בהינתן שני מוקדים $F_1,F_2$ וקבוע חיובי 2a הקטן מהמרחק $F_1{F}_2$, ההיפרבולה היא אוסף כל הנקודות P המקיימות:

כלומר — הפרש המרחקים (בערך מוחלט) משני המוקדים קבוע. זהו ההבדל המהותי מהאליפסה: שם הסכום קבוע, כאן ההפרש. ערך מוחלט נחוץ כי לכל מוקד "קרוב יותר" יש ענף משלו. (השוו: באליפסה $2a>F_1{F}_2$, בהיפרבולה $2a<F_1{F}_2$.)

נבחר מוקדים סימטריים ביחס לראשית על ציר ה-x: $F_1(-c,0),F_2(c,0)(c>0)$ הראשית היא מרכז ההיפרבולה, ושני הצירים הם צירי סימטריה. מכיוון ש-2a<2c, מתקיים a<c — נקודה שתסביר מיד את הקשר $c^2=a^2+b^2$.

נכתוב את התנאי לנקודה P(x,y) (נבחר את הענף שבו $P{F}_1-P{F}_2=2a$): $\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}-\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=2a$

שלב א — בידוד והעלאה בריבוע. $\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=2a+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$ $(x+c{)}^2+y^2=4a^2+4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+(x-c{)}^2+y^2$

שלב ב — צמצום (שוב $(x+c{)}^2-(x-c{)}^2=4cx$): $4cx-4a^2=4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$ $cx-a^2=a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$

שלב ג — העלאה בריבוע שנייה. $c^2{x}^2-2a^{2}cx+a^4=a^2[(x-c{)}^2+y^2]$ $c^2{x}^2-2a^{2}cx+a^4=a^2{x}^2-2a^{2}cx+a^2{c}^2+a^2{y}^2$ $(c^2-a^2)x^2-a^2{y}^2=a^2(c^2-a^2)$

שלב ד — הצבת $b^2=c^2-a^2$. מכיוון ש-c>a, הגודל $c^2-a^2$ חיובי ונסמנו $b^2$. נחלק ב-$a^2{b}^2$:

זוהי המשוואה הקנונית. הקשר הוא $c^2=a^2+b^2$ (שימו לב: חיבור, לא חיסור כמו באליפסה). מ.ש.ל.

• קודקודים: הצבת y=0 נותנת $x=\pm a$ — הקודקודים $(\pm a,0)$. הקטע ביניהם הוא הציר הממשי (אורכו 2a).
• אין חיתוך עם ציר ה-y: הצבת x=0 נותנת $-\frac{y^2}{b^2}=1$ — אין פתרון ממשי. הקטע $(0,\pm b)$ נקרא הציר המדומה (לא נחתך, אך הוא קובע את האסימפטוטות שנלמד בהמשך).
• מוקדים: $(\pm c,0)$ עם $c=\sqrt{a^2+b^2}>a$.
• שני ענפים נפרדים: אחד מימין ($x\ge a$) ואחד משמאל ($x\le -a$).