מצבים הדדיים ומקומות גאומטריים של היפרבולה

מבוא

מטרות השיעור

לקבוע את המצב ההדדי בין ישר להיפרבולה (חותך / משיק / לא פוגש) באמצעות הצבה והמבחין
להכיר את המקרה המיוחד: ישר המקביל לאסימפטוטה חותך בנקודה אחת בלבד — אך אינו משיק
לקבוע מצב הדדי בין מעגל (שמרכזו על אחד הצירים) להיפרבולה
לפתור בעיות מקום גאומטרי שבהן העקומה המתקבלת היא היפרבולה

הרעיון המרכזי

שיטת ההצבה והמבחין

מציבים את משוואת הישר במשוואת ההיפרבולה. בדרך כלל מתקבלת משוואה ריבועית, ואז:

$Δ > 0$ — שני חיתוכים; $Δ = 0$ — השקה; $Δ < 0$ — אין מפגש.

המקרה המיוחד — ישר מקביל לאסימפטוטה

אם שיפוע הישר שווה לשיפוע אסימפטוטה ( $\pm \frac{b}{a}$ ), אז בעת ההצבה איבר ה- $x^{2}$ מצטמצם ומתקבלת משוואה לינארית — בעלת פתרון יחיד. לכן הישר חותך את ההיפרבולה בנקודה אחת בלבד, אך זו אינה השקה (כי לא התקבלה משוואה ריבועית עם פתרון כפול).

דוגמה: עבור $\frac{x ^{2}}{2} - \frac{y ^{2}}{2} = 1$ (אסימפטוטות $y = \pm x$ ), הישר y=x+1 מקביל לאסימפטוטה y=x: $x^{2} - (x + 1)^{2} = 2 \Rightarrow - 2 x - 1 = 2 \Rightarrow x = - \frac{3}{2}$ פתרון יחיד — נקודת חיתוך אחת שאינה השקה. חשוב לבדוק תמיד אם הישר מקביל לאסימפטוטה לפני שמסיקים מסקנות מהמבחין.

מצב הדדי בין מעגל להיפרבולה ובעיות מקום גאומטרי

מעגל והיפרבולה: מציבים (מבודדים $x^{2}$ או $y^{2}$ ממשוואה אחת ומציבים בשנייה) ובוחנים את מספר הפתרונות הממשיים.

מקום גאומטרי: מבטאים את שיעורי הנקודה הנעה דרך שיעורי הנקודה התלויה, מציבים במשוואה שהיא מקיימת, ומפשטים. בבעיות הגדרה ישירות — סכום קבוע נותן אליפסה, הפרש קבוע נותן היפרבולה, ומחשבים $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ישר חותך בשתי נקודות

בכמה נקודות חותך הישר $y = 5$ את ההיפרבולה $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ?

\frac{x ^{2}}{9} = \frac{41}{16} \Rightarrow x = \pm \frac{369}{4}

שלב 1 — הצבה

\frac{x^{2}}{9} - \frac{25}{16} = 1 ⟸ \frac{x^{2}}{9} = 1 + \frac{25}{16} = \frac{41}{16}

בדיקה מהירה

מהו המצב ההדדי בין הישר $y = x + 1$ לבין ההיפרבולה $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: המקרה המיוחד — מקביל לאסימפטוטה

קבעו את המצב ההדדי בין $y = x + 1$ לבין $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ .

x^{2} - (x + 1)^{2} = 2 \Rightarrow - 2 x - 1 = 2 \Rightarrow x = - \frac{3}{2}

שלב 1 — אסימפטוטות

a^{2} = b^{2} = 2 ⟸

אסימפטוטות

y = \pm x

. הישר

y = x + 1

מקביל ל-

y = x

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: ישר המקביל לאחת מאסימפטוטות ההיפרבולה (ואינו האסימפטוטה עצמה) חותך את ההיפרבולה בנקודה אחת בלבד, אך אינו משיק לה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: תנאי השקה

עבור אילו m הישר $y = 2x + m$ משיק להיפרבולה $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ ?

144 m^{2} = 1008 \Rightarrow m = \pm 7

שלב 1 — בדיקת שיפוע

שיפוע האסימפטוטה הוא

\frac{b}{a} = \frac{3}{2} = 1.5

. שיפוע הישר

2 > 1.5

, ולכן השקה אפשרית.

תשובה מספרית

עבור אילו ערכי $m > 0$ הישר $y = 2x + m$ משיק להיפרבולה $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ ? מצאו את ערך ה-m החיובי. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.02

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

מצאו את המשוואה הקנונית של המקום הגאומטרי של כל הנקודות P שהפרש מרחקיהן (בערך מוחלט) מהנקודות $F_{1}(-5, 0)$ ו- $F_{2}(5, 0)$ הוא 6.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מקום גאומטרי שהוא היפרבולה

מצאו את המקום הגאומטרי של P שהפרש מרחקיו מ- $(-5,0)$ ו- $(5,0)$ הוא 6.

