טור הנדסי אינסופי מתכנס

מבוא

מטרות השיעור

להבין מתי חיבור אינסוף איברים של סדרה הנדסית נותן תוצאה סופית
להכיר את תנאי ההתכנסות -1<q<1
ליישם את נוסחת הסכום של טור אינסופי מתכנס: $S = \frac{a _{1}}{1 - q}$
לטפל נכון במנה שלילית (סימן במכנה) ולמצוא נעלם מתוך סכום נתון
להבחין בין טור מתכנס לטור מתבדר

הרעיון המרכזי

חיבור אינסוף איברים — האם זה אפשרי?

נתבונן בטור $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ . הסכומים החלקיים הם:

1, 1.5, 1.75, 1.875, 1.9375, \dots

הם מתקרבים והולכים ל-2 ולעולם לא חוצים אותו. כשהמנה קטנה מ-1 בערכה המוחלט, כל איבר חדש קטן בהרבה מקודמו, התוספת לסכום נעשית זניחה, והסכום מתייצב על ערך סופי. במצב כזה אומרים שהטור מתכנס, והערך שאליו מתייצב הסכום נקרא סכום הטור.

נוסחת הסכום של טור הנדסי אינסופי מתכנס

אם המנה מקיימת -1<q<1 (כלומר |q|<1) וגם $q \neq = 0$ , אז הטור ההנדסי האינסופי $a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + \dots$ מתכנס, וסכומו:

S = \frac{a _{1}}{1 - q}

הערה חשובה (היקף 4 יח"ל): בנוסחה זו משתמשים ללא הוכחה וללא שימוש בגבולות. די להבין באופן איכותי שכאשר |q|<1 האיברים הולכים וקטנים והסכום מתייצב — ואז מציבים בנוסחה.

מתכנס מול מתבדר — תמיד בודקים את q

אם |q|<1 (למשל $q = \frac{1}{2}$ או $q = - \frac{1}{3}$ ): הטור מתכנס, ויש סכום סופי.
אם $∣ q ∣ \geq 1$ (למשל q=2, q=1 או q=-1): הטור מתבדר, ואין סכום סופי — אסור להציב בנוסחה.

לפני כל חישוב מוצאים את q ובודקים את התנאי. הקובע הוא היחס q, לא רק העובדה שהאיברים "נראים קטנים".

זהירות עם מנה שלילית

כאשר q שלילי, המכנה הופך לחיבור: 1-q=1-(-|q|)=1+|q|. לדוגמה, עבור $q = - \frac{1}{3}$ מקבלים $1 - q = \frac{4}{3}$ , ולא $\frac{2}{3}$ . טעות סימן כאן היא מהשכיחות ביותר.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סכום אינסופי בסיסי

חשבו את סכום הטור ההנדסי האינסופי $18 + 6 + 2 + \frac{2}{3} +$ ...

S = \frac{18}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{2}{3}} = 27

שלב 1 — מוצאים את המנה

q = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}

. בדיקת תנאי:

-1 < \frac{1}{3} < 1 ✓

, הטור מתכנס.

בדיקה מהירה

מתי לטור הנדסי אינסופי $a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+$ ... יש סכום סופי (הטור מתכנס)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו את סכום הטור ההנדסי האינסופי שבו $a_{1}=8$ והמנה $q=\frac{1}{2}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מנה שלילית — שמירה על הסימן

חשבו את סכום הטור ההנדסי האינסופי $8 - 4 + 2 - 1 +$ ...

S = \frac{8}{1 - ( - \frac{1}{2} )} = \frac{8}{\frac{3}{2}} = \frac{16}{3}

שלב 1 — המנה

q = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}

. בדיקת תנאי:

-1 < -\frac{1}{2} < 1 ✓

, הטור מתכנס.

דוגמה 3: מציאת נעלם מתוך סכום אינסופי

סכום של טור הנדסי אינסופי הוא 24, והמנה היא $q=\frac{2}{3}$ . מצאו את האיבר הראשון $a_{1}$ .

24 = \frac{a _{1}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{a _{1}}{\frac{1}{3}} \Rightarrow a_{1} = 8

שלב 1 — מציבים בנוסחה

S = \frac{a_{1}}{1-q} ⟸ 24 = \frac{a_{1}}{1-\frac{2}{3}} = \frac{a_{1}}{\frac{1}{3}}

תשובה מספרית

בטור הנדסי אינסופי, סכום האיבר הראשון והאיבר החמישי הוא 5,440, והאיבר הראשון גדול פי 8 מהאיבר הרביעי. מצאו את סכום הטור (המנה חיובית).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שבר עשרוני מחזורי כטור אינסופי

הביעו את השבר המחזורי 0.272727... כשבר פשוט.

0. \overline{27} = \frac{0.27}{1 - 0.01} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}

כל שבר עשרוני מחזורי הוא סכום של טור הנדסי אינסופי, ולכן שווה למספר רציונלי.

