מושג הווקטור: אורך, כיוון, וקטורים שווים ונגדיים

מבוא

מטרות השיעור

להבין מהו וקטור: קטע מכוון המאופיין באורך ובכיוון
לדעת לסמן וקטור בעזרת נקודות הקצה שלו, למשל $A B$ , ולהבין מהו וקטור האפס
להגדיר את אורך הווקטור ולסמנו $∣ A B ∣$
להבחין בין וקטורים שווים (אותו אורך ואותו כיוון) לבין וקטורים נגדיים (אותו אורך, כיוון הפוך)
להבין שווקטור אינו "קשור" לנקודת התחלה — אפשר להזיזו במקביל לעצמו והוא נשאר אותו וקטור

הרעיון המרכזי

הגדרה: וקטור

וקטור הוא קטע מכוון: קטע ישר שמסמנים עליו כיוון (חץ) מנקודת התחלה אל נקודת סוף. וקטור היוצא מנקודה A אל נקודה B מסומן $A B$ (לעיתים גם באות בודדת, כמו $u$ ).

וקטור נקבע באופן מלא על ידי שני נתונים בלבד:

האורך (הגודל) שלו — המרחק בין נקודות הקצה.
הכיוון שלו.

מיקום נקודת ההתחלה אינו חלק מההגדרה. לכן אפשר להעתיק וקטור במקביל לעצמו לכל מקום במישור או במרחב — והוא נשאר אותו וקטור.

אורך הווקטור ווקטור האפס

אורך הווקטור $A B$ מסומן $∣ A B ∣$ והוא שווה לאורך הקטע AB. האורך הוא תמיד מספר אי-שלילי: $∣ A B ∣ \geq 0$ .

וקטור האפס הוא הווקטור שאורכו 0, כלומר נקודת ההתחלה ונקודת הסוף מתלכדות ( $AA$ ). מסמנים אותו $0$ . לווקטור האפס אין כיוון מוגדר.

וקטורים שווים ווקטורים נגדיים

וקטורים שווים: שני וקטורים שווים אם ורק אם יש להם אותו אורך וגם אותו כיוון — לא משנה היכן הם מצוירים. שוויון אורך לבדו אינו מספיק!

וקטורים נגדיים: שני וקטורים בעלי אותו אורך אך כיוון הפוך נקראים נגדיים. הנגדי של $A B$ הוא $B A$ , ומסמנים $B A = - A B$ .

שימו לב: $A B$ ו- $B A$ הם אותו קטע אך לא אותו וקטור.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: וקטורים שווים במקבילית

במקבילית ABCD, איזה וקטור שווה ל-AB⃗? (AB מקביל ושווה ל-DC)

A B = D C, C D = - A B

שלב 1 — מה דרוש לשוויון

כדי ששני וקטורים יהיו שווים צריך אותו אורך וגם אותו כיוון. הווקטור AB⃗ מצביע מ-A אל B.

בדיקה מהירה

בשרטוט נתונה מקבילית ABCD: הקודקודים מסומנים בכיוון השעון כך ש-AB מקביל ושווה ל-DC, ו-AD מקביל ושווה ל-BC. איזה מהווקטורים הבאים שווה לווקטור AB⃗?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: אורך וקטור בעזרת משפט פיתגורס

במלבן ABCD נתון $AB=6, BC=8$ . מהו אורך הווקטור AC⃗?

∣ A C ∣ = 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10

שלב 1 — אורך הווקטור = אורך הקטע

הווקטור AC⃗ הוא אלכסון המלבן מ-A אל C, ואורכו |AC⃗| שווה לאורך הקטע AC.

בדיקה מהירה

וקטור הוא קטע מכוון. אילו שני נתונים מאפיינים אותו באופן מלא?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בשרטוט נתון מלבן ABCD שבו $AB = 6$ ו- $BC = 8 (AB$ ו-CD הצלעות האופקיות, BC ו-AD האנכיות). חשבו את אורך הווקטור AC⃗, כלומר את |AC⃗| (האלכסון מ-A אל C).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: וקטורים שווים בתיבה (גוף במרחב)

בתיבה ABCDA'B'C'D' (בסיס מלבני, מקצועות AA',BB',CC',DD' אנכיים), אילו וקטורים שווים ל-AB⃗?

A B = D C = A^{'} B^{'} = D^{'} C^{'}

שלב 1 — מזהים צלעות מקבילות ל-AB

בתיבה ארבע הצלעות AB, DC, A'B', D'C' מקבילות זו לזו ושוות באורכן.

דוגמה 4: וקטורים נגדיים במנסרה ישרה

במנסרה ישרה משולשת ABCA'B'C', הביעו את הקשר בין AA'⃗, BB'⃗ ובין B'B⃗.

