הגדרת המעגל ומשוואתו הקנונית

מבוא

מטרות השיעור

להגדיר מעגל כמקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן ממרכז נתון שווה לקבוע (הרדיוס)
לגזור מההגדרה, בעזרת נוסחת המרחק, את המשוואה הקנונית $x^{2} + y^{2} = r^{2}$
לגזור את המשוואה הכללית $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ ולזהות ממנה מרכז ורדיוס
להבין את המעגל הכללי כהזזה (הסטה מקבילה לצירים) של המעגל הקנוני
לקבוע אם נקודה נמצאת על המעגל, בתוכו או מחוצה לו

הרעיון המרכזי

הגדרת המעגל כמקום גאומטרי

מעגל הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה קבועה נתונה הוא גודל קבוע.

הנקודה הקבועה נקראת מרכז המעגל ומסומנת לרוב M(a,b).
המרחק הקבוע נקרא רדיוס המעגל ומסומן r>0.

"מקום גאומטרי" פירושו אוסף כל הנקודות שמקיימות תכונה נתונה — ורק הן. כאן התכונה היא: המרחק מהמרכז שווה בדיוק ל-r.

גזירת המשוואה הקנונית (מרכז בראשית)

נתחיל במעגל שמרכזו בראשית הצירים O(0,0) ורדיוסו r. נקודה P(x,y) נמצאת על המעגל אם ורק אם מרחקה מהראשית שווה ל-r.

לפי נוסחת המרחק מהראשית: $x^{2} + y^{2} = r$

שני האגפים אי-שליליים, ולכן העלאה בריבוע היא פעולה שקולה (אינה מוסיפה ואינה מאבדת פתרונות): $x^{2} + y^{2} = r^{2}$

זוהי המשוואה הקנונית של המעגל. מעגל שמרכזו בראשית נקרא מעגל קנוני.

גזירת המשוואה הכללית (מרכז כלשהו) — הזזה

כעת המרכז הוא נקודה כלשהי M(a,b). נקודה P(x,y) על המעגל מקיימת: מרחקה מ-M שווה ל-r. לפי נוסחת המרחק בין שתי נקודות: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r$

נעלה בריבוע (שני האגפים אי-שליליים) ונקבל את המשוואה הכללית של המעגל: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

פרשנות כהזזה: המעגל הכללי הוא בדיוק המעגל הקנוני $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ לאחר הזזה שמעבירה את הראשית אל (a,b). ההצבה $x \to x - a$ , $y \to y - b$ "מזיזה" את המרכז ל-(a,b) בלי לשנות את הרדיוס.

מי קובע מה: r לעומת $r^{2}$ , וסימני המרכז

שתי מלכודות נפוצות שכדאי לקבע מראש:

האגף הימני הוא $r^{2}$ , לא r. אם המשוואה היא $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = 25$ , אז $r = 25 = 5$ .
הסוגריים הם (x-a) ו-(y-b), ולכן הסימן מתהפך: מ- $(x - 3)^{2} + (y + 4)^{2}$ מקבלים a=3 ו-b=-4 (כי y+4=y-(-4)), כלומר המרכז הוא (3,-4).

נקודה P נמצאת על המעגל אם $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ , בתוכו אם הביטוי קטן מ- $r^{2}$ , ומחוצה לו אם הוא גדול מ- $r^{2}$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מרכז ורדיוס מתוך המשוואה הכללית

מצאו את המרכז והרדיוס של המעגל $(x-2)^{2}+(y+5)^{2}=36$ .

