וקטורים קולינאריים וזיהוי בעזרת גופים במרחב

מבוא

מטרות השיעור

להגדיר וקטורים קולינאריים: וקטורים המקבילים לאותו ישר
להכיר את התנאי ההכרחי והמספיק לקולינאריות: $u = t \cdot v$ עבור סקלר $t \neq = 0$
להבין את משמעות הסימן של t: t>0 אותו כיוון, t<0 כיוון הפוך
לזהות זוגות וקטורים קולינאריים על מקצועות ואלכסונים של מנסרה ופירמידה
להבחין בין קולינאריות לבין וקטורים שאינם מקבילים

הרעיון המרכזי

הגדרה: וקטורים קולינאריים

שני וקטורים (שונים מאפס) נקראים קולינאריים אם הם מקבילים לאותו ישר — כלומר יש להם אותו כיוון או כיוון הפוך.

חשוב: אין דרישה שהם יהיו מונחים על אותו ישר ממש. מכיוון שאפשר להזיז וקטור במקביל לעצמו, די בכך שהם מקבילים לישר משותף. למשל, צלעות נגדיות במקבילית נותנות וקטורים קולינאריים.

התנאי ההכרחי והמספיק לקולינאריות

שני וקטורים $u$ ו- $v$ (שונים מאפס) הם קולינאריים אם ורק אם קיים סקלר $t \neq = 0$ כך ש: $u = t \cdot v$

אם t > 0: הווקטורים באותו כיוון.
אם t < 0: הווקטורים בכיוון הפוך.
בכל מקרה $∣ u ∣ = ∣ t ∣ \cdot ∣ v ∣$ .

זהו כלי מרכזי: כדי להוכיח שווקטורים קולינאריים, מספיק להציג אחד מהם ככפל בסקלר של השני.

זיהוי בעזרת גופים במרחב (מנסרה ופירמידה)

בגופים במרחב מאתרים וקטורים קולינאריים לפי מבנה הגוף:

במנסרה המקצועות הצדדיים מקבילים זה לזה ⟸ הווקטורים שלאורכם קולינאריים.
צלעות נגדיות בבסיס שהוא מקבילית מקבילות ⟸ קולינאריות.
וקטור המונח על קטע שנקודה מחלקת אותו (כמו אמצע מקצוע) קולינארי עם הווקטור של הקטע כולו.

בכל בעיה מרחבית נתבונן בשרטוט של הגוף ונאתר את הישרים המקבילים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סקלר חיובי מהאורכים

AB⃗ ו-CD⃗ קולינאריים, אותו כיוון $, |AB⃗|=6, |CD⃗|=18$ . מצאו t ב- $CD⃗ = t \cdot AB⃗$ .

C D = 3 A B, ∣ C D ∣ = 3 \cdot 6 = 18

שלב 1 — הקשר הקולינארי

מהקולינאריות קיים t עם

CD⃗ = t \cdot AB⃗

בדיקה מהירה

נתונים שני וקטורים שונים מאפס u⃗ ו-v⃗. מהו התנאי ההכרחי והמספיק לכך שהם קולינאריים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

הווקטורים AB⃗ ו-CD⃗ קולינאריים ובעלי אותו כיוון. נתון $|AB⃗| = 6$ ו- $|CD⃗| = 18$ . מצאו את הסקלר t המקיים $CD⃗ = t \cdot AB⃗$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: סקלר שלילי (כיוון הפוך)

u⃗ ו-v⃗ קולינאריים בכיוונים הפוכים $, |u⃗|=4, |v⃗|=10$ . מצאו t ב- $v⃗ = t \cdot u⃗$ .

v = - 2.5 u, ∣ v ∣ = 2.5 \cdot 4 = 10

שלב 1 — גודל הסקלר

|v⃗| = |t| \cdot |u⃗| ⟸ 10 = |t| \cdot 4 ⟸ |t| = 2.5

דוגמה 3: זיהוי קולינאריות במנסרה ישרה

במנסרה ישרה משולשת ABCA'B'C', אילו וקטורים קולינאריים עם AA'⃗?

B B^{'} = A A^{'}, C C^{'} = A A^{'}, C^{'} C = - A A^{'}

שלב 1 — איתור מקצועות מקבילים

המקצועות הצדדיים AA', BB', CC' מקבילים זה לזה.

בחירה מרובה

בשרטוט נתונה מנסרה ישרה משולשת ABCA'B'C' (הבסיס התחתון ABC, הבסיס העליון A'B'C' מעליו, המקצועות הצדדיים AA', BB', CC' אנכיים). סמנו את כל הווקטורים הקולינאריים עם הווקטור AA'⃗.

בחרו את כל התשובות הנכונות

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: נקודה על מקצוע — מהיחס לסקלר

על הקטע AB נקודה M עם $AM:MB = 3:1$ . מצאו t ב- $AM⃗ = t \cdot AB⃗$ .

A M = \frac{3}{4} A B

שלב 1 — מחלקים את הקטע

היחס 3:1 מחלק את AB ל-

3+1 = 4

חלקים שווים; AM הוא 3 מהם.

