צירוף לינארי של וקטורים

מבוא

מטרות השיעור

להבין מהו צירוף לינארי של וקטורים: $a u + b v$
להכיר את משפט ההצגה היחידה במישור (שני וקטורים לא-קולינאריים) ובמרחב (שלושה לא-קומפלנריים)
להביע אלכסונים, תיכונים וקטעי אמצעים בצורות ובגופים כצירוף לינארי של וקטורי בסיס
להוכיח קולינאריות של נקודות בעזרת צירופים לינאריים
לקבוע אם ישר נמצא במישור או מקביל למישור הנקבע על ידי שני וקטורים

הרעיון המרכזי

הגדרה: צירוף לינארי

צירוף לינארי של הווקטורים $u$ ו- $v$ הוא כל וקטור מהצורה: $a u + b v$ כאשר a, b סקלרים (מספרים ממשיים). באופן דומה, צירוף לינארי של שלושה וקטורים הוא $a u + b v + c w$ .

זהו הכלי שמאחד את כל הפעולות שלמדנו — כפל בסקלר וחיבור — לביטוי אחד.

משפט ההצגה היחידה (ללא הוכחה)

במישור: כל וקטור במישור ניתן להצגה יחידה כצירוף לינארי של שני וקטורים לא-קולינאריים במישור. כל צירוף כזה נמצא באותו מישור (או במישור מקביל לו).

במרחב: כל וקטור במרחב ניתן להצגה יחידה כצירוף לינארי של שלושה וקטורים שאינם באותו מישור (לא-קומפלנריים).

הדרישה "לא-קולינאריים" / "לא-קומפלנריים" מהותית: שני וקטורים קולינאריים פורשים רק ישר, ושלושה וקטורים במישור אחד פורשים רק מישור.

שני שימושים מרכזיים

1. קולינאריות של נקודות: כדי להראות ש-M, N, P על ישר אחד, מביעים $MN$ ו- $MP$ כצירוף לינארי, ומראים שקיים סקלר t עם $MN = t MP$ . בזכות הנקודה המשותפת M — הנקודות על ישר אחד.

2. ישר ומישור: אם $MN$ הוא צירוף לינארי של שני הווקטורים שמגדירים מישור, אז הישר MN מקביל למישור או נמצא בו (נמצא בו אם נקודה אחת שלו במישור). וקטור כזה אינו מאונך למישור — הוא מונח במישור או מקביל לו.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אלכסוני מקבילית

במקבילית ABCD נסמן $AB⃗=u⃗, AD⃗=v⃗$ . הביעו את האלכסונים AC⃗ ו-BD⃗.

A C = u + v, B D = v - u

שלב 1 — אלכסון ראשון

כלל המקבילית:

AC⃗ = AB⃗ + AD⃗ = u⃗ + v⃗

בדיקה מהירה

לפי המשפט, כל וקטור במישור ניתן להצגה יחידה כצירוף לינארי של כמה וקטורים, ואילו וקטורים נדרשים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

בשרטוט נתונה מקבילית ABCD (קודקודים לפי הסדר). נסמן $AB⃗ = u⃗$ ו- $AD⃗ = v⃗$ . כצירוף לינארי של u⃗ ו-v⃗, למה שווה האלכסון BD⃗?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: וקטור בגוף מרחבי (מנסרה)

במנסרה ABCA'B'C' נסמן $AB⃗=u⃗, AC⃗=v⃗, AA'⃗=w⃗$ . הביעו את A'C⃗.

A^{'} C = v - w

שלב 1 — בוחרים מסלול

מ-A' אל C דרך

A: A'C⃗ = A'A⃗ + AC⃗

בדיקה מהירה

בשרטוט נתונה מנסרה משולשת ABCA'B'C' (הבסיס התחתון ABC, הבסיס העליון A'B'C', והמקצוע AA' מחבר אותם). נסמן $AB⃗ = u⃗, AC⃗ = v⃗, AA'⃗ = w⃗$ . כצירוף לינארי של u⃗, v⃗, w⃗, למה שווה הווקטור A'C⃗ (מהקודקוד A' אל C)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: באיזה מישור נמצאת נקודה?

בפירמידה משולשת $ABCD: AB⃗=u⃗, AC⃗=v⃗, AD⃗=w⃗$ . נקודה N מקיימת $AN⃗=\frac{1}{2}u⃗+\frac{1}{2}v⃗$ . באיזה מישור נמצאת N?

A N = \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} v \Rightarrow N \in מישור A BC

שלב 1 — מתבוננים בצירוף

AN⃗ = \frac{1}{2}u⃗ + \frac{1}{2}v⃗

הוא צירוף לינארי של

u⃗ = AB⃗

ו-

v⃗ = AC⃗

בלבד (המקדם של w⃗ הוא 0).

דוגמה 4: הוכחת משפט קטע האמצעים (וקטורית)

במשולש ABC, M אמצע AB ו-N אמצע AC. הוכיחו $MN⃗ = \frac{1}{2}BC⃗ ($ ומכאן MN ∥ BC, ואורכו מחצית).

MN = \frac{1}{2} v - \frac{1}{2} u = \frac{1}{2} (v - u) = \frac{1}{2} BC

שלב 1 — וקטורי בסיס

נסמן

AB⃗=u⃗, AC⃗=v⃗

. אז

AM⃗=\frac{1}{2}u⃗ (M

אמצע AB) ו-

AN⃗=\frac{1}{2}v⃗ (N

אמצע AC).

