מקום גאומטרי שהוא ישר

מבוא

מטרות השיעור

להבין את מושג המקום הגאומטרי — אוסף כל הנקודות המקיימות תנאי נתון
למצוא את משוואת המקום כאשר הוא קו ישר, בעזרת נקודה כללית P(x,y) והתנאי
להכיר את האנך האמצעי כמקום הנקודות שווֹת-המרחק משתי נקודות
לבצע הוכחה דו-כיוונית מלאה: טענה והיפוכה

הרעיון המרכזי

מהו מקום גאומטרי?

מקום גאומטרי הוא אוסף כל הנקודות במישור המקיימות תנאי גאומטרי נתון — ורק הן. למשל: "כל הנקודות שמרחקן מ-A שווה למרחקן מ-B".

בגישה האנליטית מסמנים נקודה כללית P(x,y), מתרגמים את התנאי הגאומטרי למשוואה בקואורדינטות, ומפשטים. כאשר התנאי מוביל למשוואה לינארית — המקום הוא קו ישר.

הוכחה דו-כיוונית — מדוע היא הכרחית

לטעון ש"המקום הגאומטרי הוא הישר L" פירושו ששתי הקבוצות — קבוצת הנקודות המקיימות את התנאי וקבוצת הנקודות של L — שוות. שוויון קבוצות מחייב הכלה בשני הכיוונים:

כיוון א׳ (המקום מוכל ב-L): כל נקודה המקיימת את התנאי נמצאת על L.
כיוון ב׳ (L מוכל במקום): כל נקודה על L מקיימת את התנאי.

אם נוכיח רק כיוון אחד, ייתכן ש-L רחב מדי או צר מדי. כששני הכיוונים מתקיימים — המקום הוא בדיוק L. כשמפשטים משוואה דרך מהלך של שקילויות הפיכות (⟺), שני הכיוונים מתקבלים יחד.

טכניקה: מעלים בריבוע במקום לעבוד עם שורשים

תנאי מרחק כמו PA = PB מערב שורשים. במקום להציב $\dots = \dots$ , מעלים בריבוע: $P A^{2} = P B^{2}$ . מכיוון ששני האגפים אי-שליליים, זו שקילות (לא רק גרירה), ולכן ההעלאה בריבוע אינה מוסיפה פתרונות זרים והכיוון ההפוך נשמר.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: האנך האמצעי — נגזרת מהתנאי

מצאו את משוואת המקום של הנקודות שווֹת-המרחק מ- $A(1,2)$ ומ- $B(5,6)$ .

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = (x - 5)^{2} + (y - 6)^{2} ⟺ x + y - 7 = 0

מכיוון שכל מעבר היה שקילות (⟺), קיבלנו את שני כיווני ההוכחה בבת אחת. בדיקה: אמצע AB הוא (3,4) ואכן 3+4-7=0.

שלב 1 — נקודה כללית ותנאי

P(x,y) על המקום

⟺ PA = PB ⟺ PA^{2} = PB^{2} (

העלאה בריבוע, שקילות).

בדיקה מהירה

מהו המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור הנמצאות במרחק שווה משתי נקודות קבועות A ו-B?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: הוכחה דו-כיוונית מפורשת

הוכיחו שהמקום של הנקודות שווֹת-המרחק מ- $A(-1,0)$ ו- $B(3,0)$ הוא הישר $x = 1$ .

(x + 1)^{2} + y^{2} = (x - 3)^{2} + y^{2} ⟺ x = 1

הישר x=1 ניצב ל-AB (שמונח על ציר ה-x) ועובר דרך אמצעו (1,0) — בדיוק האנך האמצעי.

כיוון א׳ — מהתנאי אל הישר

תהי P(x,y) עם

PA = PB

. אז

PA^{2} = PB^{2}: (x+1)^{2}+y^{2} = (x-3)^{2}+y^{2} ⟸ 2x+1 = -6x+9 ⟸ 8x = 8 ⟸ x = 1

. אז P נמצאת על הישר

x = 1

בדיקה מהירה

תלמיד רוצה להוכיח שהמקום הגאומטרי של הנקודות שווֹת-המרחק מ-A ומ-B הוא הישר L. הוא הראה שכל נקודה המקיימת $PA = PB$ נמצאת על L. מה עוד נדרש כדי להשלים את ההוכחה הדו-כיוונית?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: אנך אמצעי כללי

מצאו את האנך האמצעי של הקטע $A(0,0), B(4,2)$ .

x^{2} + y^{2} = (x - 4)^{2} + (y - 2)^{2} ⟺ 2 x + y - 5 = 0

בדיקת ניצבות: שיפוע AB הוא $\frac{1}{2}$ , ושיפוע המקום הוא -2; מכפלתם -1, כמצופה מאנך אמצעי.

