מהגאומטריה האוקלידית: המשיק למעגל בנקודה P שעליו נוגע במעגל ב-P בלבד, ומאונך לרדיוס MP. זוהי נקודת המוצא לבניית משוואת המשיק בגאומטריה אנליטית: שיפוע המשיק הוא הנגדי ההופכי של שיפוע הרדיוס.

נתון מעגל קנוני $x^2+y^2=r^2$ ונקודה $P(x_0,y_0)$ שעליו. שיפוע הרדיוס OP הוא $\frac{y_0}{x_0}$, ולכן שיפוע המשיק (הניצב לו) הוא $-\frac{x_0}{y_0}$. משוואת הישר דרך P: $y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}(x-x_0)$

נכפול ב-$y_0$ ונפתח: $y_{0}y-y_0^2=-x_{0}x+x_0^2\Rightarrow x_{0}x+y_{0}y=x_0^2+y_0^2$

אך P על המעגל, ולכן $x_0^2+y_0^2=r^2$. קיבלנו את נוסחת המשיק: $x_{0}x+y_{0}y=r^2$

באותו אופן, למעגל $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ המשיק בנקודה $P(x_0,y_0)$ שעליו הוא: $(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$

(מתקבל מהדרישה שהישר דרך P ניצב לרדיוס MP שכיוונו $(x_0-a,y_0-b)$, ושימוש בכך ש-P על המעגל.) תמיד מוודאים תחילה שהנקודה אכן על המעגל.

יהי d המרחק ממרכז המעגל אל הישר (נוסחת מרחק נקודה–ישר). משווים ל-r:

• d<r — הישר חותך את המעגל בשתי נקודות (ישר חותך).
• d=r — הישר משיק למעגל (נקודה אחת).
• d>r — הישר זר למעגל (אין נקודות מפגש).

מרחק נקודה $(x_0,y_0)$ לישר Ax+By+C=0: $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.

יהיו שני מעגלים עם מרכזים $M_1,M_2$, רדיוסים $r_1,r_2$, ומרחק בין המרכזים $d=|M_1{M}_2|$:

• $d>r_1+r_2$ — זרים מבחוץ (אין נקודות משותפות).
• $d=r_1+r_2$ — משיקים מבחוץ (נקודה אחת).
• $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$ — נחתכים בשתי נקודות.
• $d=|r_1-r_2|$ — משיקים מבפנים (נקודה אחת).
• $d<|r_1-r_2|$ — מעגל אחד מוכל בשני, ללא נקודות משותפות.