מכפלה סקלרית בגישה אלגברית

מבוא

מטרות השיעור

לחשב מכפלה סקלרית בהצגה אלגברית: $u \cdot v = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$
להבין שתוצאת המכפלה הסקלרית היא מספר (סקלר), לא וקטור
לחשב את הזווית בין שני וקטורים דרך $cos α = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣ ∣ v ∣}$
לקבוע ניצבות: שני וקטורים מאונכים אם ורק אם $u \cdot v = 0$
לזהות זווית חדה / קהה לפי סימן המכפלה הסקלרית

הרעיון המרכזי

הגדרת המכפלה הסקלרית בהצגה אלגברית

המכפלה הסקלרית של $u = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ ו- $v = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ היא סכום מכפלות הרכיבים המתאימים: $u \cdot v = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$

התוצאה היא מספר ממשי (סקלר), לא וקטור. בפרט, המכפלה הסקלרית של וקטור בעצמו נותנת את ריבוע אורכו: $u \cdot u = x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2} = ∣ u ∣^{2}$

הקשר הגאומטרי והזווית בין וקטורים

מהגישה הגאומטרית ידוע $u \cdot v = ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos α$ , כאשר $α$ היא הזווית בין הווקטורים. מכאן מבודדים את הזווית: $cos α = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣ ∣ v ∣}$

חשוב לחלק במכפלת שני האורכים — לא במכפלה הסקלרית לבד.

סימן המכפלה וסוג הזווית

מכיוון ש- $∣ u ∣, ∣ v ∣ > 0$ , סימן המכפלה הסקלרית הוא סימן $cos α$ :

$u \cdot v > 0$ ⟸ זווית חדה ( $0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$ )
$u \cdot v = 0$ ⟸ זווית ישרה — הווקטורים מאונכים
$u \cdot v < 0$ ⟸ זווית קהה ( $9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ )

תנאי הניצבות

שני וקטורים (שונים מאפס) מאונכים זה לזה אם ורק אם המכפלה הסקלרית שלהם שווה לאפס: $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$

זהו הכלי המרכזי להוכחות ניצבות בהצגה אלגברית: די להראות שסכום מכפלות הרכיבים מתאפס.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב מכפלה סקלרית

נתון $u⃗=(2,-1,3), v⃗=(4,0,-2)$ . חשבו את $u⃗ \cdot v⃗$ .

u \cdot v = 2 \cdot 4 + (- 1) \cdot 0 + 3 \cdot (- 2) = 8 - 6 = 2

שלב 1 — הנוסחה

u⃗ \cdot v⃗ = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}

— סכום מכפלות הרכיבים המתאימים.

דוגמה 2: בדיקת ניצבות

האם הווקטורים $u⃗=(1,2,2)$ ו- $v⃗=(2,-2,1)$ מאונכים?

u \cdot v = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (- 2) + 2 \cdot 1 = 0 \Rightarrow u ⊥ v

שלב 1 — מחשבים מכפלה סקלרית

u⃗ \cdot v⃗ = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 2 - 4 + 2

דוגמה 3: הזווית בין שני וקטורים

חשבו את הזווית בין $u⃗=(1,0,1)$ ל- $v⃗=(0,1,1)$ .

cos α = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \Rightarrow α = 6 0^{\circ}

שלב 1 — מכפלה סקלרית

u⃗ \cdot v⃗ = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1

דוגמה 4: זווית קהה (סימן שלילי)

חשבו את הזווית בין $u⃗=(1,0,0)$ ל- $v⃗=(-1,1,0)$ .

cos α = \frac{- 1}{1 \cdot 2} = - \frac{1}{2} \Rightarrow α = 13 5^{\circ}

שלב 1 — מכפלה סקלרית

u⃗ \cdot v⃗ = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = -1

. הסימן שלילי ⟸ זווית קהה.

דוגמה 5: זווית במשולש לפי קודקודים

במשולש ABC נתון $A(1,1,0), B(3,1,0), C(1,1,4)$ . חשבו את הזווית BAC (בקודקוד A).

A B \cdot A C = 0 \Rightarrow ∠ B A C = 9 0^{\circ}

שלב 1 — וקטורי הצלעות מ-A

AB⃗ = B-A = (2,0,0) ; AC⃗ = C-A = (0,0,4)

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

נתונים הווקטורים $u⃗=(2,-1,3)$ ו- $v⃗=(4,0,-2)$ . חשבו את המכפלה הסקלרית $u⃗ \cdot v⃗$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: תוצאת המכפלה הסקלרית של שני וקטורים היא מספר (סקלר), ולא וקטור.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו את גודל הזווית (במעלות) בין הווקטורים $u⃗=(1,0,1)$ ו- $v⃗=(0,1,1)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שהמכפלה הסקלרית היא וקטור

$(2, - 1, 3) \cdot (4, 0, - 2) = 2$ — מספר אחד, לא שלשה.