A A^{'} = B B^{'} = C C^{'}, B^{'} B = - A A^{'}

שלב 1 — המקצועות הצדדיים

במנסרה ישרה המקצועות הצדדיים AA', BB', CC' מקבילים, שווים באורכם, וכולם מכוונים מהבסיס התחתון אל העליון.

בדיקה מהירה

בחירה מרובה

בשרטוט נתונה מנסרה ישרה משולשת ABCA'B'C': הבסיס התחתון הוא המשולש ABC, הבסיס העליון הוא המשולש A'B'C' מעליו, והמקצועות הצדדיים AA', BB', CC' אנכיים, מקבילים ושווים באורכם. בחרו את כל הטענות הנכונות.

בחרו את כל התשובות הנכונות

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים ש- $AB⃗ = BA⃗$

לשני הווקטורים אותו אורך, אבל $A B$ מצביע מ-A אל B ו- $B A$ מצביע מ-B אל A.

למה זה קורה?

מתבוננים בקטע ושוכחים שלווקטור יש כיוון.

איך מתקנים?

AB⃗ ו-BA⃗ הם אותו קטע אך כיוונם הפוך, ולכן הם נגדיים:

BA⃗ = -AB⃗

טעות נפוצה: מזהים וקטורים שווים רק על אותו ישר

בתיבה $A B = D^{'} C^{'}$ למרות שהם בקצוות שונים של הגוף — אותו אורך ואותו כיוון.

למה זה קורה?

חושבים שווקטור 'קשור' למקום שבו הוא מצויר.

איך מתקנים?

וקטור נקבע על ידי אורך וכיוון בלבד. אפשר להזיזו במקביל לעצמו לכל מקום — הוא נשאר אותו וקטור.

טעות נפוצה: חושבים ששוויון אורך מספיק לשוויון וקטורים

$∣ A B ∣ = ∣ A D ∣$ במעוין, אך הכיוונים שונים ולכן $A B \neq = A D$ .

למה זה קורה?

שמים לב רק לגודל ומתעלמים מהכיוון.

איך מתקנים?

שוויון וקטורים דורש אותו אורך וגם אותו כיוון. במעוין כל הצלעות שוות, אבל

AB⃗ \ne AD⃗

כי כיוונן שונה.

סיכום

מה למדנו?

מושג הווקטור:

וקטור הוא קטע מכוון, ונקבע על ידי אורך וכיוון בלבד (לא על ידי מיקום).
אורך הווקטור $∣ A B ∣$ שווה לאורך הקטע ותמיד אי-שלילי; וקטור האפס $0$ אורכו 0.
וקטורים שווים: אותו אורך וגם אותו כיוון.
וקטורים נגדיים: אותו אורך, כיוון הפוך, $B A = - A B$ .

זכרו: שוויון אורך לבדו אינו מספיק — חייבים גם שוויון כיוון.

בשיעור הבא נלמד על וקטורים קולינאריים ונזהה אותם בעזרת גופים במרחב!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על זיהוי וקטורים שווים ונגדיים וחישוב אורכים!

מושג הווקטור: אורך, כיוון, וקטורים שווים ונגדיים

מושג הווקטור: אורך, כיוון, וקטורים שווים ונגדיים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: וקטורים שווים במקבילית

במקבילית ABCD, איזה וקטור שווה ל-AB⃗? (AB מקביל ושווה ל-DC)

דוגמה 2: אורך וקטור בעזרת משפט פיתגורס

במלבן ABCD נתון AB=6,BC=8AB=6, BC=8AB=6,BC=8. מהו אורך הווקטור AC⃗?

דוגמה 3: וקטורים שווים בתיבה (גוף במרחב)

בתיבה ABCDA'B'C'D' (בסיס מלבני, מקצועות AA',BB',CC',DD' אנכיים), אילו וקטורים שווים ל-AB⃗?

דוגמה 4: וקטורים נגדיים במנסרה ישרה

במנסרה ישרה משולשת ABCA'B'C', הביעו את הקשר בין AA'⃗, BB'⃗ ובין B'B⃗.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים ש-AB⃗=BA⃗AB⃗ = BA⃗AB⃗=BA⃗

טעות נפוצה: מזהים וקטורים שווים רק על אותו ישר

טעות נפוצה: חושבים ששוויון אורך מספיק לשוויון וקטורים

סיכום

תרגול נוסף

במלבן ABCD נתון $AB=6, BC=8$ . מהו אורך הווקטור AC⃗?

טעות נפוצה: חושבים ש- $AB⃗ = BA⃗$