פתחנו את המשוואה הכללית $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$: $x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2$ $x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)=0$

זוהי תבנית מהצורה $x^2+y^2+Cx+Dy+E=0$ עם C=-2a, D=-2b, $E=a^2+b^2-r^2$. השלמה לריבוע היא הדרך ההפוכה: מהתבנית הפתוחה חוזרים לצורה הסגורה.

נתון $x^2+y^2+Cx+Dy+E=0$. נשלים לריבוע בכל משתנה בנפרד: $x^2+Cx={\left(x+\frac{C}{2}\right)}^2-\frac{C^2}{4}$ $y^2+Dy={\left(y+\frac{D}{2}\right)}^2-\frac{D^2}{4}$

נציב ונעביר אגפים: ${\left(x+\frac{C}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{D}{2}\right)}^2=\frac{C^2}{4}+\frac{D^2}{4}-E=\frac{C^2+D^2-4E}{4}$

לפי המשוואה הכללית, זהו מעגל שמרכזו $\left(-\frac{C}{2},-\frac{D}{2}\right)$ ורדיוסו $r^2=\frac{C^2+D^2-4E}{4}$.

האגף הימני שווה ל-$r^2$, אך סכום שני ריבועים אינו יכול להיות שלילי. לכן מספר הפתרונות תלוי בסימן $C^2+D^2-4E$:

• אם $C^2+D^2-4E>0$ — האגף הימני חיובי, יש מעגל ממשי עם $r=\frac{\sqrt{C^2+D^2-4E}}{2}$.
• אם $C^2+D^2-4E=0$ — האגף הימני אפס, סכום הריבועים מתאפס רק בנקודה אחת: $\left(-\frac{C}{2},-\frac{D}{2}\right)$ — נקודה בודדת (מעגל מנוון, r=0).
• אם $C^2+D^2-4E<0$ — האגף הימני שלילי, אין אף פתרון — הקבוצה הריקה.

המיון לעיל תקף רק כשמקדם $x^2$ שווה למקדם $y^2$ ואין איבר מעורב xy. אם המקדם אינו 1 — מחלקים תחילה את כל המשוואה במקדם זה. למשל $2x^2+2y^2-4x+8y-6=0$ ⟸ מחלקים ב-2 ⟸ $x^2+y^2-2x+4y-3=0$, ורק אז קוראים C,D,E.