חישובי אורכים, זוויות, שטחים ונפחים בגופים

30%
📖שיעור
55 דקות

חישובי אורכים, זוויות, שטחים ונפחים בגופים

נחבר את כל כלי היחידה לחישוב נפחים של מנסרות ופירמידות: V=V=שטח בסיס·גובה ו-V=13V=\frac{1}{3} \cdotשטח בסיס·גובה. נמצא את הגובה בעזרת פיתגורס, טריגונומטריה ווקטורים, ונחשב את האורכים, הזוויות והשטחים הנדרשים בדרך.

חישובי אורכים, זוויות, שטחים ונפחים בגופים

מבוא

הגענו לשיא היחידה. כעת נחבר את כל מה שלמדנו — זיהוי גופים, מכפלה סקלרית, וניצבות למישור — כדי לחשב נפחים של מנסרות ופירמידות. האתגר האמיתי אינו הנוסחה אלא מציאת הגובה הנכון: לעיתים בעזרת פיתגורס, לעיתים בעזרת טריגונומטריה, ולעיתים על ידי הוכחה וקטורית שמקצוע מסוים הוא הגובה.

מטרות השיעור

  • לחשב נפח מנסרה:
  • לחשב נפח פירמידה:
  • למצוא את הגובה h בעזרת משפט פיתגורס, טריגונומטריה או וקטורים
  • לחשב את שטח הבסיס נכון (מלבן, מקבילית, משולש, מעוין) ולחשב אורכים וזוויות נדרשים

הרעיון המרכזי

נוסחאות הנפח

מנסרה (ישרה או נטויה): כאשר h הוא הגובה — המרחק הניצב בין מישורי הבסיסים (לא בהכרח אורך המקצוע הצדדי!).

פירמידה (ישרה או נטויה): כאשר h הוא הגובה — המרחק הניצב מקודקוד הראש למישור הבסיס.

ההבדל המכריע: לפירמידה יש גורם שאין למנסרה.

איך מוצאים את הגובה? (ארבע דרכים)

לפי הנחיות התוכנית, את הגובה של גוף שאינו בהכרח ישר מוצאים כש:

  1. נתונים שיעורי קצות הגובה (מחשבים מרחק).
  2. אפשר לזהות את הגובה (למשל מקצוע המאונך לבסיס).
  3. הוכח בעזרת מכפלה סקלרית שווקטור הוא גובה הגוף (מאונך לשני וקטורי בסיס לא קולינאריים).
  4. אפשר לחשב את אורך הגובה בעזרת משפט פיתגורס, פונקציות טריגונומטריות במשולש ישר-זווית, או וקטורים.

שטחי הבסיסים שכבר מוכרים לכם מי' וי״א

  • מלבן: .
  • מקבילית (צלעות a,b, זווית ): .
  • מעוין (אלכסונים ): , או .
  • משולש: (שתי צלעות והזווית ביניהן).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נפח תיבה

חשבו את נפח תיבה שמידות בסיסה 5 ו-3, וגובהה 8.

1

שלב 1 — שטח הבסיס

הבסיס מלבן: S=53=15S = 5 \cdot 3 = 15.

דוגמה 2: נפח פירמידה ישרה שבסיסה מלבן

בפירמידה ישרה SABCD הבסיס מלבן עם AB=4,BC=3AB=4, BC=3, והגובה SO=5(OSO=5 (O מרכז המלבן). חשבו את נפח הפירמידה.

שימו לב לגורם — בלעדיו היינו מקבלים נפח מנסרה.

1

שלב 1 — שטח הבסיס

מלבן: S=ABBC=43=12S = AB \cdot BC = 4 \cdot 3 = 12.

דוגמה 3: מנסרה ישרה שבסיסה מקבילית — מציאת הזווית, השטח והנפח

במנסרה ישרה ABCDA'B'C'D' הבסיס ABCD מקבילית. נסמן u=AB,v=BC,w=AAu=AB, v=BC, w=AA'. נתון u=v=8,w=5|u|=|v|=8, |w|=5, ו-AE=11|AE|=11 כאשר E אמצע D'C'. חשבו את uvu \cdot v, את הזווית BAD, את שטח הבסיס ואת נפח המנסרה.