(x - 2)^{2} + (y + 5)^{2} = 36 \Rightarrow M (2, - 5), r = 36 = 6

שלב 1 — מזהים את התבנית

המשוואה הכללית היא

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

. נכתוב את הנתון בצורה זו:

(x-2)^{2}+(y-(-5))^{2}=36

בדיקה מהירה

נתון המעגל הקנוני $x^{2}+y^{2}=49$ . מהו רדיוס המעגל?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתון המעגל $(x-2)^{2}+(y+5)^{2}=36$ . מהו רדיוס המעגל?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: כתיבת משוואת מעגל מנתוני מרכז ונקודה

כתבו את משוואת המעגל שמרכזו $(2,-3)$ ועובר דרך הנקודה $(5,1)$ .

r^{2} = (5 - 2)^{2} + (1 + 3)^{2} = 9 + 16 = 25, (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25

שלב 1 — הרדיוס הוא המרחק מרכז↔נקודה

הנקודה על המעגל, ולכן מרחקה מהמרכז הוא הרדיוס. נחשב

r^{2}: r^{2}=(5-2)^{2}+(1-(-3))^{2}

תשובה מספרית

מעגל שמרכזו $(2,-3)$ עובר דרך הנקודה $(5,1)$ . מהו $r^{2} ($ ריבוע הרדיוס)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מעגל מנתוני קוטר

הקטע שקצותיו $A(-2,1)$ ו- $B(4,9)$ הוא קוטר של מעגל. מצאו את משוואת המעגל.

M = (\frac{- 2 + 4}{2}, \frac{1 + 9}{2}) = (1, 5), r^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25

שלב 1 — המרכז הוא אמצע הקוטר

המרכז M הוא אמצע

AB: M=(\frac{-2+4}{2} , \frac{1+9}{2})=(1,5)

דוגמה 4: בדיקת מיקום נקודה — על, בתוך או מחוץ למעגל

נתון המעגל $(x-1)^{2}+(y-5)^{2}=25$ . קבעו עבור כל נקודה אם היא על המעגל, בתוכו או מחוצה לו: $P(4,9), Q(1,5), R(6,7)$ .

P : 25 = r^{2} (על), Q : 0 < r^{2} (בתוך), R : 29 > r^{2} (מחוץ)

שלב 1 — מציבים את P

(4-1)^{2}+(9-5)^{2}=9+16=25 = r^{2}

. לכן P על המעגל.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין r ל- $r^{2}$ באגף הימני

טעות: מהמשוואה $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = 25$ מסיקים r=25.

נכון: $r^{2} = 25$ , ולכן $r = 25 = 5$ .

למה זה קורה?

האגף הימני נראה כמו 'הרדיוס', אך הוא ריבוע הרדיוס.

איך מתקנים?

במשוואה הכללית האגף הימני הוא תמיד

r^{2}

. הוציאו שורש כדי לקבל את הרדיוס עצמו.

טעות נפוצה: שגיאת סימן בקריאת המרכז

טעות: מ- $(x - 3)^{2} + (y + 4)^{2} = r^{2}$ מסיקים מרכז (-3,4).

נכון: המרכז הוא (3,-4), כי $x - 3 \Rightarrow a = 3$ ו- $y + 4 = y - (- 4) \Rightarrow b = - 4$ .

למה זה קורה?

לא שמים לב שהתבנית היא

(x-a)

ו-

(y-b)

, ולכן הסימן מתהפך.

איך מתקנים?

כתבו כל סוגריים בצורה

(x-a):

מ-

(y+4)

קוראים

y-(-4)

, כלומר

b=-4

טעות נפוצה: חושבים שכל ערך שאינו $r^{2}$ אומר 'הנקודה לא קשורה למעגל'

עבור $(x - 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 25$ : הנקודה R(6,7) נותנת 29>25 — לכן R מחוץ למעגל, לא 'בלתי קשורה'.

למה זה קורה?

זוכרים רק את תנאי 'על המעגל

' (=r^{2})

ולא את המשמעות של אי-שוויון.

איך מתקנים?

ערך גדול מ-

r^{2}

פירושו מחוץ למעגל; ערך קטן ממנו פירושו בתוך המעגל.

טעות נפוצה: שוכחים להעלות בריבוע (או מעלים בריבוע אגף בודד)

טעות: כותבים את משוואת המעגל כ- $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ .

נכון: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ — הריבוע מבטל את השורש בשני האגפים גם יחד.