שלב 1 — כותבים כטור

0.27 + 0.0027 + 0.000027 +

... — טור הנדסי עם

a_{1}=0.27

ו-

q=0.01

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

חשבו את סכום הטור ההנדסי האינסופי שבו $a_{1}=12$ והמנה $q=\frac{1}{3}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מציבים בנוסחה גם כש- $|q| \ge 1$

טעות: לטור $2 + 4 + 8 + \dots$ (q=2) "מחשבים" S=2/(1-2)=-2 — שטות, סכום של מספרים חיוביים אינו שלילי.

נכון: $q = 2 \geq 1$ ⟸ הטור מתבדר, אין סכום סופי.

למה זה קורה?

מתעלמים מתנאי ההתכנסות ומחשבים סכום לטור מתבדר.

איך מתקנים?

לפני כל חישוב בודקים

-1<q<1

. אם התנאי לא מתקיים — אין סכום סופי.

טעות נפוצה: משאירים $q^{n}$ בנוסחה האינסופית

טעות: $S = a_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ עבור טור אינסופי.

נכון: $S = \frac{a _{1}}{1 - q}$ (כי כאשר |q|<1 התרומה של החזקה הולכת ונעלמת).

למה זה קורה?

מבלבלים בין הסכום הסופי לסכום האינסופי.

איך מתקנים?

בטור אינסופי מתכנס אין חזקה:

S=\frac{a_{1}}{1-q}

. הנוסחה עם

q^{n}

היא לסכום של n איברים בלבד.

טעות נפוצה: טעות סימן במכנה כש-q שלילי

טעות: עבור $q = - \frac{1}{2}$ כותבים $1 - q = \frac{1}{2}$ .

נכון: $1 - q = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ .

למה זה קורה?

כותבים

1-q

כאילו q חיובי.

איך מתקנים?

הציבו את הערך עם הסימן:

1-(-|q|)=1+|q|

טעות נפוצה: חושבים שכל טור עם איברים קטֵנים מתכנס

טעות: מניחים שטור כלשהו "מתכנס כי האיברים קטנים".

נכון: מחשבים את q ובודקים -1<q<1 — זהו התנאי הקובע עבור טור הנדסי.

למה זה קורה?

מסתכלים על גודל האיברים במקום על היחס q.

איך מתקנים?

הקובע הוא היחס q בין איברים עוקבים, ולא רק העובדה שהאיברים נראים קטנים.

סיכום

מה למדנו?

טור הנדסי אינסופי מתכנס:

תנאי התכנסות: -1<q<1 (ו- $q \neq = 0$ ).
נוסחת הסכום: $S = \frac{a _{1}}{1 - q}$ — ללא הוכחה וללא גבולות.
אם $∣ q ∣ \geq 1$ — הטור מתבדר, אין סכום סופי.
מנה שלילית: 1-q=1+|q|.

זכרו:

תמיד בדקו את q לפני ההצבה.
בנוסחה האינסופית אין חזקה $q^{n}$ .

בשיעור הבא נשלב סדרה חשבונית וסדרה הנדסית באותה שאלה — כולל שימוש בטור האינסופי בהקשרים גאומטריים ויישומיים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על תנאי ההתכנסות, נוסחת הסכום האינסופי ושברים עשרוניים מחזוריים!

טור הנדסי אינסופי מתכנס

טור הנדסי אינסופי מתכנס

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סכום אינסופי בסיסי

חשבו את סכום הטור ההנדסי האינסופי 18+6+2+23+18 + 6 + 2 + \frac{2}{3} +18+6+2+32​+...

דוגמה 2: מנה שלילית — שמירה על הסימן

חשבו את סכום הטור ההנדסי האינסופי 8−4+2−1+8 - 4 + 2 - 1 +8−4+2−1+...

דוגמה 3: מציאת נעלם מתוך סכום אינסופי

סכום של טור הנדסי אינסופי הוא 24, והמנה היא q=23q=\frac{2}{3}q=32​. מצאו את האיבר הראשון a1a_{1}a1​.

דוגמה 4: שבר עשרוני מחזורי כטור אינסופי

הביעו את השבר המחזורי 0.272727... כשבר פשוט.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מציבים בנוסחה גם כש-∣q∣≥1|q| \ge 1∣q∣≥1

טעות נפוצה: משאירים qnq^{n}qn בנוסחה האינסופית

טעות נפוצה: טעות סימן במכנה כש-q שלילי

טעות נפוצה: חושבים שכל טור עם איברים קטֵנים מתכנס

סיכום

תרגול נוסף

חשבו את סכום הטור ההנדסי האינסופי $18 + 6 + 2 + \frac{2}{3} +$ ...

חשבו את סכום הטור ההנדסי האינסופי $8 - 4 + 2 - 1 +$ ...

סכום של טור הנדסי אינסופי הוא 24, והמנה היא $q=\frac{2}{3}$ . מצאו את האיבר הראשון $a_{1}$ .

טעות נפוצה: מציבים בנוסחה גם כש- $|q| \ge 1$

טעות נפוצה: משאירים $q^{n}$ בנוסחה האינסופית