הגובה הוא |w|=5 כי המנסרה ישרה ו-w מאונך לבסיס.

1

שלב 1 — מבטאים את AE

E אמצע D'C'. בעקבות מבנה המקבילית: AE=12u+v+w(AE = \frac{1}{2}u + v + w (חצי מהצלע AB, ועוד הצלע BC, ועוד הרמה w לבסיס העליון).

דוגמה 4: נפח תיבה — הגובה בעזרת טריגונומטריה

בתיבה ABCDA'B'C'D' הבסיס ABCD מלבן. אורך אלכסון המלבן 5, הזווית החדה בין אלכסוני המלבן 6060^{\circ}, והזווית בין אלכסון התיבה BD' לאלכסון הבסיס BD היא 3030^{\circ}. חשבו את נפח התיבה.

ה- מצטמצם — לכן הנפח יוצא מספר עגול.

1

שלב 1 — מדוע משולש BDD' ישר-זווית

DD' הוא מקצוע צדדי של תיבה, ולכן מאונך לבסיס — בפרט מאונך ל-BD שבבסיס. לכן הזווית BDD' ישרה.

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

בסרטוט נתונה תיבה שמידות בסיסה (המלבן) הן 5 ו-3, וגובהה 8. חשבו את נפח התיבה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בסרטוט נתונה פירמידה ישרה SABCD שבסיסה מלבן עם AB=4,BC=3AB=4, BC=3, וגובה SO=5(OSO=5 (O מרכז המלבן). חשבו את נפח הפירמידה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בסרטוט נתונה תיבה ABCDA'B'C'D' שבסיסה מלבן. אורך אלכסון המלבן ABCD הוא 5, הזווית החדה בין אלכסוני המלבן 6060^{\circ}, והזווית בין אלכסון התיבה BD' לאלכסון הבסיס BD היא 3030^{\circ}. חשבו את נפח התיבה (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם


טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את גורם 13\frac{1}{3} בפירמידה

פירמידה: . מנסרה: V=S\,h.

למה זה קורה?

מיישמים את נוסחת המנסרה V=ShV=S \cdot h גם לפירמידה.

איך מתקנים?

לפירמידה תמיד V=13ShV=\frac{1}{3} \cdot S \cdot h. נפח הפירמידה הוא שליש מנפח מנסרה בעלת אותו בסיס ואותו גובה.

טעות נפוצה: מציבים את המקצוע הצדדי במקום הגובה

רק במנסרה ישרה המקצוע הצדדי שווה לגובה. אחרת — לא.

למה זה קורה?

בגוף נטוי או בפירמידה, המקצוע הצדדי נטוי ואינו שווה לגובה.

איך מתקנים?

הגובה הוא המרחק הניצב למישור הבסיס. מצאו אותו בנפרד (פיתגורס/טריגונומטריה/וקטורים) אלא אם המקצוע הוכח כמאונך לבסיס.

טעות נפוצה: מחשבים שטח מקבילית כמלבן

מקבילית: . שכחת ה- מנפחת את השטח.

למה זה קורה?

כופלים שתי צלעות בלי להתחשב בזווית ביניהן.

איך מתקנים?

שטח מקבילית הוא absinθa \cdot b \cdot \sin \theta. רק כשהזווית 90(90^{\circ} (מלבן) מקבלים aba \cdot b.

סיכום

מה למדנו?

  • מנסרה: . פירמידה: .
  • הגובה הוא תמיד המרחק הניצב למישור הבסיס — לא בהכרח המקצוע הצדדי.
  • את הגובה מוצאים בעזרת פיתגורס, טריגונומטריה או וקטורים (כולל הוכחת ניצבות במכפלה סקלרית).
  • את שטח הבסיס מחשבים לפי צורת המצולע: מלבן ab, מקבילית , מעוין , משולש .

זכרו: קודם מוצאים את הגובה הנכון ואת שטח הבסיס הנכון — ורק אז מציבים בנוסחת הנפח (ולא לשכוח את ה- בפירמידה!).


תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישובי נפחים של מנסרות ופירמידות, מציאת גבהים וחישובי אורכים, זוויות ושטחים!

תרגול