פעולות בווקטורים בהצגה אלגברית

מבוא

מטרות השיעור

לבצע חיבור וחיסור של וקטורים רכיב-רכיב
לבצע כפל בסקלר של וקטור (הכפלת כל הרכיבים)
לחשב אורך וקטור במרחב בעזרת $∣ u ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$
לחשב צירופים לינאריים של וקטורים, למשל $2 u - 3 v$
לקבוע מתי שני וקטורים קולינאריים (מקבילים) לפי יחס רכיבים קבוע

הרעיון המרכזי

חיבור, חיסור וכפל בסקלר ברכיבים

הפעולות על וקטורים בהצגה אלגברית מתבצעות רכיב מול רכיב. בהינתן $u = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ ו- $v = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ וסקלר t:

חיבור: $u + v = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}, z_{1} + z_{2})$

חיסור: $u - v = (x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2}, z_{1} - z_{2})$

כפל בסקלר: $t u = (t x_{1}, t y_{1}, t z_{1})$ — מכפילים את כל הרכיבים.

אורך וקטור (נורמה)

אורך הווקטור $u = (x, y, z)$ הוא המרחק מהראשית אל קצהו, ולפי נוסחת המרחק במרחב: $∣ u ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$

בפרט, אורך הקטע בין שתי נקודות A,B שווה לאורך הווקטור $A B = B - A$ : $∣ A B ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}$

קולינאריות בהצגה אלגברית

שני וקטורים (שונים מאפס) הם קולינאריים (על קו אחד, כלומר מקבילים) אם ורק אם אחד מהם הוא כפולה בסקלר של השני: $v = k u$

באופן מעשי: היחס בין הרכיבים המתאימים קבוע ואחיד: $\frac{x _{2}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{y _{1}} = \frac{z _{2}}{z _{1}} = k$

אם אחד מהיחסים שונה מהשאר — הווקטורים אינם קולינאריים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חיבור וחיסור

נתון $u⃗=(2,-1,3), v⃗=(4,5,-2)$ . חשבו $u⃗+v⃗$ ו-u⃗−v⃗.

u + v = (6, 4, 1), u - v = (- 2, - 6, 5)

שלב 1 — חיבור רכיב-רכיב

u⃗+v⃗ = (2+4, -1+5, 3+(-2)) = (6, 4, 1)

דוגמה 2: צירוף לינארי 2u⃗ − 3v⃗

נתון $u⃗=(2,-1,4), v⃗=(1,0,-2)$ . חשבו את הצירוף הלינארי 2u⃗ − 3v⃗.

2 u - 3 v = (4, - 2, 8) - (3, 0, - 6) = (1, - 2, 14)

שלב 1 — כפל בסקלר 2u⃗

2u⃗ = (2 \cdot 2, 2 \cdot (-1), 2 \cdot 4) = (4, -2, 8)

דוגמה 3: אורך וקטור

חשבו את אורך הווקטור $u⃗=(2,-3,6)$ .

∣ u ∣ = 2^{2} + (- 3)^{2} + 6^{2} = 49 = 7

שלב 1 — נוסחת האורך

|u⃗| = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

דוגמה 4: בדיקת קולינאריות

האם הווקטורים $u⃗=(2,-4,6)$ ו- $v⃗=(-3,6,-9)$ קולינאריים?

\frac{- 3}{2} = \frac{6}{- 4} = \frac{- 9}{6} = - \frac{3}{2} \Rightarrow v = - \frac{3}{2} u

שלב 1 — בודקים יחס רכיבים

מחפשים k כך ש-

v⃗ = k \cdot u⃗

. יחס רכיב

x: -\frac{3}{2}

. יחס רכיב

y: \frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}

. יחס רכיב

z: -\frac{9}{6}=-\frac{3}{2}

דוגמה 5: אורך קטע בין שתי נקודות

נתונות $A(1,2,2)$ ו- $B(3,4,1)$ . חשבו את אורך הקטע AB.

∣ A B ∣ = 2^{2} + 2^{2} + (- 1)^{2} = 9 = 3

שלב 1 — רכיבי הווקטור

AB⃗ = B-A = (3-1, 4-2, 1-2) = (2, 2, -1)

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחשבים אורך כסכום הרכיבים

טעות: עבור (2,-3,6) לחשב 2+(-3)+6=5.

נכון: $4 + 9 + 36 = 49 = 7$ .

למה זה קורה?

מבלבלים בין סכום הרכיבים לבין נוסחת המרחק.

איך מתקנים?

אורך הוא שורש סכום הריבועים:

|u⃗| = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

, לא

x+y+z

טעות נפוצה: בכפל בסקלר מכפילים רק רכיב אחד

טעות: $3 \cdot (2, - 1, 4) = (6, - 1, 4)$ .

