חלוקת קטע ביחס נתון ומרחקים בין אובייקטים

מבוא

מטרות השיעור

להבין את נוסחת החלוקה הפנימית של קטע ביחס m:n כממוצע משוקלל של קצות הקטע
לראות את אמצע הקטע (מכיתה י׳) כמקרה פרטי של היחס 1:1
להגדיר מרחק בין אובייקטים גאומטריים כמרחק המינימלי בין נקודות עליהם
ליישם את נוסחת המרחק בין נקודה לישר: $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$
לחשב את המרחק בין שני ישרים מקבילים

הרעיון המרכזי

חלוקה פנימית של קטע ביחס נתון

תהי נקודה P על הקטע AB המחלקת אותו ביחס AP:PB = m:n. אז

P = (\frac{n x _{A} + m x _{B}}{m + n}, \frac{n y _{A} + m y _{B}}{m + n})

שימו לב לסדר המשקלים: המשקל m (החלק הצמוד ל-A ביחס) מוכפל בקצה הרחוק B, והמשקל n מוכפל ב-A. זהו ממוצע משוקלל: ככל שהמשקל של קצה מסוים גדול יותר, הנקודה P קרובה יותר אליו.

מקרה פרטי: עבור m=n=1 מקבלים את אמצע הקטע $M = (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ שלמדתם בכיתה י׳.

מדוע הנוסחה נכונה? (הצדקה דרך הרכיבים)

החלוקה ביחס נשמרת בנפרד בכל ציר. נסתכל על ציר ה-x: כאשר נעים מ-A ל-B, הנקודה P מתקדמת חלק $\frac{m}{m + n}$ מתוך כל המרחק האופקי $x_{B} - x_{A}$ . לכן

x_{P} = x_{A} + \frac{m}{m + n} (x_{B} - x_{A}) = \frac{( m + n ) x _{A} + m ( x _{B} - x _{A} )}{m + n} = \frac{n x _{A} + m x _{B}}{m + n}

באותו אופן בדיוק עבור ה-y. זו בדיוק הנוסחה למעלה.

מרחק בין אובייקטים = המרחק המינימלי

המרחק בין שני אובייקטים גאומטריים מוגדר כמרחק הקצר ביותר בין נקודה על האובייקט האחד לנקודה על השני. עבור נקודה P וישר, המרחק המינימלי מתקבל לאורך הניצב מ-P אל הישר (רגל הניצב). זה נכון כי בכל משולש ישר-זווית הניצב קצר מן היתר, ולכן כל קטע אחר מ-P אל הישר ארוך מן הניצב.

הנוסחה המתקבלת: המרחק בין הנקודה $(x_{0}, y_{0})$ לישר Ax + By + C = 0 הוא

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}

הערך המוחלט מבטיח מרחק אי-שלילי, והמכנה $A^{2} + B^{2}$ מנרמל את מקדמי הישר.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חלוקת קטע ביחס נתון

$A(1,2), B(7,11)$ . הנקודה P מחלקת את AB ביחס $AP:PB = 2:1$ . מצאו את P.

P = (\frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 7}{3}, \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 11}{3}) = (5, 8)

מכיוון ש-P קרובה יותר ל-B (היחס 2:1), הגיוני שהקואורדינטות שלה קרובות יותר לאלו של B(7,11).

שלב 1 — מזהים את המשקלים

AP:PB = m:n = 2:1

, כלומר

m=2 (

מוכפל בקצה הרחוק

B), n=1 (

מוכפל ב-A), ו-

m+n=3

דוגמה 2: אמצע קטע כמקרה פרטי

$A(-2,4), B(6,8)$ . מצאו את אמצע הקטע M (היחס 1:1).

M = (\frac{- 2 + 6}{2}, \frac{4 + 8}{2}) = (2, 6)

שלב 1 — היחס 1:1

אמצע קטע מתאים ל-

m=n=1

, ואז הנוסחה מצטמצמת לממוצע פשוט של הקצוות.

תשובה מספרית

נתונות הנקודות $A(1, 2)$ ו- $B(7, 11)$ . הנקודה P מחלקת את הקטע AB ביחס $AP:PB = 2:1$ . מהי קואורדינטת ה-x של P?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

נתונות הנקודות $A(-2, 4)$ ו- $B(6, 8)$ . הנקודה M מחלקת את הקטע AB ביחס $AM:MB = 1:1 ($ כלומר M היא אמצע הקטע). מהן קואורדינטות M?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מרחק בין נקודה לישר

חשבו את המרחק מהנקודה $P(1,1)$ לישר $x + y - 4 = 0$ .

d = \frac{∣1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 4∣}{1 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{2}{2} = 2 \approx 1.41

שלב 1 — מזהים A, B, C

הישר כבר בצורה הכללית:

A=1, B=1, C=-4

. הנקודה היא

(x_{0}, y_{0}) = (1, 1)

תשובה מספרית

חשבו את המרחק בין הנקודה $P(1, 1)$ לבין הישר $x + y - 4 = 0$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

סטייה מותרת: ±0.02

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מרחק בין שני ישרים מקבילים

מצאו את המרחק בין הישרים $y = 2x + 1$ ו- $y = 2x - 4$ .

d = \frac{∣2 \cdot 0 - 1 - 4∣}{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{5}{5} = 5 \approx 2.24

דרך מהירה לישרים מקבילים $A x + B y + C_{1} = 0$ ו- $A x + B y + C_{2} = 0$ : המרחק הוא $\frac{∣ C _{1} - C _{2} ∣}{A ^{2} + B ^{2}} = \frac{∣1 - ( - 4 ) ∣}{5} = 5$ .

