לבין נוסחת האיבר הכללי $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$
לחשב איבר נתון, את המנה ואת האיבר הראשון מתוך נתונים חלקיים
להכיר את תכונת הממוצע ההנדסי: כל איבר הוא הממוצע ההנדסי של שכניו
לאפיין סדרה כעולה / יורדת / קבועה / מתחלפת-סימן לפי המנה q

הרעיון המרכזי

הגדרת הסדרה ההנדסית

סדרה הנדסית היא סדרה שבה היחס בין כל איבר לאיבר שלפניו קבוע. את היחס הקבוע מסמנים באות q וקוראים לו המנה של הסדרה:

q = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} (קבוע לכל n)

מכאן כלל הנסיגה: $a_{n + 1} = a_{n} \cdot q$ , כאשר $a_{1} \neq = 0$ ו- $q \neq = 0$ .

כדי לקבל את האיבר ה-n מתוך האיבר הראשון כופלים ב-q בדיוק n-1 פעמים, ולכן מתקבלת נוסחת האיבר הכללי:

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

שימו לב: החזקה היא n-1 ולא n — האיבר הראשון מתאים ל- $q^{0} = 1$ .

חשבונית מול הנדסית — אל תתבלבלו

בסדרה חשבונית ההפרש בין איברים עוקבים קבוע ( $a_{n + 1} - a_{n} = d$ ), ולכן הגרף הבדיד יושב על קו ישר. בסדרה הנדסית היחס בין איברים עוקבים קבוע ( $a_{n + 1} / a_{n} = q$ ), ולכן הגרף הבדיד יושב על עקומה מעריכית. כדי לזהות סדרה הנדסית בודקים יחס — לא הפרש.

תכונת הממוצע ההנדסי

מכיוון ש- $\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = q$ , מקבלים $a_{n}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}$ . כלומר כל איבר (החל מהשני) הוא הממוצע ההנדסי של שני שכניו:

a_{n} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1} (עבור איברים חיוביים)

מכאן גם השם "סדרה הנדסית". זהו כלי נוח לבדיקה אם שלושה מספרים הם איברים עוקבים בסדרה הנדסית.

סוג הסדרה לפי המנה q

q>1 ו- $a_{1} > 0$ : הסדרה עולה (לדוגמה $2, 6, 18, \dots$ ).
0<q<1 ו- $a_{1} > 0$ : הסדרה יורדת ומתקרבת לאפס (לדוגמה $16, 8, 4, \dots$ ).
q=1: הסדרה קבועה (כל האיברים שווים).
q<0: הסדרה מתחלפת-סימן — איברים לסירוגין חיוביים ושליליים, והיא לעולם אינה מונוטונית.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: איבר כללי ואיבר מבוקש

בסדרה הנדסית $a_{1}=5$ ו- $q=2$ . כתבו את נוסחת האיבר הכללי וחשבו את $a_{6}$ .

a_{n} = 5 \cdot 2^{n - 1}, a_{6} = 5 \cdot 2^{5} = 160

שלב 1 — נוסחת האיבר הכללי

מציבים בנוסחה

a_{n}=a_{1} \cdot q^{n-1}:

כאן

a_{n}=5 \cdot 2^{n-1}

בדיקה מהירה

איזו מהסדרות הבאות היא סדרה הנדסית?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהי נוסחת האיבר הכללי $a_{n}$ של הסדרה ההנדסית 4, 12, 36, 108, ... ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מציאת המנה מתוך שני איברים לא-עוקבים

בסדרה הנדסית $a_{2}=6$ ו- $a_{5}=48$ . מצאו את המנה q ואת האיבר הראשון $a_{1}$ .

q^{3} = \frac{a _{5}}{a _{2}} = \frac{48}{6} = 8 \Rightarrow q = 2, a_{1} = \frac{a _{2}}{q} = 3

שלב 1 — יחס בין שני האיברים

a_{5} = a_{2} \cdot q^{3} (

כי מ-

a_{2}

ל-

a_{5}

מתקדמים שלושה צעדים). לכן

q^{3} = \frac{a_{5}}{a_{2}} = \frac{48}{6} = 8

דוגמה 3: ממוצע הנדסי — שלושה איברים עוקבים

המספרים 5, x, 20 הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית, ו-x חיובי. מצאו את x.

x^{2} = 5 \cdot 20 = 100 \Rightarrow x = 10

(אילו לא הייתה הגבלה ש-x חיובי, היה גם פתרון x=-10 עם מנה q=-2.)

שלב 1 — תכונת הממוצע ההנדסי

האיבר האמצעי מקיים

x^{2} = 5 \cdot 20 = 100

תשובה מספרית

שלושת המספרים 4, x, 9 הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית, ו-x חיובי. מצאו את x (הממוצע ההנדסי של 4 ו-9).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: סדרה מתחלפת-סימן

נתונה הסדרה ההנדסית 1, −3, 9, −27, ... . מצאו את המנה ואת האיבר השביעי, וקבעו את סוג הסדרה.

a_{7} = 1 \cdot (- 3)^{6} = 729

החזקה $(- 3)^{6}$ חיובית כי המעריך זוגי; באיברים במקומות הזוגיים החזקה אי-זוגית והתוצאה שלילית.