למה זה קורה?

בלבול עם פעולות שמחזירות וקטור (חיבור, כפל בסקלר).

איך מתקנים?

המכפלה הסקלרית מחזירה מספר אחד:

u \cdot v = x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}

. אין לה רכיבים.

טעות נפוצה: שוכחים לחלק במכפלת האורכים בחישוב זווית

טעות: מ- $u \cdot v = 1$ להסיק מיד זווית. נכון: $cos α = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \Rightarrow 6 0^{\circ}$ .

למה זה קורה?

זוכרים את

u \cdot v

אבל לא את הצמצום ל-

\cos \alpha

איך מתקנים?

\cos \alpha = \frac{u \cdot v}{|u| \cdot |v|}

. חייבים לחלק במכפלת שני האורכים לפני

\arccos

טעות נפוצה: מסיקים ניצבות ממכפלה שלילית

$u \cdot v < 0 \Rightarrow$ קהה; $u \cdot v = 0 \Rightarrow 9 0^{\circ}$ .

למה זה קורה?

חושבים שכל מכפלה שאינה חיובית מעידה על ניצבות.

איך מתקנים?

ניצבות אך ורק כאשר

u \cdot v = 0

. מכפלה שלילית פירושה זווית קהה, לא זווית ישרה.

סיכום

מה למדנו?

המכפלה הסקלרית בהצגה אלגברית:

הגדרה: $u \cdot v = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$ — התוצאה מספר (סקלר).
$u \cdot u = ∣ u ∣^{2}$ .
זווית: $cos α = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣ ∣ v ∣}$ — מחלקים במכפלת שני האורכים.
ניצבות: $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$ ; הסימן קובע חדה/קהה.

זכרו: מכפלה סקלרית = מספר; לזווית מחלקים באורכים; אפס = ניצבות, שלילי = קהה.

בשיעור הבא נשלב את שתי הגישות — גאומטרית ואלגברית — בשאלות וקטור מורכבות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב מכפלה סקלרית, מציאת זוויות בין וקטורים והוכחות ניצבות במרחב!

מכפלה סקלרית בגישה אלגברית

מכפלה סקלרית בגישה אלגברית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב מכפלה סקלרית

נתון u⃗=(2,−1,3),v⃗=(4,0,−2)u⃗=(2,-1,3), v⃗=(4,0,-2)u⃗=(2,−1,3),v⃗=(4,0,−2). חשבו את u⃗⋅v⃗u⃗ \cdot v⃗u⃗⋅v⃗.

דוגמה 2: בדיקת ניצבות

האם הווקטורים u⃗=(1,2,2)u⃗=(1,2,2)u⃗=(1,2,2) ו-v⃗=(2,−2,1)v⃗=(2,-2,1)v⃗=(2,−2,1) מאונכים?

דוגמה 3: הזווית בין שני וקטורים

חשבו את הזווית בין u⃗=(1,0,1)u⃗=(1,0,1)u⃗=(1,0,1) ל-v⃗=(0,1,1)v⃗=(0,1,1)v⃗=(0,1,1).

דוגמה 4: זווית קהה (סימן שלילי)

חשבו את הזווית בין u⃗=(1,0,0)u⃗=(1,0,0)u⃗=(1,0,0) ל-v⃗=(−1,1,0)v⃗=(-1,1,0)v⃗=(−1,1,0).

דוגמה 5: זווית במשולש לפי קודקודים

במשולש ABC נתון A(1,1,0),B(3,1,0),C(1,1,4)A(1,1,0), B(3,1,0), C(1,1,4)A(1,1,0),B(3,1,0),C(1,1,4). חשבו את הזווית BAC (בקודקוד A).

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שהמכפלה הסקלרית היא וקטור

טעות נפוצה: שוכחים לחלק במכפלת האורכים בחישוב זווית

טעות נפוצה: מסיקים ניצבות ממכפלה שלילית

סיכום

תרגול נוסף

נתון $u⃗=(2,-1,3), v⃗=(4,0,-2)$ . חשבו את $u⃗ \cdot v⃗$ .

האם הווקטורים $u⃗=(1,2,2)$ ו- $v⃗=(2,-2,1)$ מאונכים?

חשבו את הזווית בין $u⃗=(1,0,1)$ ל- $v⃗=(0,1,1)$ .

חשבו את הזווית בין $u⃗=(1,0,0)$ ל- $v⃗=(-1,1,0)$ .

במשולש ABC נתון $A(1,1,0), B(3,1,0), C(1,1,4)$ . חשבו את הזווית BAC (בקודקוד A).