מושגים וגופים במרחב: מנסרה ופירמידה
מבוא
לפני שנחשב נפחים, אורכים וזוויות בגופים, עלינו לדבר בשפה מדויקת. בשנת הבגרות חשוב במיוחד להבחין בין מקצוע לאלכסון, בין מנסרה ישרה לכללית, ובין פירמידה ישרה לפירמידה רגילה — שכן בכל שאלה במרחב נצטרך לקרוא נכון את הסרטוט ולזהות מי מאונך למי.
מטרות השיעור
- להגדיר מנסרה ופירמידה ולזהות את חלקיהן: בסיס, פאה, מקצוע, אלכסון וגובה
- להבחין במקרים הפרטיים של מנסרה: מקבילון, מנסרה ישרה, תיבה וקובייה
- להבין מהי פירמידה ישרה ומדוע רגל הגובה שלה היא מרכז המעגל החוסם את הבסיס
- לנתח שייכות של קודקודים, מקצועות ופאות, ולקבוע מצבים הדדיים בין ישרים ומישורים בגוף
המנסרה
הגדרת מנסרה
מנסרה היא גוף שיש לו שני בסיסים — מצולעים חופפים ומקבילים — המחוברים בפאות צדדיות שהן מקביליות. הקטעים המחברים קודקודים מתאימים בשני הבסיסים נקראים מקצועות צדדיים, וכולם שווים באורכם ומקבילים זה לזה.
- מקצוע — קטע שהוא צלע משותפת לשתי פאות (מקצוע של בסיס או מקצוע צדדי).
- אלכסון של פאה — קטע המחבר שני קודקודים של אותה פאה שאינם על מקצוע משותף.
- אלכסון של הגוף — קטע המחבר שני קודקודים שאינם על אותה פאה.
- גובה — המרחק (הניצב) בין שני מישורי הבסיסים.
מקרים פרטיים של מנסרה
- מקבילון — מנסרה שכל ששת פאותיה מקביליות (הבסיס עצמו מקבילית).
- מנסרה ישרה — מנסרה שבה המקצועות הצדדיים מאונכים למישורי הבסיסים. במנסרה ישרה אורך המקצוע הצדדי שווה לגובה.
- תיבה — מנסרה ישרה שבסיסה מלבן (כל פאותיה מלבנים).
- קובייה — תיבה שכל מקצועותיה שווים (כל פאותיה ריבועים).
שימו לב: מנסרה כללית אינה חייבת להיות ישרה — היא יכולה להיות נטויה, ואז המקצוע הצדדי אינו הגובה.
הפירמידה
הגדרת פירמידה
פירמידה היא גוף שבסיסו מצולע, ולו קודקוד ראש אחד הנמצא מחוץ למישור הבסיס. הפאות הצדדיות הן משולשים שכל אחד מהם נשען על צלע של הבסיס ועל קודקוד הראש.
- מקצועות צדדיים — הקטעים מקודקוד הראש אל קודקודי הבסיס.
- גובה — הקטע מקודקוד הראש המאונך למישור הבסיס; רגלו נקראת רגל הגובה.
פירמידה ישרה ותכונת הגובה
פירמידה ישרה מוגדרת כפירמידה שכל מקצועותיה הצדדיים שווים באורכם.
תכונת הגובה: בפירמידה ישרה רגל הגובה היא מרכז המעגל החוסם את מצולע הבסיס. הסיבה: אם הגובה SO מאונך לבסיס, אז לכל קודקוד בסיס P מתקיים לפי פיתגורס . כל המקצועות SP שווים, ולכן כל המרחקים OP שווים — כלומר O נמצא במרחק שווה מכל קודקודי הבסיס, וזו בדיוק הגדרת מרכז המעגל החוסם.
לכן בפירמידה ישרה שבסיסה מלבן או ריבוע, רגל הגובה היא מפגש האלכסונים (מרכז המלבן).
דוגמאות מפורטות
דוגמה 1: זיהוי מקצוע מול אלכסון
בתיבה ABCDA'B'C'D' (הבסיס ABCD מלבן), מהו סוג הקטע AC' ומהו סוג הקטע AC?
מקצוע הוא תמיד צלע של פאה. אלכסון הגוף עובר ב״פנים״ של התיבה ואינו מונח על אף פאה.
שלב 1 — בודקים שייכות לפאה
דוגמה 2: רגל הגובה בפירמידה ישרה
בפירמידה ישרה SABCD שבסיסה מלבן, היכן נמצאת רגל הגובה O?
— כלומר O מרכז המעגל החוסם את הבסיס.
שלב 1 — מהי פירמידה ישרה
דוגמה 3: ספירת אלכסוני הגוף בתיבה
כמה אלכסוני גוף (אלכסונים מרחביים) יש לתיבה?
האלכסונים הם AC',\; BD',\; CA',\; DB' — וכולם נחתכים במרכז התיבה.
שלב 1 — מהו אלכסון גוף
דוגמה 4: מצב הדדי בין ישר למישור בגוף
במקבילון ABCDA'B'C'D', מהו המצב ההדדי בין הישר AD למישור הפאה AA'D'D, ובין הישר AC' למישור הבסיס ABCD?
ישר שמוכל במישור — שתי נקודותיו במישור. ישר שחותך — נקודה אחת בלבד משותפת.
שלב 1 — AD והמישור AA'D'D
בדיקה מהירה
בסרטוט נתונה תיבה ABCDA'B'C'D' שבסיסה התחתון ABCD מלבן ומעליו הבסיס A'B'C'D'. מהו סוג הקטע AC' (המחבר קודקוד תחתון לקודקוד עליון נגדי)?
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
בסרטוט נתונה פירמידה ישרה SABCD שבסיסה ABCD מלבן ו-SO הגובה. היכן נמצאת רגל הגובה O?
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
בסרטוט נתון מקבילון ABCDA'B'C'D' שבסיסו ABCD מקבילית. מהו המצב ההדדי בין הישר A'D' למישור הבסיס ABCD?
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
טעויות נפוצות
טעות נפוצה: קוראים לכל קטע בין שני קודקודים ״מקצוע״
בתיבה: AB מקצוע, AC אלכסון פאה, AC' אלכסון גוף.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: חושבים שכל מנסרה היא ישרה
במנסרה נטויה אורך המקצוע הצדדי גדול מהגובה.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: חושבים שפירמידה ישרה = פירמידה שהגובה בתוכה
בפירמידה ישרה שבסיסה מלבן, רגל הגובה היא מפגש האלכסונים של המלבן.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
סיכום
מה למדנו?
- מנסרה: שני בסיסים חופפים ומקבילים ופאות צדדיות מקביליות. מקרים פרטיים: מקבילון, מנסרה ישרה, תיבה, קובייה.
- פירמידה: בסיס מצולע וקודקוד ראש; פאות צדדיות משולשות.
- פירמידה ישרה: כל המקצועות הצדדיים שווים ⟸ רגל הגובה היא מרכז המעגל החוסם את הבסיס.
- מבחינים תמיד בין מקצוע (צלע פאה), אלכסון פאה ואלכסון גוף.
זכרו: במנסרה ישרה המקצוע הצדדי שווה לגובה; במנסרה נטויה — לא. בשיעור הבא נכניס את המכפלה הסקלרית ככלי לחישובי זוויות וניצבות.
תרגול נוסף
עברו לתרגול כדי להתאמן על זיהוי חלקי הגופים, המקרים הפרטיים ומצבים הדדיים בין ישרים ומישורים!