גאומטריה אנליטית: המעגל

יחידה זו מציגה את המעגל בכלים של גאומטריה אנליטית, ברמת 5 יח"ל שבה ההוכחה עומדת במרכז. נפתח בהגדרת המעגל כמקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה נתונה (המרכז) קבוע (הרדיוס), ונגזור ממנה — בעזרת נוסחת המרחק — את המשוואה הקנונית $x^{2}+y^{2}=r^{2} ($מעגל שמרכזו בראשית) ואת המשוואה הכללית $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$, שאותה נבין כהזזה של המעגל הקנוני. לאחר מכן נלמד לזהות מתי תבנית מהצורה $x^{2}+y^{2}+Cx+Dy+E=0$ מייצגת מעגל: בעזרת השלמה לריבוע נמצא את המרכז ואת הרדיוס, ונקבע לאילו ערכי C, D, E מתקבל מעגל ממשי (כאשר $C^{2}+D^{2}-4E>0)$, נקודה בודדת או קבוצה ריקה. נמשיך למשיק למעגל בנקודה שעליו — הניצב לרדיוס בנקודת ההשקה — וללימוד המצבים ההדדיים בין מעגל לישר ובין שני מעגלים (חיתוך, השקה מבחוץ ומבפנים, הכלה וזרות) באמצעות השוואת מרחק לרדיוס. לסיום נפתור בעיות מציאת מקום גאומטרי שמתגלה כמעגל, ובהן מעגל אפולוניוס (יחס מרחקים קבוע). כל טענה מנומקת, וכל משוואה נגזרת מההגדרה.