מקום גאומטרי שהוא מעגל

מבוא

מטרות השיעור

לתרגם תנאי גאומטרי על נקודה כללית P(x,y) לביטוי אלגברי בקואורדינטות
לפשט עד למשוואת מעגל ולזהות מרכז ורדיוס
להבחין בין מקום שהוא מעגל לבין מקום שהוא ישר (למשל אנך אמצעי)
להכיר את מעגל אפולוניוס: יחס מרחקים קבוע $P A = k \cdot PB$ ( $k \neq = 1$ )
להשלים הוכחה בשני הכיוונים: כל נקודה על המקום מקיימת את המשוואה, ולהפך

הרעיון המרכזי

מהי בעיית מקום גאומטרי

מקום גאומטרי הוא אוסף כל הנקודות — ורק הן — המקיימות תכונה נתונה. בגאומטריה אנליטית פותרים כך:

מסמנים נקודה כללית P(x,y) על המקום ומנסחים את התנאי.
מתרגמים את התנאי לאלגברה (נוסחת מרחק, מכפלה סקלרית), ומעלים בריבוע אם צריך.
מפשטים ומשלימים לריבוע עד למשוואת מעגל, ומזהים מרכז ורדיוס.
מוכיחים את שני הכיוונים.

שני הכיוונים — למה זה הכרחי

הוכחת מקום היא תמיד דו-כיוונית:

כיוון אחד: כל נקודה השייכת למקום מקיימת את המשוואה (גזרנו אותה מהתנאי).
כיוון הפוך: כל נקודה המקיימת את המשוואה אכן שייכת למקום (התנאי מתקיים בה).

כשכל המעברים שעשינו הם שקולים (במיוחד העלאה בריבוע של אגפים אי-שליליים), שני הכיוונים מתקיימים יחד. אם אינם שקולים — יש לבדוק את הכיוון ההפוך בנפרד ולפסול נקודות "זרות".

לא כל מקום במרחקים הוא מעגל

חשוב להבחין: מקום המוגדר במרחקים אינו תמיד מעגל.

מרחק קבוע מנקודה אחת ⟸ מעגל.
מרחקים שווים משתי נקודות (PA=PB) ⟸ אנך אמצעי (ישר): האיברים $x^{2}, y^{2}$ מצטמצמים ונותרת משוואה לינארית.
יחס מרחקים קבוע $P A = k \cdot PB$ עם $k \neq = 1$ ⟸ מעגל אפולוניוס.

מעגל אפולוניוס — לרבע, לא להשאיר שורש

בתנאי $P A = k \cdot PB$ עוברים תמיד ל- $P A^{2} = k^{2} \cdot P B^{2}$ לפני ההצבה. כך נפטרים מהשורשים ומקבלים משוואה ריבועית, שלאחר השלמה לריבוע מתגלה כמעגל. הצבת $P A = k \cdot PB$ ישירות (בלי ריבוע) מאבדת את האיברים הריבועיים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: המקום הבסיסי — מרחק קבוע מנקודה

מצאו את המקום של הנקודות P שמרחקן מ- $A(2,-3)$ שווה ל-5.

(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 5 \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25

שלב 1 — מנסחים את התנאי

P(x,y) על המקום

⟺ PA=5

, כלומר

\sqrt{(x-2}^{2}+(y+3)^{2})=5

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: המקום הגאומטרי של הנקודות P שמרחקן משתי נקודות קבועות שונות A ו-B שווה $(PA=PB)$ הוא מעגל.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מקום של אמצעי קטעים

Q נעה על המעגל $x^{2}+y^{2}=36$ , ו-P אמצע OQ (O הראשית). מצאו את מקום P.

(2 x)^{2} + (2 y)^{2} = 36 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 9

שלב 1 — מבטאים את Q דרך P

P(x,y) אמצע OQ, ו-O הראשית, ולכן

Q=2P=(2x,2y)

דוגמה 3: מעגל ת'אלס — זווית ישרה (מכפלה סקלרית)

$A(-2,0), B(4,0)$ . מצאו את מקום הנקודות P שעבורן $\angle APB=90^{\circ} (PA⊥PB)$ .

(- 2 - x) (4 - x) + y^{2} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} = 9

שלב 1 — מנסחים ניצבות כמכפלה סקלרית

PA=(-2-x,-y), PB=(4-x,-y). PA⊥PB ⟺ PA \cdot PB=0

תשובה מספרית

נתונות הנקודות $A(-2,0)$ ו- $B(4,0)$ . המקום הגאומטרי של הנקודות P שעבורן הזווית ∠APB ישרה (כלומר PA⊥PB) הוא מעגל. מהו רדיוסו?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מעגל אפולוניוס — יחס מרחקים קבוע

$A(0,0), B(3,0)$ . מצאו את מקום הנקודות P שעבורן $PA=2 \cdot PB$ .

x^{2} + y^{2} = 4 ((x - 3)^{2} + y^{2}) \Rightarrow (x - 4)^{2} + y^{2} = 4

שלב 1 — מרבעים את התנאי

PA=2 \cdot PB ⟸ PA^{2}=4 \cdot PB^{2} ⟸ x^{2}+y^{2}=4 \cdot ((x-3)^{2}+y^{2})

תשובה קצרה

הנקודה Q נעה על המעגל $x^{2}+y^{2}=36$ . הנקודה P היא אמצע הקטע OQ (O הראשית). מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של P (רשמו בצורה $x^{2}+y^{2}=k)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

נתונות הנקודות $A(0,0)$ ו- $B(3,0)$ . המקום הגאומטרי של הנקודות P שעבורן $PA=2 \cdot PB ($ מעגל אפולוניוס) הוא מעגל. מהו רדיוסו?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מניחים שכל מקום במרחקים הוא מעגל

PA=PB נותן x=3 — ישר (אנך אמצעי), לא מעגל.

