בהינתן שתי נקודות קבועות $F_1$ ו-$F_2$ במישור (המוקדים, foci) וקבוע חיובי 2a הגדול מהמרחק $F_1{F}_2$, האליפסה היא אוסף כל הנקודות P במישור המקיימות:

כלומר — סכום המרחקים משני המוקדים הוא קבוע. (השוו: במעגל, המרחק מנקודה אחת קבוע; באליפסה, סכום המרחקים משתי נקודות קבוע.)

כדי לקבל משוואה פשוטה נבחר מערכת צירים שבה המוקדים סימטריים ביחס לראשית ומונחים על ציר ה-x: $F_1(-c,0),F_2(c,0)(c>0)$

הראשית היא מרכז האליפסה, ושני הצירים הם צירי סימטריה. נשים לב מראש שכדי שתתקבל אליפסה אמיתית חייב להתקיים 2a>2c, כלומר a>c.

נכתוב את תנאי האליפסה לנקודה P(x,y) בעזרת נוסחת המרחק: $\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=2a$

שלב א — בידוד שורש והעלאה בריבוע. נעביר שורש אחד אגף ונעלה בריבוע: $\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$ $(x+c{)}^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+(x-c{)}^2+y^2$

שלב ב — פתיחה וצמצום. נפתח: $(x+c{)}^2-(x-c{)}^2=4cx$, ולכן $4cx=4a^2-4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$ $a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=a^2-cx$

שלב ג — העלאה בריבוע שנייה. $a^2[(x-c{)}^2+y^2]=a^4-2a^{2}cx+c^2{x}^2$ $a^2{x}^2-2a^{2}cx+a^2{c}^2+a^2{y}^2=a^4-2a^{2}cx+c^2{x}^2$ $(a^2-c^2)x^2+a^2{y}^2=a^2(a^2-c^2)$

שלב ד — הצבת $b^2=a^2-c^2$. מכיוון ש-a>c, הגודל $a^2-c^2$ חיובי ונסמן אותו $b^2$. נחלק את שני האגפים ב-$a^2{b}^2$:

זוהי המשוואה הקנונית. הקשר ההפוך הוא $c^2=a^2-b^2$. מ.ש.ל.

• קודקודים על ציר ה-x: הצבת y=0 נותנת $x=\pm a$ — הקודקודים $(\pm a,0)$. אורך הציר הגדול הוא 2a.
• קודקודים על ציר ה-y: הצבת x=0 נותנת $y=\pm b$ — הקודקודים $(0,\pm b)$. אורך הציר הקצר הוא 2b.
• מוקדים: $(\pm c,0)$ עם $c=\sqrt{a^2-b^2}$.
• אם דווקא המכנה של $y^2$ גדול יותר, הציר הגדול אנכי, המוקדים על ציר ה-y, ומתקיים $c^2=b^2-a^2$.

ניקח את המעגל $x^2+y^2=a^2$ ו"נכווץ" אותו לכיוון ציר ה-x על ידי הקטנת כל שיעור y ביחס קבוע $\frac{b}{a}$ (כאשר b<a). נקודת המעגל $(x_0,y_0)$ עוברת אל $(x_0,\frac{b}{a}{y}_0)$. ההצבה $x_0=x,y_0=\frac{a}{b}y$ במשוואת המעגל נותנת $x^2+\frac{a^2}{b^2}{y}^2=a^2$, ולאחר חלוקה ב-$a^2$: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ לכן האליפסה היא מעגל "מעוך" — תמונה זו עוזרת לחשב שטחים ולהבין סימטריה.