בדיקה מהירה

בחירה מרובה

בשרטוט נתונה פירמידה SABCD שבסיסה מקבילית ABCD (S הוא קודקוד הראש מעל הבסיס). הנקודה M היא אמצע הצלע AB. סמנו את כל הזוגות שבהם הווקטורים קולינאריים.

בחרו את כל התשובות הנכונות

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שקולינאריים = על אותו ישר ממש

במקבילית $A B$ ו- $D C$ קולינאריים, אף שהם על צלעות מקבילות שונות.

למה זה קורה?

מפרשים 'קולינארי' כ'מונחים על קו אחד'.

איך מתקנים?

די שיהיו מקבילים לאותו ישר. אפשר להזיז וקטור במקביל לעצמו, ולכן צלעות מקבילות נותנות וקטורים קולינאריים.

טעות נפוצה: מניחים ש-t תמיד חיובי

אם $v$ הפוך בכיוונו ל- $u$ ו- $∣ v ∣ = 2.5∣ u ∣$ , אז $v = - 2.5 u$ .

למה זה קורה?

שוכחים שכפל בסקלר שלילי הופך את הכיוון.

איך מתקנים?

ב-

u⃗ = t \cdot v⃗

הסימן של t קובע כיוון:

t>0

אותו כיוון

, t<0

כיוון הפוך. לוקטורים נגדיים

t=-1

טעות נפוצה: מבלבלים קולינאריות עם 'באותו מישור'

$A B$ ו- $A D$ במקבילית הן באותו מישור אך אינן מקבילות, ולכן לא קולינאריות.

למה זה קורה?

חושבים שכל שני וקטורים במישור הם קולינאריים.

איך מתקנים?

קולינאריות = מקבילים לישר אחד. שתי צלעות סמוכות במקבילית נמצאות באותו מישור אך אינן קולינאריות.

סיכום

מה למדנו?

וקטורים קולינאריים:

שני וקטורים קולינאריים אם הם מקבילים לאותו ישר (אותו כיוון או הפוך).
תנאי הכרחי ומספיק: $u = t \cdot v$ עבור סקלר $t \neq = 0$ .
t>0 ⟸ אותו כיוון; t<0 ⟸ כיוון הפוך; תמיד $∣ u ∣ = ∣ t ∣∣ v ∣$ .
בגופים: מקצועות מקבילים ונקודות החלוקה על קטע נותנים זוגות קולינאריים.

זכרו: שוויון אורך אינו דרוש, וגם וקטורים בכיוון הפוך הם קולינאריים.

בשיעור הבא נלמד את פעולות החיבור, החיסור וכפל וקטור בסקלר בגישה הגאומטרית!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על זיהוי וקטורים קולינאריים בצורות ובגופים ובחישוב הסקלר t!

וקטורים קולינאריים וזיהוי בעזרת גופים במרחב

וקטורים קולינאריים וזיהוי בעזרת גופים במרחב

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סקלר חיובי מהאורכים

AB⃗ ו-CD⃗ קולינאריים, אותו כיוון,∣AB⃗∣=6,∣CD⃗∣=18, |AB⃗|=6, |CD⃗|=18,∣AB⃗∣=6,∣CD⃗∣=18. מצאו t ב-CD⃗=t⋅AB⃗CD⃗ = t \cdot AB⃗CD⃗=t⋅AB⃗.

דוגמה 2: סקלר שלילי (כיוון הפוך)

u⃗ ו-v⃗ קולינאריים בכיוונים הפוכים,∣u⃗∣=4,∣v⃗∣=10, |u⃗|=4, |v⃗|=10,∣u⃗∣=4,∣v⃗∣=10. מצאו t ב-v⃗=t⋅u⃗v⃗ = t \cdot u⃗v⃗=t⋅u⃗.

דוגמה 3: זיהוי קולינאריות במנסרה ישרה

במנסרה ישרה משולשת ABCA'B'C', אילו וקטורים קולינאריים עם AA'⃗?

דוגמה 4: נקודה על מקצוע — מהיחס לסקלר

על הקטע AB נקודה M עם AM:MB=3:1AM:MB = 3:1AM:MB=3:1. מצאו t ב-AM⃗=t⋅AB⃗AM⃗ = t \cdot AB⃗AM⃗=t⋅AB⃗.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שקולינאריים = על אותו ישר ממש

טעות נפוצה: מניחים ש-t תמיד חיובי

טעות נפוצה: מבלבלים קולינאריות עם 'באותו מישור'

סיכום

תרגול נוסף

AB⃗ ו-CD⃗ קולינאריים, אותו כיוון $, |AB⃗|=6, |CD⃗|=18$ . מצאו t ב- $CD⃗ = t \cdot AB⃗$ .

u⃗ ו-v⃗ קולינאריים בכיוונים הפוכים $, |u⃗|=4, |v⃗|=10$ . מצאו t ב- $v⃗ = t \cdot u⃗$ .

על הקטע AB נקודה M עם $AM:MB = 3:1$ . מצאו t ב- $AM⃗ = t \cdot AB⃗$ .