שלב 1 — תנאי שוויון מרחקים

P(x,y) שווֹת-מרחק

⟺ PA^{2} = PB^{2}: x^{2} + y^{2} = (x-4)^{2} + (y-2)^{2}

תשובה מספרית

המקום הגאומטרי של הנקודות שווֹת-המרחק מ- $A(1, 2)$ ומ- $B(5, 6)$ הוא ישר שמשוואתו $x + y + C = 0$ . מהו הערך של C?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהי משוואת האנך האמצעי של הקטע שקצותיו $A(0, 0)$ ו- $B(4, 2)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: לא כל מקום הוא ישר

איזה מקום מתקבל מהתנאי 'מרחק קבוע r מנקודה קבועה O'? (לעומת אנך אמצעי)

x^{2} + y^{2} = r^{2} (מעגל) לעומת P A^{2} = P B^{2} \Rightarrow ישר

לקח: לא כל מקום גאומטרי הוא ישר. בשיעור זה אנו מתמקדים במקרים שבהם האיברים הריבועיים מצטמצמים והתוצאה לינארית.

שלב 1 — מתרגמים את התנאי

P(x,y) עם

PO = r ⟺ PO^{2} = r^{2}

. עבור O בראשית:

x^{2} + y^{2} = r^{2}

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מוכיחים רק כיוון אחד של טענת המקום

טעות: "הראיתי שכל נקודה על L שווֹת-מרחק מ-A ו-B, סיימתי."

נכון: צריך גם להראות שכל נקודה שווֹת-מרחק נמצאת על L — אחרת ייתכן שיש נקודות מתאימות מחוץ ל-L.

למה זה קורה?

חושבים שדי להראות שכל נקודה על הישר מקיימת את התנאי (או רק את ההפך).

איך מתקנים?

הוכחת מקום היא הוכחת שוויון קבוצות — צריך את שני הכיוונים. מהלך של שקילויות (⟺) נותן את שניהם יחד.

טעות נפוצה: עובדים עם שורשים במקום להעלות בריבוע

טעות: $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = (x - 5)^{2} + (y - 6)^{2}$ ומנסים לפשט עם שורשים.

נכון: מעלים בריבוע מיד ל- $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = (x - 5)^{2} + (y - 6)^{2}$ .

למה זה קורה?

מציבים

PA = PB

עם שורשים ומסתבכים, או מאבדים את שקילות הכיוונים.

איך מתקנים?

העלו בריבוע:

PA^{2} = PB^{2}

. מכיוון ששני האגפים אי-שליליים זו שקילות, ושני כיווני ההוכחה נשמרים.

טעות נפוצה: מניחים שכל מקום גאומטרי הוא ישר

טעות: מצפים שהתנאי PO = r ייתן ישר.

נכון: $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ הוא מעגל — האיברים הריבועיים אינם מצטמצמים.

למה זה קורה?

מכלילים מהאנך האמצעי לכל תנאי מרחק.

איך מתקנים?

ישר מתקבל רק כשהאיברים הריבועיים מצטמצמים. תנאי 'מרחק קבוע מנקודה' נותן מעגל, לא ישר.

סיכום

מה למדנו?

מקום גאומטרי = אוסף כל הנקודות (ורק הן) המקיימות תנאי נתון.
שיטה אנליטית: נקודה כללית P(x,y) ← תרגום התנאי למשוואה ← פישוט. אם המשוואה לינארית — המקום הוא ישר.
האנך האמצעי הוא המקום של הנקודות שווֹת-המרחק משתי נקודות; מתקבל מ- $P A^{2} = P B^{2}$ כשהאיברים הריבועיים מצטמצמים.
הוכחה דו-כיוונית: כל נקודה על הישר מקיימת את התנאי, וכל נקודה המקיימת את התנאי על הישר. מהלך של שקילויות (⟺) נותן את שני הכיוונים יחד.

זכרו: העלו בריבוע (שקילות), צמצמו את $x^{2}, y^{2}$ , וודאו את שני כיווני ההוכחה. לא כל מקום הוא ישר!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת משוואת מקום גאומטרי שהוא ישר ועל הוכחה דו-כיוונית!

מקום גאומטרי שהוא ישר

מקום גאומטרי שהוא ישר

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: האנך האמצעי — נגזרת מהתנאי

מצאו את משוואת המקום של הנקודות שווֹת-המרחק מ-A(1,2)A(1,2)A(1,2) ומ-B(5,6)B(5,6)B(5,6).

דוגמה 2: הוכחה דו-כיוונית מפורשת

הוכיחו שהמקום של הנקודות שווֹת-המרחק מ-A(−1,0)A(-1,0)A(−1,0) ו-B(3,0)B(3,0)B(3,0) הוא הישר x=1x = 1x=1.

דוגמה 3: אנך אמצעי כללי

מצאו את האנך האמצעי של הקטע A(0,0),B(4,2)A(0,0), B(4,2)A(0,0),B(4,2).

דוגמה 4: לא כל מקום הוא ישר

איזה מקום מתקבל מהתנאי 'מרחק קבוע r מנקודה קבועה O'? (לעומת אנך אמצעי)

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מוכיחים רק כיוון אחד של טענת המקום

טעות נפוצה: עובדים עם שורשים במקום להעלות בריבוע

טעות נפוצה: מניחים שכל מקום גאומטרי הוא ישר

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את משוואת המקום של הנקודות שווֹת-המרחק מ- $A(1,2)$ ומ- $B(5,6)$ .

הוכיחו שהמקום של הנקודות שווֹת-המרחק מ- $A(-1,0)$ ו- $B(3,0)$ הוא הישר $x = 1$ .

מצאו את האנך האמצעי של הקטע $A(0,0), B(4,2)$ .