כדי לבדוק מצב הדדי בין ישר לאליפסה מציבים את משוואת הישר במשוואת האליפסה ומקבלים משוואה ריבועית במשתנה אחד. מספר נקודות החיתוך נקבע לפי המבחין $\Delta =B^2-4AC$:

• $\Delta >0$ — שני פתרונות ⟸ הישר חותך את האליפסה בשתי נקודות.
• $\Delta =0$ — פתרון יחיד ⟸ הישר משיק לאליפסה (נקודת מגע אחת).
• $\Delta <0$ — אין פתרונות ⟸ הישר אינו פוגש את האליפסה.

חשוב: לכל פתרון x מתאים ערך y יחיד מהישר, ולכן מספר נקודות החיתוך שווה למספר פתרונות ה-x.

גם כאן מציבים. אם המעגל הוא $x^2+y^2=r^2$ והאליפסה $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, מבודדים למשל $x^2$ ממשוואה אחת ומציבים בשנייה. מתקבלת משוואה ב-$y^2$; כל ערך חיובי של $y^2$ נותן שני ערכי y (ולכן שתי נקודות סימטריות), ערך אפס נותן נקודה אחת, וערך שלילי נפסל.

כשנקודה Q נעה על עקומה ידועה ומחפשים את המקום הגאומטרי של נקודה תלויה M(x,y):

1. מבטאים את שיעורי Q באמצעות שיעורי M (ה"חדשים").
2. מציבים את הביטויים האלה במשוואה שמקיימת Q.
3. מפשטים ומקבלים את משוואת המקום הגאומטרי, ומוסיפים את המשמעות הגאומטרית (איזו עקומה התקבלה).