נתונה הפרבולה $y^2=2px$. נגזור את שני האגפים ביחס ל־x, כאשר y תלוי ב־x (גזירה סתומה): $2y\cdot y^{\prime }=2p\Rightarrow y^{\prime }=\frac{p}{y}$

לכן שיפוע המשיק בנקודה $(x_0,y_0)$ שעל הפרבולה (עם $y_0\ne 0$) הוא $m=\frac{p}{y_0}$.

(בקודקוד (0,0) מתקבל שיפוע אינסופי — המשיק הוא הישר האנכי x=0, כלומר ציר ה־y.)

נכתוב את ישר המשיק דרך $(x_0,y_0)$ בשיפוע $\frac{p}{y_0}$: $y-y_0=\frac{p}{y_0}(x-x_0)$

נכפול ב־$y_0$: $y{y}_0-y_0^2=p(x-x_0)=px-p{x}_0$.

הנקודה על הפרבולה, ולכן $y_0^2=2p{x}_0$. נציב: $y{y}_0=px-p{x}_0+y_0^2=px-p{x}_0+2p{x}_0=px+p{x}_0$

קיבלנו את נוסחת המשיק: $\boxed{y{y}_0=p(x+x_0)}$

הנוסחה תקפה גם בקודקוד (נותנת 0=px, כלומר x=0 — ציר ה־y).

כדי לקבוע כמה נקודות משותפות לישר ולפרבולה, פותרים את המערכת בהצבה. עבור ישר לא מקביל לציר הסימטריה, y=mx+c (עם $m\ne 0$), נציב ב־$y^2=2px$: $(mx+c{)}^2=2px$

זו משוואה ריבועית ב־x. מספר הפתרונות נקבע מהדיסקרימיננטה $\Delta$:

• $\Delta >0$: שתי נקודות חיתוך (הישר חותך).
• $\Delta =0$: נקודה אחת — שורש כפול (הישר משיק).
• $\Delta <0$: אין פתרון (הישר אינו נפגש עם הפרבולה).

אם הישר אופקי, y=c (מקביל לציר הסימטריה של $y^2=2px$), ההצבה נותנת $c^2=2px$ — משוואה לינארית ב־x עם פתרון יחיד. כאן יש נקודת חיתוך אחת, אך הישר אינו משיק — הוא חוצה את הפרבולה. לכן "נקודה אחת" אינה תמיד "השקה": יש לבדוק את אופי המשוואה.