נכון: $3 \cdot (2, - 1, 4) = (6, - 3, 12)$ .

למה זה קורה?

שוכחים שהסקלר מוכפל בכל רכיבי הווקטור.

איך מתקנים?

כפל בסקלר מכפיל את כל שלושת הרכיבים:

t \cdot (x,y,z) = (tx, ty, tz)

טעות נפוצה: מסיקים קולינאריות מרכיב משותף אחד

(1,2,3) ו-(2,4,5) אינם קולינאריים: $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = 2$ אבל $\frac{5}{3} \neq = 2$ .

למה זה קורה?

בודקים יחס של רכיב אחד בלבד.

איך מתקנים?

קולינאריות דורשת יחס קבוע אחיד בין כל הרכיבים המתאימים. די בכך שיחס אחד שונה כדי לפסול.

תשובה מספרית

נתונים הווקטורים $u⃗=(2,-1,3)$ ו- $v⃗=(4,5,-2)$ . מהו הרכיב הראשון (רכיב x) של הווקטור $u⃗+v⃗$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו את אורך הווקטור $u⃗=(2,-3,6)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הווקטורים $u⃗=(2,-4,6)$ ו- $v⃗=(-3,6,-9)$ קולינאריים (מקבילים).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

פעולות בווקטורים בהצגה אלגברית:

חיבור/חיסור — רכיב מול רכיב: $u \pm v = (x_{1} \pm x_{2}, y_{1} \pm y_{2}, z_{1} \pm z_{2})$ .
כפל בסקלר — מכפילים את כל הרכיבים: $t u = (t x, t y, t z)$ .
אורך וקטור: $∣ u ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; אורך קטע $∣ A B ∣ = ∣ A B ∣$ .
קולינאריות: $v = k u$ — יחס רכיבים קבוע ואחיד.

זכרו: אורך = שורש סכום ריבועים; כפל בסקלר נוגע בכל הרכיבים; קולינאריות בודקים על כל הרכיבים יחד.

בשיעור הבא נגדיר את המכפלה הסקלרית בהצגה אלגברית ונשתמש בה לזוויות ולניצבות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חיבור, חיסור, כפל בסקלר, חישוב אורך וזיהוי קולינאריות של וקטורים במרחב!

פעולות בווקטורים בהצגה אלגברית

פעולות בווקטורים בהצגה אלגברית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חיבור וחיסור

נתון u⃗=(2,−1,3),v⃗=(4,5,−2)u⃗=(2,-1,3), v⃗=(4,5,-2)u⃗=(2,−1,3),v⃗=(4,5,−2). חשבו u⃗+v⃗u⃗+v⃗u⃗+v⃗ ו-u⃗−v⃗.

דוגמה 2: צירוף לינארי 2u⃗ − 3v⃗

נתון u⃗=(2,−1,4),v⃗=(1,0,−2)u⃗=(2,-1,4), v⃗=(1,0,-2)u⃗=(2,−1,4),v⃗=(1,0,−2). חשבו את הצירוף הלינארי 2u⃗ − 3v⃗.

דוגמה 3: אורך וקטור

חשבו את אורך הווקטור u⃗=(2,−3,6)u⃗=(2,-3,6)u⃗=(2,−3,6).

דוגמה 4: בדיקת קולינאריות

האם הווקטורים u⃗=(2,−4,6)u⃗=(2,-4,6)u⃗=(2,−4,6) ו-v⃗=(−3,6,−9)v⃗=(-3,6,-9)v⃗=(−3,6,−9) קולינאריים?

דוגמה 5: אורך קטע בין שתי נקודות

נתונות A(1,2,2)A(1,2,2)A(1,2,2) ו-B(3,4,1)B(3,4,1)B(3,4,1). חשבו את אורך הקטע AB.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחשבים אורך כסכום הרכיבים

טעות נפוצה: בכפל בסקלר מכפילים רק רכיב אחד

טעות נפוצה: מסיקים קולינאריות מרכיב משותף אחד

סיכום

תרגול נוסף

נתון $u⃗=(2,-1,3), v⃗=(4,5,-2)$ . חשבו $u⃗+v⃗$ ו-u⃗−v⃗.

נתון $u⃗=(2,-1,4), v⃗=(1,0,-2)$ . חשבו את הצירוף הלינארי 2u⃗ − 3v⃗.

חשבו את אורך הווקטור $u⃗=(2,-3,6)$ .

האם הווקטורים $u⃗=(2,-4,6)$ ו- $v⃗=(-3,6,-9)$ קולינאריים?

נתונות $A(1,2,2)$ ו- $B(3,4,1)$ . חשבו את אורך הקטע AB.