שלב 1 — המנה

q = \frac{a_{2}}{a_{1}} = -\frac{3}{1} = -3

. בדיקה:

\frac{a_{3}}{a_{2}} = \frac{9}{-3} = -3 ✓

בדיקה מהירה

נכון או לא נכון

נתונה הסדרה ההנדסית 2, −6, 18, −54, ... . נכון או לא נכון: המנה של הסדרה היא $q=-3$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בודקים הפרש קבוע במקום יחס קבוע

טעות: בסדרה 2,6,18 מסיקים "לא הנדסית" כי $6 - 2 \neq = 18 - 6$ .

נכון: בודקים יחס: 6/2=3 ו-18/6=3 — יחס קבוע, ולכן הסדרה כן הנדסית.

למה זה קורה?

מבלבלים בין סדרה הנדסית לסדרה חשבונית.

איך מתקנים?

בסדרה הנדסית בודקים אם היחס

\frac{a_{n+1}}{a_{n}}

קבוע, לא אם ההפרש

a_{n+1}-a_{n}

קבוע.

טעות נפוצה: כותבים $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n}$ במקום $a_{1} \cdot q^{n-1}$

טעות: עבור $a_{1} = 5, q = 2$ כותבים $a_{3} = 5 \cdot 2^{3} = 40$ .

נכון: $a_{3} = 5 \cdot 2^{2} = 20$ (הסדרה 5,10,20).

למה זה קורה?

שוכחים שהאיבר הראשון מתקבל ב-

q^{0}=1

, כך שמספר ההכפלות במנה הוא

n-1

איך מתקנים?

ספרו צעדים: מהאיבר הראשון אל ה-n-י יש

n-1

הכפלות במנה, ולכן החזקה היא

n-1

טעות נפוצה: מחשבים את המנה הפוך: $\frac{a_{1}}{a_{2}}$

טעות: בסדרה 3,6,12 כותבים q=3/6=0.5.

נכון: q=6/3=2 — מחלקים את האיבר המאוחר במוקדם.

למה זה קורה?

לא ברור איזה איבר מחלקים באיזה.

איך מתקנים?

המנה היא האיבר המאוחר חלקי המוקדם:

q = \frac{a_{n+1}}{a_{n}}

טעות נפוצה: חושבים שמנה שלילית פירושה סדרה יורדת

טעות: עבור 3,-6,12,-24 מסיקים שהסדרה יורדת.

נכון: הסדרה מתחלפת-סימן; הערכים המוחלטים דווקא גדלים.

למה זה קורה?

מזהים 'שלילי' עם 'יורד'.

איך מתקנים?

מנה שלילית גורמת להתחלפות סימן (+,−,+,−), והסדרה אינה מונוטונית כלל — לא עולה ולא יורדת.

סיכום

מה למדנו?

סדרה הנדסית:

יחס קבוע בין איברים עוקבים — המנה $q = a_{n + 1} / a_{n}$ .
כלל הנסיגה: $a_{n + 1} = a_{n} \cdot q$ ; נוסחת האיבר הכללי: $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ .
תכונת הממוצע ההנדסי: $a_{n}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}$ .
סוג הסדרה לפי q: q>1 עולה, 0<q<1 יורדת, q=1 קבועה, q<0 מתחלפת-סימן.

זכרו:

בודקים יחס, לא הפרש.
החזקה בנוסחה היא n-1.

בשיעור הבא נלמד לחשב את סכום n האיברים הראשונים של סדרה הנדסית.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על זיהוי סדרה הנדסית, נוסחת האיבר הכללי ותכונותיה!

סדרה הנדסית: איבר כללי ותכונות

סדרה הנדסית: איבר כללי ותכונות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: איבר כללי ואיבר מבוקש

בסדרה הנדסית a1=5a_{1}=5a1​=5 ו-q=2q=2q=2. כתבו את נוסחת האיבר הכללי וחשבו את a6a_{6}a6​.

דוגמה 2: מציאת המנה מתוך שני איברים לא-עוקבים

בסדרה הנדסית a2=6a_{2}=6a2​=6 ו-a5=48a_{5}=48a5​=48. מצאו את המנה q ואת האיבר הראשון a1a_{1}a1​.

דוגמה 3: ממוצע הנדסי — שלושה איברים עוקבים

המספרים 5, x, 20 הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית, ו-x חיובי. מצאו את x.

דוגמה 4: סדרה מתחלפת-סימן

נתונה הסדרה ההנדסית 1, −3, 9, −27, ... . מצאו את המנה ואת האיבר השביעי, וקבעו את סוג הסדרה.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בודקים הפרש קבוע במקום יחס קבוע

טעות נפוצה: כותבים an=a1⋅qna_{n} = a_{1} \cdot q^{n}an​=a1​⋅qn במקום a1⋅qn−1a_{1} \cdot q^{n-1}a1​⋅qn−1

טעות נפוצה: מחשבים את המנה הפוך: a1a2\frac{a_{1}}{a_{2}}a2​a1​​

טעות נפוצה: חושבים שמנה שלילית פירושה סדרה יורדת

סיכום

תרגול נוסף

בסדרה הנדסית $a_{1}=5$ ו- $q=2$ . כתבו את נוסחת האיבר הכללי וחשבו את $a_{6}$ .

בסדרה הנדסית $a_{2}=6$ ו- $a_{5}=48$ . מצאו את המנה q ואת האיבר הראשון $a_{1}$ .

טעות נפוצה: כותבים $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n}$ במקום $a_{1} \cdot q^{n-1}$

טעות נפוצה: מחשבים את המנה הפוך: $\frac{a_{1}}{a_{2}}$