למה זה קורה?

מתחילים מנוסחת המרחק עם שורש ולא מנקים אותו נכון.

איך מתקנים?

מנוסחת המרחק

\sqrt{(x-a}^{2}+(y-b)^{2})=r

מעלים בריבוע את שני האגפים יחד:

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

תשובה מספרית

הקטע שקצותיו $A(-2,1)$ ו- $B(4,9)$ הוא קוטר של מעגל. מהו רדיוס המעגל?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

המעגל בגאומטריה אנליטית:

הגדרה: מעגל = מקום גאומטרי של נקודות שמרחקן ממרכז M(a,b) קבוע ושווה ל-r.
משוואה קנונית (מרכז בראשית): $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ .
משוואה כללית (מרכז M(a,b)): $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ — הזזה של המעגל הקנוני.
מיקום נקודה: $= r^{2}$ על המעגל, $< r^{2}$ בתוכו, $> r^{2}$ מחוצה לו.

זכרו:

האגף הימני הוא $r^{2}$ , לא r.
הסימן מתהפך: (y+b) פירושו מרכז עם רכיב -b.

בשיעור הבא נלמד לזהות מעגל מתבנית פתוחה $x^{2} + y^{2} + C x + Dy + E = 0$ בעזרת השלמה לריבוע.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הגדרת המעגל, זיהוי מרכז ורדיוס וכתיבת משוואות מעגל!

הגדרת המעגל ומשוואתו הקנונית

הגדרת המעגל ומשוואתו הקנונית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מרכז ורדיוס מתוך המשוואה הכללית

מצאו את המרכז והרדיוס של המעגל (x−2)2+(y+5)2=36(x-2)^{2}+(y+5)^{2}=36(x−2)2+(y+5)2=36.

דוגמה 2: כתיבת משוואת מעגל מנתוני מרכז ונקודה

כתבו את משוואת המעגל שמרכזו (2,−3)(2,-3)(2,−3) ועובר דרך הנקודה (5,1)(5,1)(5,1).

דוגמה 3: מעגל מנתוני קוטר

הקטע שקצותיו A(−2,1)A(-2,1)A(−2,1) ו-B(4,9)B(4,9)B(4,9) הוא קוטר של מעגל. מצאו את משוואת המעגל.

דוגמה 4: בדיקת מיקום נקודה — על, בתוך או מחוץ למעגל

נתון המעגל (x−1)2+(y−5)2=25(x-1)^{2}+(y-5)^{2}=25(x−1)2+(y−5)2=25. קבעו עבור כל נקודה אם היא על המעגל, בתוכו או מחוצה לו: P(4,9),Q(1,5),R(6,7)P(4,9), Q(1,5), R(6,7)P(4,9),Q(1,5),R(6,7).

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין r ל-r2r^{2}r2 באגף הימני

טעות נפוצה: שגיאת סימן בקריאת המרכז

טעות נפוצה: חושבים שכל ערך שאינו r2r^{2}r2 אומר 'הנקודה לא קשורה למעגל'

טעות נפוצה: שוכחים להעלות בריבוע (או מעלים בריבוע אגף בודד)

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את המרכז והרדיוס של המעגל $(x-2)^{2}+(y+5)^{2}=36$ .

כתבו את משוואת המעגל שמרכזו $(2,-3)$ ועובר דרך הנקודה $(5,1)$ .

הקטע שקצותיו $A(-2,1)$ ו- $B(4,9)$ הוא קוטר של מעגל. מצאו את משוואת המעגל.

נתון המעגל $(x-1)^{2}+(y-5)^{2}=25$ . קבעו עבור כל נקודה אם היא על המעגל, בתוכו או מחוצה לו: $P(4,9), Q(1,5), R(6,7)$ .

טעות נפוצה: מבלבלים בין r ל- $r^{2}$ באגף הימני

טעות נפוצה: חושבים שכל ערך שאינו $r^{2}$ אומר 'הנקודה לא קשורה למעגל'