מקום גאומטרי שהוא פרבולה

מבוא

מטרות השיעור

לזהות שבעיית מקום גאומטרי מסוימת מובילה לפרבולה (תנאי של שוויון מרחק מנקודה ומישר)
לנסח את תנאי המרחק אלגברית ולהסיק ממנו את משוואת המקום
להוכיח מקום גאומטרי בשני הכיוונים — הכיוון הישר וההפוך — באמצעות שרשרת שקילויות
לנסח נכון מרחק נקודה מישר אופקי או אנכי
לטפל גם בפרבולות שקודקודן אינו בראשית (מקום שמתקבל כפרבולה מוזזת)

הרעיון המרכזי

מהו מקום גאומטרי וכיצד מוכיחים אותו?

מקום גאומטרי הוא אוסף כל הנקודות במישור המקיימות תנאי נתון. כדי להוכיח שצורה מסוימת היא המקום הגאומטרי, יש להוכיח שני כיוונים:

כיוון ישר: כל נקודה המקיימת את התנאי נמצאת על הצורה.
כיוון הפוך: כל נקודה על הצורה מקיימת את התנאי.

היתרון הגדול של הגאומטריה האנליטית: כאשר כל מעבר אלגברי הוא שקילות (⟺), שתי ההוכחות נעשות בבת אחת — שרשרת השקילויות "הולכת ובאה" לשני הכיוונים.

מרחק נקודה מישר אופקי / אנכי

המרחק של P=(x,y) מהישר האנכי x=a הוא |x-a|.
המרחק של P=(x,y) מהישר האופקי y=b הוא |y-b|.
המרחק של P=(x,y) מנקודה $F = (x_{F}, y_{F})$ הוא $(x - x_{F})^{2} + (y - y_{F})^{2}$ .

זהו הכלי המרכזי: כאשר התנאי הוא "מרחק מנקודה = מרחק מישר", המקום הוא פרבולה.

אסטרטגיית הפתרון

נסמן נקודה כללית P=(x,y) ונכתוב את התנאי במילים.
נתרגם את התנאי לשוויון מרחקים אלגברי.
נעלה בריבוע (שני האגפים אי־שליליים — מרחקים — ולכן זו שקילות) ונפשט עד למשוואת המקום.
נזהה את הצורה (פרבולה: מוקד, מדריך, קודקוד) ונוסיף את המשמעות הגאומטרית.
נציין שכל המעברים היו שקילויות, ולכן שני כיווני ההוכחה הושלמו.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מקום הנקודות שמרחקן ממוקד שווה למרחקן ממדריך

מצאו (והוכיחו) את המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהנקודה $F=(2,0)$ שווה למרחקן מהישר $x=-2$ .

(x - 2)^{2} + y^{2} = ∣ x + 2∣ ⟺ (x - 2)^{2} + y^{2} = (x + 2)^{2} ⟺ y^{2} = 8 x

שלב 1 — מנסחים את התנאי

לנקודה כללית

P=(x,y):

המרחק מ-F הוא

\sqrt{(x-2}^{2}+y^{2})

, והמרחק מהישר

x=-2

הוא

|x+2|

. התנאי:

\sqrt{(x-2}^{2}+y^{2}) = |x+2|

בדיקה מהירה

מהו המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה נתונה שווה למרחקן מישר נתון (שאינו עובר דרך הנקודה)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מ- $(3,0)$ שווה למרחקן מהישר $x=-3$ הוא פרבולה מהצורה $y^{2}=Kx$ . מהו K?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מוקד על ציר ה-y, מדריך אופקי — פרבולה פתוחה כלפי מעלה

מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מהנקודה $(0,1)$ שווה למרחקן מהישר $y=-1$ .

x^{2} + (y - 1)^{2} = (y + 1)^{2} ⟺ x^{2} = 4 y

כאן הציר הוא ציר ה־y (כי x בריבוע), בניגוד לתבנית הקנונית $y^{2} = 2 p x$ .

שלב 1 — מנסחים

P=(x,y):

מרחק מ-

(0,1)

הוא

\sqrt{x^{2}+(y-1}^{2})

; מרחק מהישר האופקי

y=-1

הוא

|y+1|

. התנאי:

\sqrt{x^{2}+(y-1}^{2})=|y+1|

דוגמה 3: מקום שהוא פרבולה מוזזת (קודקוד מחוץ לראשית)

מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מהנקודה $(4,0)$ שווה למרחקן מציר ה-y (הישר $x=0)$ .

(x - 4)^{2} + y^{2} = x^{2} ⟺ y^{2} = 8 (x - 2)

הקודקוד באמצע בין המוקד (4,0) למדריך x=0, כלומר ב־(2,0).

שלב 1 — מנסחים

P=(x,y):

מרחק מ-

(4,0)

הוא

\sqrt{(x-4}^{2}+y^{2})

; מרחק מציר ה-

y (x=0)

הוא |x|. התנאי:

\sqrt{(x-4}^{2}+y^{2})=|x|

דוגמה 4: הוכחה מפורשת של שני הכיוונים

הוכיחו שהמקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מ- $(3,0)$ שווה למרחקן מהישר $x=-3$ הוא בדיוק הפרבולה $y^{2}=12x$ — בשני הכיוונים.

(x - 3)^{2} + y^{2} = ∣ x + 3∣ ⟺ (x - 3)^{2} + y^{2} = (x + 3)^{2} ⟺ y^{2} = 12 x

ההוכחה הדו־כיוונית היא היתרון של הגאומטריה האנליטית: שרשרת שקילויות אחת מכסה את שני הכיוונים.