שלב 1 — לצורה הכללית

הישרים מקבילים (אותו שיפוע 2). נכתוב:

2x - y + 1 = 0

ו-

2x - y - 4 = 0

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

נתונים שני ישרים מקבילים: $y = 2x + 1$ ו- $y = 2x - 4$ . חשבו את המרחק ביניהם. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

סטייה מותרת: ±0.02

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחליפים את סדר המשקלים בנוסחת החלוקה

טעות: עבור AP:PB=2:1 כותבים $x_{P} = \frac{2 x _{A} + 1 x _{B}}{3}$ .

נכון: $x_{P} = \frac{n x _{A} + m x _{B}}{m + n} = \frac{1 \cdot x _{A} + 2 \cdot x _{B}}{3}$ — המשקל הגדול מקרב ל-B.

למה זה קורה?

חושבים שהמשקל m צמוד לקצה A כי הוא מופיע ראשון ביחס AP:PB.

איך מתקנים?

המשקל m מוכפל בקצה הרחוק B, והמשקל n בקצה A. בדיקת שפיות: היחס 2:1 צריך לתת נקודה קרובה ל-B.

טעות נפוצה: שוכחים את הערך המוחלט או את השורש בנוסחת המרחק

טעות: $d = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 4 = - 2$ (מרחק שלילי — בלתי אפשרי).

נכון: $d = \frac{∣ - 2 ∣}{2} = 2$ .

למה זה קורה?

מתייחסים לביטוי

Ax_{0}+By_{0}+C

כאל המרחק עצמו.

איך מתקנים?

המרחק תמיד אי-שלילי, לכן חובה ערך מוחלט במונה; ובמכנה חובה לחלק ב-

\sqrt{A^{2}+B^{2}}

טעות נפוצה: מחשבים מרחק בין ישרים מקבילים כהפרש החותכים

טעות: עבור y=2x+1 ו-y=2x-4 כותבים d = 1-(-4) = 5.

נכון: $d = \frac{∣1 - ( - 4 ) ∣}{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{5}{5} = 5 \approx 2.24$ .

למה זה קורה?

מבלבלים בין הפער האנכי

b_{1}-b_{2}

לבין המרחק הניצב בין הישרים.

איך מתקנים?

המרחק הוא הניצב המשותף, לא הפער האנכי. השתמשו בנוסחת המרחק (או ב-

|C_{1}-C_{2}|/\sqrt{A^{2}+B^{2}})

סיכום

מה למדנו?

חלוקה פנימית ביחס AP:PB=m:n: $P = (\frac{n x _{A} + m x _{B}}{m + n}, \frac{n y _{A} + m y _{B}}{m + n})$ — ממוצע משוקלל; אמצע הקטע הוא המקרה 1:1.
מרחק בין אובייקטים = המרחק המינימלי; עבור נקודה וישר הוא לאורך הניצב.
מרחק נקודה-ישר: $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$ (ערך מוחלט במונה, נרמול במכנה).
מרחק בין ישרים מקבילים: בוחרים נקודה על אחד ומחשבים את מרחקה מהשני, או $\frac{∣ C _{1} - C _{2} ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$ .

בשיעור הבא נדון במצבים ההדדיים בין שני ישרים: נחתכים, מתלכדים ומקבילים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חלוקת קטע ביחס נתון ועל חישוב מרחקים בין אובייקטים גאומטריים!

חלוקת קטע ביחס נתון ומרחקים בין אובייקטים

חלוקת קטע ביחס נתון ומרחקים בין אובייקטים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חלוקת קטע ביחס נתון

A(1,2),B(7,11)A(1,2), B(7,11)A(1,2),B(7,11). הנקודה P מחלקת את AB ביחס AP:PB=2:1AP:PB = 2:1AP:PB=2:1. מצאו את P.

דוגמה 2: אמצע קטע כמקרה פרטי

A(−2,4),B(6,8)A(-2,4), B(6,8)A(−2,4),B(6,8). מצאו את אמצע הקטע M (היחס 1:1).

דוגמה 3: מרחק בין נקודה לישר

חשבו את המרחק מהנקודה P(1,1)P(1,1)P(1,1) לישר x+y−4=0x + y - 4 = 0x+y−4=0.

דוגמה 4: מרחק בין שני ישרים מקבילים

מצאו את המרחק בין הישרים y=2x+1y = 2x + 1y=2x+1 ו-y=2x−4y = 2x - 4y=2x−4.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחליפים את סדר המשקלים בנוסחת החלוקה

טעות נפוצה: שוכחים את הערך המוחלט או את השורש בנוסחת המרחק

טעות נפוצה: מחשבים מרחק בין ישרים מקבילים כהפרש החותכים

סיכום

תרגול נוסף

$A(1,2), B(7,11)$ . הנקודה P מחלקת את AB ביחס $AP:PB = 2:1$ . מצאו את P.

$A(-2,4), B(6,8)$ . מצאו את אמצע הקטע M (היחס 1:1).

חשבו את המרחק מהנקודה $P(1,1)$ לישר $x + y - 4 = 0$ .

מצאו את המרחק בין הישרים $y = 2x + 1$ ו- $y = 2x - 4$ .