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

בשרטוט נתון משולש ABC. הנקודה M היא אמצע הצלע AB, והנקודה N היא אמצע הצלע AC. ניתן לכתוב $MN⃗ = t \cdot BC⃗$ . מצאו את הסקלר t (קטע אמצעים במשולש).

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מנסים לפרוש מישור בעזרת שני וקטורים קולינאריים

$u$ ו- $2 u$ קולינאריים — כל צירוף שלהם נשאר על ישר אחד ולא מכסה את המישור.

למה זה קורה?

חושבים שכל שני וקטורים מספיקים כבסיס.

איך מתקנים?

במישור דרושים שני וקטורים לא-קולינאריים. קולינאריים פורשים רק ישר, וההצגה אינה אפשרית/יחידה.

טעות נפוצה: מסיקים מקבילות ישרים בלי לבדוק נקודה משותפת

אם $MN = t A B$ וגם M על הישר AB — הישרים מתלכדים, לא מקבילים.

למה זה קורה?

חושבים ש-

MN⃗ = t \cdot AB⃗

מספיק כדי לקבוע שהישרים מקבילים.

איך מתקנים?

קולינאריות הווקטורים נותנת מקבילות רק אם לישרים אין נקודה משותפת; אחרת הם מתלכדים על אותו ישר.

טעות נפוצה: חושבים שצירוף לינארי של שני וקטורי מישור מאונך למישור

$A N = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} A C$ מונח במישור ABC — לא מאונך לו.

למה זה קורה?

מבלבלים בין 'מונח במישור' ל'מאונך למישור'.

איך מתקנים?

וקטור שהוא צירוף לינארי של שני וקטורים המגדירים מישור — מונח במישור (או מקביל לו), ולא מאונך לו.

סיכום

מה למדנו?

צירוף לינארי:

צירוף לינארי הוא $a u + b v$ (במישור) או $a u + b v + c w$ (במרחב).
הצגה יחידה: במישור בעזרת שני וקטורים לא-קולינאריים; במרחב בעזרת שלושה לא-קומפלנריים.
מביעים אלכסונים, תיכונים וקטעי אמצעים כצירוף לינארי של וקטורי בסיס.
קולינאריות נקודות: $MN = t MP$ + נקודה משותפת.
ישר ומישור: צירוף לינארי של שני וקטורי המישור ⟸ הישר במישור או מקביל לו.

זכרו: דרושים וקטורים בלתי-תלויים לבסיס, ולקולינאריות נקודות חיונית הנקודה המשותפת.

בכך השלמנו את היסודות הגאומטריים של הווקטורים — הבסיס להצגה האלגברית ולמכפלה הסקלרית בהמשך!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הצגת וקטורים כצירוף לינארי ועל הוכחות קולינאריות ומקבילות!

צירוף לינארי של וקטורים

צירוף לינארי של וקטורים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אלכסוני מקבילית

במקבילית ABCD נסמן AB⃗=u⃗,AD⃗=v⃗AB⃗=u⃗, AD⃗=v⃗AB⃗=u⃗,AD⃗=v⃗. הביעו את האלכסונים AC⃗ ו-BD⃗.

דוגמה 2: וקטור בגוף מרחבי (מנסרה)

במנסרה ABCA'B'C' נסמן AB⃗=u⃗,AC⃗=v⃗,AA′⃗=w⃗AB⃗=u⃗, AC⃗=v⃗, AA'⃗=w⃗AB⃗=u⃗,AC⃗=v⃗,AA′⃗=w⃗. הביעו את A'C⃗.

דוגמה 3: באיזה מישור נמצאת נקודה?

בפירמידה משולשת ABCD:AB⃗=u⃗,AC⃗=v⃗,AD⃗=w⃗ABCD: AB⃗=u⃗, AC⃗=v⃗, AD⃗=w⃗ABCD:AB⃗=u⃗,AC⃗=v⃗,AD⃗=w⃗. נקודה N מקיימת AN⃗=12u⃗+12v⃗AN⃗=\frac{1}{2}u⃗+\frac{1}{2}v⃗AN⃗=21​u⃗+21​v⃗. באיזה מישור נמצאת N?

דוגמה 4: הוכחת משפט קטע האמצעים (וקטורית)

במשולש ABC, M אמצע AB ו-N אמצע AC. הוכיחו MN⃗=12BC⃗(MN⃗ = \frac{1}{2}BC⃗ (MN⃗=21​BC⃗(ומכאן MN ∥ BC, ואורכו מחצית).

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מנסים לפרוש מישור בעזרת שני וקטורים קולינאריים

טעות נפוצה: מסיקים מקבילות ישרים בלי לבדוק נקודה משותפת

טעות נפוצה: חושבים שצירוף לינארי של שני וקטורי מישור מאונך למישור

סיכום

תרגול נוסף

במקבילית ABCD נסמן $AB⃗=u⃗, AD⃗=v⃗$ . הביעו את האלכסונים AC⃗ ו-BD⃗.

במנסרה ABCA'B'C' נסמן $AB⃗=u⃗, AC⃗=v⃗, AA'⃗=w⃗$ . הביעו את A'C⃗.

בפירמידה משולשת $ABCD: AB⃗=u⃗, AC⃗=v⃗, AD⃗=w⃗$ . נקודה N מקיימת $AN⃗=\frac{1}{2}u⃗+\frac{1}{2}v⃗$ . באיזה מישור נמצאת N?

במשולש ABC, M אמצע AB ו-N אמצע AC. הוכיחו $MN⃗ = \frac{1}{2}BC⃗ ($ ומכאן MN ∥ BC, ואורכו מחצית).