2 a = 6, a^{2} = 9, b^{2} = c^{2} - a^{2} = 16, \frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1

שלב 1 — זיהוי

הפרש קבוע ⟸ היפרבולה

. c = 5 (

מהמוקדים).

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את המקרה של ישר מקביל לאסימפטוטה

y=x+1 אל מול $\frac{x ^{2}}{2} - \frac{y ^{2}}{2} = 1$ נותן משוואה לינארית, לא ריבועית.

למה זה קורה?

מסתמכים על המבחין בלבד ולא בודקים את שיפוע הישר.

איך מתקנים?

אם שיפוע הישר שווה ל-

\pm \frac{b}{a}

, איבר ה-

x^{2}

מצטמצם ומתקבלת משוואה לינארית — נקודת חיתוך אחת שאינה השקה.

טעות נפוצה: מפרשים כל חיתוך יחיד כהשקה

נקודת חיתוך אחת יכולה לנבוע מ- $Δ = 0$ (השקה) או מהיעלמות איבר ה- $x^{2}$ (מקביל לאסימפטוטה) — שני מקרים שונים.

למה זה קורה?

מזהים 'פתרון אחד' עם 'משיק' אוטומטית.

איך מתקנים?

השקה = פתרון כפול של משוואה ריבועית

(\Delta =0)

. חיתוך יחיד עקב היעלמות איבר ה-

x^{2}

הוא מצב שונה לגמרי.

טעות נפוצה: מבלבלים בין $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ ל- $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ בבעיות מקום

בהיפרבולה עם c=5,a=3: $b^{2} = c^{2} - a^{2} = 25 - 9 = 16$ (ולא 9-25<0).

למה זה קורה?

מערבבים בין הנוסחה של ההיפרבולה לזו של האליפסה.

איך מתקנים?

כשהמקום הוא היפרבולה (הפרש קבוע)

, b^{2} = c^{2} - a^{2}

. כשהמקום אליפסה (סכום קבוע)

, b^{2} = a^{2} - c^{2}

סיכום

מה למדנו?

מצבים הדדיים ומקומות גאומטריים של היפרבולה:

מציבים ⟸ בדרך כלל משוואה ריבועית; המבחין קובע חותך / משיק / לא פוגש.
מקרה מיוחד: ישר מקביל לאסימפטוטה ⟸ איבר $x^{2}$ מצטמצם ⟸ נקודת חיתוך אחת שאינה השקה.
בבעיות מקום גאומטרי: הפרש קבוע של מרחקים ⟸ היפרבולה, עם $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ .

בכך השלמנו את היחידה: הגדרנו את האליפסה ואת ההיפרבולה כמקומות גאומטריים, הסקנו את משוואותיהן הקנוניות, חקרנו סימטריה ואסימפטוטות, ופתרנו מצבים הדדיים ובעיות מקום — תוך מעבר חופשי בין התבנית האלגברית למשמעות הגאומטרית.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי לחזק את המצבים ההדדיים, את המקרה המיוחד של מקבילות לאסימפטוטה ואת בעיות המקום הגאומטרי!

מצבים הדדיים ומקומות גאומטריים של היפרבולה

מצבים הדדיים ומקומות גאומטריים של היפרבולה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ישר חותך בשתי נקודות

בכמה נקודות חותך הישר y=5y = 5y=5 את ההיפרבולה x29−y216=1\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 19x2​−16y2​=1?

דוגמה 2: המקרה המיוחד — מקביל לאסימפטוטה

קבעו את המצב ההדדי בין y=x+1y = x + 1y=x+1 לבין x22−y22=1\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 12x2​−2y2​=1.

דוגמה 3: תנאי השקה

עבור אילו m הישר y=2x+my = 2x + my=2x+m משיק להיפרבולה x24−y29=1\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 14x2​−9y2​=1?

דוגמה 4: מקום גאומטרי שהוא היפרבולה

מצאו את המקום הגאומטרי של P שהפרש מרחקיו מ-(−5,0)(-5,0)(−5,0) ו-(5,0)(5,0)(5,0) הוא 6.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את המקרה של ישר מקביל לאסימפטוטה

טעות נפוצה: מפרשים כל חיתוך יחיד כהשקה

טעות נפוצה: מבלבלים בין c2=a2+b2c^{2}=a^{2}+b^{2}c2=a2+b2 ל-c2=a2−b2c^{2}=a^{2}-b^{2}c2=a2−b2 בבעיות מקום

סיכום

תרגול נוסף

בכמה נקודות חותך הישר $y = 5$ את ההיפרבולה $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ?

קבעו את המצב ההדדי בין $y = x + 1$ לבין $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ .

עבור אילו m הישר $y = 2x + m$ משיק להיפרבולה $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ ?

מצאו את המקום הגאומטרי של P שהפרש מרחקיו מ- $(-5,0)$ ו- $(5,0)$ הוא 6.

טעות נפוצה: מבלבלים בין $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ ל- $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ בבעיות מקום