למה זה קורה?

ההגדרה של מעגל (מרחק קבוע מנקודה) דומה לתנאים אחרים, ולא בודקים.

איך מתקנים?

תרגמו לאלגברה ובדקו: אם האיברים

x^{2},y^{2}

מצטמצמים — זהו ישר; אם נשארים בצורה סימטרית — בדקו אם זהו מעגל.

טעות נפוצה: במעגל אפולוניוס מציבים $PA=k \cdot PB$ בלי לרבע

נכון: $P A^{2} = 4 P B^{2}$ , לא PA=2PB בתוך החישוב.

למה זה קורה?

מנסים לעבוד עם השורשים ישירות.

איך מתקנים?

עברו תמיד ל-

PA^{2}=k^{2} \cdot PB^{2}

לפני ההצבה — אחרת מאבדים את האיברים הריבועיים שיוצרים את המעגל.

טעות נפוצה: מוכיחים כיוון אחד בלבד

ההוכחה השלמה: נקודה על המקום ⟺ נקודה המקיימת את משוואת המעגל.

למה זה קורה?

מסתפקים בגזירת המשוואה מהתנאי, בלי לוודא את הכיוון ההפוך.

איך מתקנים?

ודאו ששני הכיוונים מתקיימים. כשכל המעברים שקולים (כולל ריבוע של אגפים אי-שליליים) — שני הכיוונים מובטחים יחד; אחרת בדקו בנפרד.

טעות נפוצה: שגיאת סימן בווקטורים PA, PB

חישבו $(A - P) \cdot (B - P) = 0$ בעקביות, ופתחו בזהירות את המכפלה.

למה זה קורה?

מבלבלים בין

A-P

ל-

P-A

בחישוב המכפלה הסקלרית.

איך מתקנים?

לבדיקת ניצבות הסימן הכולל אינו משנה

(PA \cdot PB=0 ⟺ (A-P) \cdot (B-P)=0)

, אך היו עקביים בכל החישוב.

סיכום

מה למדנו?

מקום גאומטרי שהוא מעגל:

שיטה: מסמנים P(x,y) ⟸ מתרגמים את התנאי לאלגברה ⟸ מרבעים ⟸ משלימים לריבוע ⟸ מזהים מרכז ורדיוס.
דוגמאות מובילות: מרחק קבוע מנקודה (מעגל); זווית ישרה $P A ⊥ PB$ (מעגל ת'אלס); יחס מרחקים $P A = k \cdot PB$ (מעגל אפולוניוס).
לא כל מקום הוא מעגל: PA=PB ⟸ אנך אמצעי (ישר).
הוכחה דו-כיוונית היא חלק בלתי נפרד מהפתרון.

זהו השיעור המסכם של יחידת המעגל — שילבנו בו את ההגדרה, ההשלמה לריבוע, המשיק והמצבים ההדדיים לכלל בעיית הוכחה אחת.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על בעיות מקום גאומטרי שמתגלות כמעגל, כולל מעגל אפולוניוס!

מקום גאומטרי שהוא מעגל

מקום גאומטרי שהוא מעגל

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: המקום הבסיסי — מרחק קבוע מנקודה

מצאו את המקום של הנקודות P שמרחקן מ-A(2,−3)A(2,-3)A(2,−3) שווה ל-5.

דוגמה 2: מקום של אמצעי קטעים

Q נעה על המעגל x2+y2=36x^{2}+y^{2}=36x2+y2=36, ו-P אמצע OQ (O הראשית). מצאו את מקום P.

דוגמה 3: מעגל ת'אלס — זווית ישרה (מכפלה סקלרית)

A(−2,0),B(4,0)A(-2,0), B(4,0)A(−2,0),B(4,0). מצאו את מקום הנקודות P שעבורן ∠APB=90∘(PA⊥PB)\angle APB=90^{\circ} (PA⊥PB)∠APB=90∘(PA⊥PB).

דוגמה 4: מעגל אפולוניוס — יחס מרחקים קבוע

A(0,0),B(3,0)A(0,0), B(3,0)A(0,0),B(3,0). מצאו את מקום הנקודות P שעבורן PA=2⋅PBPA=2 \cdot PBPA=2⋅PB.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מניחים שכל מקום במרחקים הוא מעגל

טעות נפוצה: במעגל אפולוניוס מציבים PA=k⋅PBPA=k \cdot PBPA=k⋅PB בלי לרבע

טעות נפוצה: מוכיחים כיוון אחד בלבד

טעות נפוצה: שגיאת סימן בווקטורים PA, PB

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את המקום של הנקודות P שמרחקן מ- $A(2,-3)$ שווה ל-5.

Q נעה על המעגל $x^{2}+y^{2}=36$ , ו-P אמצע OQ (O הראשית). מצאו את מקום P.

$A(-2,0), B(4,0)$ . מצאו את מקום הנקודות P שעבורן $\angle APB=90^{\circ} (PA⊥PB)$ .

$A(0,0), B(3,0)$ . מצאו את מקום הנקודות P שעבורן $PA=2 \cdot PB$ .

טעות נפוצה: במעגל אפולוניוס מציבים $PA=k \cdot PB$ בלי לרבע