כיוון א — מהתנאי אל הפרבולה

נניח ש-

P=(x,y)

מקיימת

dist(P,(3,0))=dist(P,x=-3): \sqrt{(x-3}^{2}+y^{2})=|x+3|

. בריבוע:

(x-3)^{2}+y^{2}=(x+3)^{2} ⟸ y^{2}=12x

. לכן P על הפרבולה

y^{2}=12x

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מוכיחים מקום גאומטרי בכיוון אחד בלבד

כתבו את ההוכחה כשרשרת $⟺$ : $תנאי ⟺ \dots ⟺ משוואת המקום$ — אז שני הכיוונים מובטחים.

למה זה קורה?

מסתפקים בגזירת המשוואה מהתנאי, ושוכחים שצריך גם את הכיוון ההפוך.

איך מתקנים?

מקום גאומטרי דורש הוכחה דו-כיוונית: התנאי ⟸ הצורה, וגם הצורה ⟸ התנאי. אם כל מעבר אלגברי הוא שקילות (⟺), די בשרשרת אחת.

טעות נפוצה: מנסחים שגוי את המרחק מישר אופקי/אנכי

מרחק (x,y) מ־x=-2 הוא |x+2| — לא $(x + 2)^{2} + y^{2}$ .

למה זה קורה?

מנסים להשתמש בנוסחת המרחק האוקלידי המלאה גם כשהישר אנכי או אופקי.

איך מתקנים?

מרחק מהישר האנכי

x=a

הוא

|x-a|

; מרחק מהישר האופקי

y=b

הוא

|y-b|

. רק מרחק מנקודה דורש את השורש המלא.

טעות נפוצה: חוששים מהעלאה בריבוע ('היא לא שקילות')

$(x - 2)^{2} + y^{2} = ∣ x + 2∣$ ו־ $(x - 2)^{2} + y^{2} = (x + 2)^{2}$ שקולות — שני האגפים אי־שליליים.

למה זה קורה?

זוכרים שבמשוואות כלליות העלאה בריבוע עלולה להוסיף פתרונות זרים.

איך מתקנים?

כאן שני האגפים הם מרחקים — תמיד אי-שליליים. עבור

a,b \ge 0

מתקיים

a=b ⟺ a^{2}=b^{2}

. לכן ההעלאה בריבוע משמרת שקילות מלאה.

תשובה מספרית

המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מ- $(0,3)$ שווה למרחקן מציר ה-x (הישר $y=0)$ הוא פרבולה שקודקודה $(0,a)$ . מהו a?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהי משוואת המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מ- $(1,0)$ שווה למרחקן מהישר $x=-1$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

בעיית מקום גאומטרי שהוא פרבולה:

תנאי טיפוסי המוביל לפרבולה: מרחק מנקודה = מרחק מישר.
מנסחים אלגברית (זהירות במרחק מישר אנכי/אופקי: |x-a|, |y-b|), מעלים בריבוע (שקילות — מרחקים אי־שליליים), ומפשטים למשוואת המקום.
מוכיחים שני כיוונים: התנאי ⟺ משוואת המקום. שרשרת שקילויות אחת מספיקה.
מוסיפים את המשמעות הגאומטרית: מוקד, מדריך, קודקוד — וייתכן שקודקוד מחוץ לראשית (פרבולה מוזזת).

בכך השלמנו את היחידה: מההגדרה כמקום גאומטרי, דרך המשוואה הקנונית והסימטריה, אל המשיק והמצבים ההדדיים, ועד פתרון בעיות מקום גאומטרי — כולן בכלים אנליטיים, עם דגש על הוכחה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת מקומות גאומטריים שהם פרבולה ועל הוכחתם בשני הכיוונים!

מקום גאומטרי שהוא פרבולה

מקום גאומטרי שהוא פרבולה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מקום הנקודות שמרחקן ממוקד שווה למרחקן ממדריך

מצאו (והוכיחו) את המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהנקודה F=(2,0)F=(2,0)F=(2,0) שווה למרחקן מהישר x=−2x=-2x=−2.

דוגמה 2: מוקד על ציר ה-y, מדריך אופקי — פרבולה פתוחה כלפי מעלה

מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מהנקודה (0,1)(0,1)(0,1) שווה למרחקן מהישר y=−1y=-1y=−1.

דוגמה 3: מקום שהוא פרבולה מוזזת (קודקוד מחוץ לראשית)

מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מהנקודה (4,0)(4,0)(4,0) שווה למרחקן מציר ה-y (הישר x=0)x=0)x=0).

דוגמה 4: הוכחה מפורשת של שני הכיוונים

הוכיחו שהמקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מ-(3,0)(3,0)(3,0) שווה למרחקן מהישר x=−3x=-3x=−3 הוא בדיוק הפרבולה y2=12xy^{2}=12xy2=12x — בשני הכיוונים.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מוכיחים מקום גאומטרי בכיוון אחד בלבד

טעות נפוצה: מנסחים שגוי את המרחק מישר אופקי/אנכי

טעות נפוצה: חוששים מהעלאה בריבוע ('היא לא שקילות')

סיכום

תרגול נוסף

מצאו (והוכיחו) את המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהנקודה $F=(2,0)$ שווה למרחקן מהישר $x=-2$ .

מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מהנקודה $(0,1)$ שווה למרחקן מהישר $y=-1$ .

מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מהנקודה $(4,0)$ שווה למרחקן מציר ה-y (הישר $x=0)$ .

הוכיחו שהמקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מ- $(3,0)$ שווה למרחקן מהישר $x=-3$ הוא בדיוק הפרבולה $y^{2}=12x$ — בשני הכיוונים.